高考数学的数列题型精编

高考数学的数列题型精编题型一 等差、等比数列的基本运算例 1 已知等差数列an的前 5项和为 105，且 a10=2a5.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意 mN*，将数列an中不大于 72m的项的个数记为 bm.求数列bm的前 m项和 Sm.破题切入点 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得 a1和 d，从而求出 an.(2)求出 bm，再根据其特征选用求和方法.解 (1)设数列an的公差为 d，前 n项和为 Tn，由 T5=105，a10=2a5，得 5a1+5(5-1)2d=105，a1+9d=2(a1+4d)，解得 a1=7，d=7.因此 an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(nN*).(2)对 mN*，若 an=7n72m，则 n72m-1.因此 bm=72m-1.所以数列bm是首项为 7，公比为 49的等比数列，故 Sm=b1(1-qm)1-q=7(1-49m)1-49=7(72m-1)48=72m+1-748.题型二 等差、等比数列的性质及应用例 2 (1)已知正数组成的等差数列an，前 20项和为100，则 a7a14的最大值是()不存在(2)在等差数列an中，a1=-XX，其前 n项和为 Sn，若S1212-S1010=2，则 SXX的值为()A.-XXB.-XXC.-XXD.-XX破题切入点 (1)根据等差数列的性质，a7+a14=a1+a20，S20=20(a1+a20)2 可求出 a7+a14，然后利用基本不等式.(2)等差数列an中，Sn 是其前 n项和，则 Snn也成等差数列.答案 (1)A (2)D解析 (1)S20=a1+a20220=100，a1+a20=10.a1+a20=a7+a14，a7+a14=10.an0，a7a14a7+a1422=25.当且仅当 a7=a14时取等号.故 a7a14的最大值为 25.(2)根据等差数列的性质，得数列 Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项 S11=a1=-XX，公差 d=1，故SXXXX=-XX+(XX-1)1=-1，所以 SXX=-XX.题型三 等差、等比数列的综合应用例 3 已知数列an的前 n项和 Sn满足条件 2Sn=3(an-1)，其中 nN*.(1)证明：数列an为等比数列;(2)设数列bn满足 bn=log3an，若 cn=anbn，求数列cn的前 n项和.破题切入点 (1)利用 an=Sn-Sn-1求出 an与 an-1之间的关系，进而用定义证明数列an为等比数列.(2)由(1)的结论得出数列bn的通项公式，求出 cn的表达式，再利用错位相减法求和.(1)证明 由题意得 an=Sn-Sn-1=32(an-an-1)(n2)，an=3an-1，anan-1=3(n2)，又 S1=32(a1-1)=a1，解得 a1=3，数列an是首项为 3,考试技巧，公比为 3的等比数列.(2)解 由(1)得 an=3n，则 bn=log3an=log33n=n，cn=anbn=n3n，设 Tn=131+232+333+(n-1)3n-1+n3n，3Tn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1.-2Tn=31+32+33+3n-n3n+1=3(1-3n)1-3-n3n+1，Tn=(2n-1)3n+1+34.总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解.(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘.(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项 a10，利用等比数列求和时注意公比 q是否为 1.1.已知an为等差数列，其公差为-2，且 a7是 a3与a9的等比中项，Sn 为an的前 n项和，nN*，则 S10的值为()A.-110B.-90答案 D解析 a3=a1+2d=a1-4，a7=a1+6d=a1-12，a9=a1+8d=a1-16，又a7 是 a3与 a9的等比中项，(a1-12)2=(a1-4)(a1-16)，解得 a1=20.S10=1020+12109(-2)=110.2.(XX 课标全国)等差数列an的公差为 2，若a2，a4，a8 成等比数列，则an的前 n项和 Sn等于()(n+1) (n-1)(n+1)(n-1)2答案 A解析 由 a2，a4，a8 成等比数列，得 a24=a2a8，即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)，a1=2.Sn=2n+n(n-1)22=2n+n2-n=n(n+1).3.等比数列an的前 n项和为 Sn，若 2S4=S5+S6，则数列an的公比 q的值为()A.-2 或 1B.-1或 2C.-答案 C解析 方法一 若 q=1，则 S4=4a1，S5=5a1，S6=6a1，显然不满足 2S4=S5+S6，故 A、D 错.若 q=-1，则 S4=S6=0，S5=a50，不满足条件，故 B错，因此选 C.方法二 经检验 q=1不适合，则由 2S4=S5+S6，得 2(1-q4)=1-q5+1-q6，化简得q2+q-2=0，解得 q=1(舍去)，q=-2.4.(XX 大纲全国)等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前 8项和等于()答案 C解析 数列lgan的前 8项和 S8=lga1+lga2+lga8=lg(a1a2a8)=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=lg(25)4=4.5.(XX 大纲全国)设等比数列an的前 n项和为 Sn，若S2=3，S4=15，则 S6等于()答案 C解析 在等比数列an中，S2、S4-S2、S6-S4 也成等比数列，故(S4-S2)2=S2(S6-S4)，则(15-3)2=3(S6-15)，解得 S6=63.6.已知两个等差数列an和bn的前 n项和分别为 An和 Bn，且 AnBn=7n+45n+3，则使得 anbn为整数的正整数 n的个数是()答案 D解析 由等差数列的前 n项和及等差中项，可得 anbn=12(a1+a2n-1)12(b1+b2n-1)=12(2n-1)(a1+a2n-1)12(2n-1)(b1+b2n-1)=A2n-1B2n-1=7(2n-1)+45(2n-1)+3=14n+382n+2=7n+19n+1=7+12n+1 (nN*)，故 n=1,2,3,5,11时，anbn 为整数.即正整数 n的个数是 5.7.(XX 课标全国)若数列an的前 n项和Sn=23an+13，则an的通项公式是 an=_.答案 (-2)n-1解析 当 n=1时，a1=1;当 n2 时，an=Sn-Sn-1=23an-23an-1，故 anan-1=-2，故 an=(-2)n-1.8.(XX 江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a2=1，a8=a6+2a4，则 a6的值是_.答案 4解析 因为 a8=a2q6，a6=a2q4，a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得 a2q6=a2q4+2a2q2，消去 a2q2，得到关于 q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0，解得q2=2，a6=a2q4=122=4.9.(XX 安徽)数列an是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5 构成公比为 q的等比数列，则q=_.答案 1解析 设等差数列的公差为 d，则 a3=a1+2d，a5=a1+4d，(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得 d=-1，q=a3+3a1+1=a1-2+3a1+1=1.10.在数列an中，如果对任意 nN*都有 an+2-an+1an+1-an=k(k为常数)，则称数列an为等差比数列，k称为公差比.现给出下列问题：等差比数列的公差比一定不为零;等差数列一定是等差比数列;若 an=-3n+2，则数列an是等差比数列;若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确命题的序号为_.答案 解析 若 k=0，an为常数列，分母无意义，正确;公差为零的等差数列不是等差比数列，错误;an+2-an+1an+1-an=3，满足定义，正确;设 an=a1qn-1(q0)，则 an+2-an+1an+1-an=a1qn+1-a1qna1qn-a1qn-1=q，正确.11.(XX 课标全国)已知an是递增的等差数列，a2，a4 是方程 x2-5x+6=0的根.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n的前 n项和.解 (1)方程 x2-5x+6=0的两根为 2,3，由题意得 a2=2，a4=3.设数列an的公差为 d，则 a4-a2=2d，故 d=12，从而 a1=32.所以an的通项公式为 an=12n+1.(2)设an2n的前 n项和为 Sn.由(1)知 an2n=n+22n+1，则Sn=322+423+n+12n+n+22n+1，12Sn=323+424+n+12n+1+n+22n+2.两式相减得12Sn=34+(123+12n+1)-n+22n+2=34+14(1-12n-1)-n+22n+2.所以 Sn=2-n+42n+1.12.(XX 北京)已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列bn满足 b1=4，b4=20，且bn-an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前 n项和.解 (1)设等差数列an的公差为 d，由题意得d=a4-a13=12-33=3，所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2，)