高中数学等比数列教案

高中数学等比数列教案 导语：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。以下 是品才网小编整理的高中数学等比数列教案，欢迎阅读参 考。 高中数学等比数列教案 教学目标 1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用公式解决 简单的问题. (1)正确理解的定义，了解公比的概念，明确一个数列 是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等比中 项的概念; (2)正确认识使用的表示法，能灵活运用通项公式求的 首项、公比、项数及指定的项; (3)通过通项公式认识的性质，能解决某些实际问题. 2.通过对的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、 猜想等思维品质. 3.通过对概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习 惯，以及实事求是的科学态度. 教学建议 教材分析 (1)知识结构 是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类 比，首先归纳出的定义，导出通项公式，进而研究图像， 又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用. (2)重点、难点分析 教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，教学 难点 在于通项公式的推导和运用. 与等差数列一样，也是特殊的数列，二者有许多相 同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得 出的特性，这些是教学的重点. 虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法， 但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定 的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以 通项公式的推导是难点. 对等差数列、的综合研究离不开通项公式，因而通 项公式的灵活运用既是重点又是难点. 教学建议 (1)建议本节课分两课时，一节课为的概念，一节课为 通项公式的应用. (2)概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括 这些数列的相同特征，从而得到的定义.也可将几个等差数 列和几个混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有 一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括的定义. (3)根据定义让学生分析的公比不为 0，以及每一项均 不为 0 的特性，加深对概念的理解. (4)对比等差数列的表示法，由学生归纳的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特 征画数列的图象. (5)由于有了等差数列的研究经验，的研究完全可以放 手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节 课的组织者出现. (6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的 主体作用. 教学设计示例 课题：的概念 教学目标 1.通过教学使学生理解的概念，推导并掌握通项公式. 2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的 观察、概括能力. 3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科 学态度. 教学重点，难点 重点、难点是的定义的归纳及通项公式的推导. 教学用具 投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讨论、谈话法. 教学过程 一、提出问题 给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻 灯片) -2，1，4，7，10，13，16，19， 8，16，32，64，128，256， 1，1，1，1，1，1，1， 243，81，27，9，3，1， ， ， 31，29，27，25，23，21，19， 1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， 1，-10，100，-1000，10000，-100000， 0，0，0，0，0，0，0， 由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数 列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、 等比两类)，统一一种分法，其中为有共同性质 的一类数列(学生看不出的情况也无妨，得出定义后再考 察是否为). 二、讲解新课 请学生说出数列的共同特性，教师指出实 际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每 经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假 设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变 形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，一直进 行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将 要研究的另一类数列. (这里播放变形虫分裂的多媒体 软件的第一步) (板书) 1.的定义(板书) 根据与等差数列的名字的区别与联系，尝试给下定义. 学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列 的基础是可以由学生概括出来的.教师写出的定义，标注出 重点词语. 请学生指出各自的公比，并思考有无数列 既是等差数列又是.学生通过观察可以发现是这样的数列， 教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后 请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列 都满足既是等差又是，让学生讨论后得出结论：当 时，数 列 既是等差又是，当 时，它只是等差数列，而不是.教师 追问理由，引出对的认识： 2.对定义的认识(板书) (1)的首项不为 0; (2)的每一项都不为 0，即 ; 问题：一个数列各项均不为 0 是这个数列为的什么条 件? (3)公比不为 0. 用数学式子表示的定义. 是 .在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写 成 ，可让学生研究行不行，好不好;接下来再问，能否改 写为 是 ?为什么不能? 式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确 定一个?(不能)确定一个需要几个条件?当给定了首项及公 比后，如何求任意一项的值?所以要研究通项公式. 3.的通项公式(板书) 问题：用 和 表示第 项 . 不完全归纳法 . 叠乘法 ， ， ，这 个式子相乘得 ，所以 . (板书)(1)的通项公式 得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式. (板书)(2)对公式的认识 由学生来说，最后归结： 函数观点; 方程思想(因在等差数列中已有认识，此处再复习巩 固而已). 这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求 一，这是公式最简单的应用，请学生举例(应能编出四类问 题).解题格式是什么?(不仅要会解题，还要注意规范表述 的训练) 如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的 更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题. 三、小结 1.本节课研究了的概念，得到了通项公式; 2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比; 3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用. 四、作业 (略) 五、板书设计 1.等比数列的定义 2.对定义的认识 3.等比数列的通项公式 (1)公式 (2)对公式的认识 探究活动 将一张很大的薄纸对折，对折 30 次后(如果可能的话) 有多厚?不妨假设这张纸的厚度为毫米. 参考答案： 30 次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰 珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些，比如纸厚毫米，对 折 34 次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗? 第 31 个格子中的米已经是 1073741824 粒了，后边的格子 中的米就更多了，最后一个格子中的米应是 粒，用计算器 算一下吧(用对数算也行). 高中数学等比数列教案 等比数列的性质 知能目标解读 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来. 2.理解等比数列的性质及应用. 3.掌握等比数列的性质并能综合运用. 重点难点点拨 重点：等比数列性质的运用. 难点：等比数列与等差数列的综合应用. 学习方法指导 1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数， 把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数 列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的 第一个数为首项，且仍满足从第 2 项起，每一项与它的前 一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公 比，所以，新形成的数列仍为等比数列. 2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以 上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比 数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等 比数列an中依次取出的数为 ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,则 = = =qm(q 为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数 列. 3.如果数列an是等比数列，公比为 q,c 是不等于零 的常数，那么数列can仍是等比数列，且公比仍为 q;?|an|?也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列an 的公比为 q,且满足 =q,则 = =q,所以数列can仍是等比数 列，公比为 q.同理，可证|an|也是等比数列，公比为|q|. 4.在等比数列an中，若 m+n=t+s 且 m,n,t,sN+则 aman=atas.理由如下：因为 aman=a1qm-1a1qn-1 =a21qm+n-2,atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2,又因为 m+n=t+s,所以 m+n-2=t+s-2,所以 aman=atas.从此性质还可 得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之 积等于首末两项之积. 5.若an，bn均为等比数列，公比分别为 q1,q2,则 (1)anbn仍为等比数列，且公比为 q1q2. (2) 仍为等比数列，且公比为 . 理由如下：(1) =q1q2,所以anbn仍为等比数列，且 公比为 q1q2;(2) = , 所以 仍为等比数列，且公比为 . 知能自主梳理 1.等比数列的项与序号的关系 (1)两项关系 通项公式的推广： an=am (m、nN+). (2)多项关系 项的运算性质 若 m+n=p+q(m、n、p、qN+)， 则 aman= . 特别地，若 m+n=2p(m、n、pN+)， 则 aman= . 2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积 等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1an=a2 =ak =a 2 (n 为正奇数). apaq a2p an-k+1 思路方法技巧 命题方向 运用等比数列性质 an=amqn-m (m、nN+) 解题 在等比数列an中，若 a2=2,a6=162,求 a10. 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式， 求得 q,再求 a10. 解法一：设公比为 q,由题意得 a1q=2 a1= a1=- ，解得 ，或 . a1q5=162 q=3 q=-3 a10=a1q9= 39=13122 或 a10=a1q9=- (-3) 9=13122. 解法二：a6=a2q4, q4= = =81, a10=a6q4=16281=13122. 解法三：在等比数列中，由 a26=a2a10 得 a10= = =13122. 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等 比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练 掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注 意等比数列性质的应用. 变式应用 1 已知数列an是各项为正的等比数列，且 q1,试比较 a1+a8 与 a4+a5 的大小. 解法一：由已知条件 a10,q0，且 q1,这时 (a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)(1-q4) =a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0, 显然，a1+a8a4+a5. 解法二：利用等比数列的性质求解. 由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8) =a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5). 当 0 当 q1 时，此正数等比数列单调递增，1-q3 与 a1-a5 同为负数， (a1+a8)-(a4+a5)恒正. a1+a8a4+a5. 命题方向 运用等比数列性质 aman=apaq(m,n,p,qN+,且 m+n=p+q)解题 在等比数列an中，已知 a7a12=5，则 a8a9a10a11=( ) 已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比 数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程. B 解法一： a7a12=a8a11=a9a10=5，a8a9a10a11=52=25. 解法二：由已知得 a1q6a1q11=a21q17=5， a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q1 7) 2=25. 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指 数运算，若按照常规解法，往往是建立 a1,q 的方程组，这 样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进 行整体变换，会起到化繁为简的效果. 变式应用 2 在等比数列an中，各项均为正数，且 a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求 a4+a8. a6a10=a28,a3a5=a24,a28+a24=41. 又a4a8=5,an0, a4+a8= = = . 探索延拓创新 命题方向 等比数列性质的综合应用 试判断能否构成一个等比数列an，使其满足下列 三个条件： a1+a6=11;a3a4= ;至少存在一个自然数 m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差数列，若能，请写出这个数列 的通项公式;若不能，请说明理由. 由条件确定等比数列an的通项公式，再验证 是否符合条件. 假设能够构造出符合条件的等比数列an,不妨 设数列an的公比为 q,由条件及 a1a6=a3a4,得 a1+a6=11 a1= a1= ，解得 ，或 a1a6= a6= a6= . a1= a1= 从而 ，或 . q=2 q= 故所求数列的通项为 an= 2n-1 或 an= 26-n. 对于 an= 2n-1,若存在题设要求的 m,则 2am= am-1+(am+1+ ),得 2( 2m-1)= 2m-2+ 2m+ ,得 2m+8=0,即 2m=-8,故符合条件的 m 不存在. 对于 an= 26-n,若存在题设要求的 m，同理有 26-m-8=0,即 26-m=8,m=3. 综上所述，能够构造出满足条件的等比数列， 通项为 an= 26-n. 求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用. 变式应用 3 在等差数列an中，公差 d0,a2 是 a1 与 a4 的等比中项，已知数列 a1,a3,ak1,ak2,akn, 成等比数列，求数列kn的通项 kn. 由题意得 a22=a1a4， 即(a1+d) 2=a1(a1+3d)， 又 d0,a1=d. an=nd. 又 a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列， 该数列的公比为 q= = =3. akn=a13n+1. 又 akn=knd,kn=3n+1. 所以数列kn的通项为 kn=3n+1. 名师辨误做答 四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三项之 和为 1 ，求这个等比数列的公比. 设这四个数为 aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得 a3q-3=1, aq-1+aq+aq3=1 . 由得 a=q,把 a=q 代入并整理，得 4q4+4q2-3=0,解 得 q2= 或 q2=- (舍去)，故所求的公比为 . 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为 q2,则 公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误. 设四个数依次为 a,aq,aq2,aq3,由题意得 (aq)3=1, aq+aq2+aq3=1 . 由得 a=q-1,把 a=q-1 代入并整理，得 4q2+4q-3=0,解 得 q= 或 q=- ,故所求公比为 或- . 课堂巩固训练 一、选择题 1.在等比数列an中，若 a6=6,a9=9,则 a3 等于( ) B. C. ? A? 解法一：a6=a3q3, a3q3=6.? a9=a6q3， q3= = . a3= =6 =4. 解法二：由等比数列的性质，得 a26=a3a9， 36=9a3，a3=4. 2.在等比数列an中,a4+a5=10,a6+a7=20,则 a8+a9 等于( ) D q2= =2,? a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40. 3.如果数列an是等比数列，那么( )? A.数列a2n是等比数列 B.数列 2an是等比数列 C.数列lgan是等比数列 D.数列 nan是等比数列 A 数列a2n是等比数列，公比为 q2,故选 A. 二、填空题 4.若 a,b,c 既成等差数列，又成等比数列，则它们的 公比为 .? 1? 2b=a+c, 由题意知 b2=ac, 解得 a=b=c,q=1. 5.在等比数列an中，公比 q=2,a5=6,则 a8= .? 48 a8=a5q8-5=623=48. 三、解答题 6.已知an为等比数列，且 a1a9=64,a3+a7=20，求 a11.? an为等比数列,? a1a9=a3a7=64,又 a3+a7=20,? a3,a7 是方程 t2-20t+64=0 的两个根.? a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4,? 当 a3=4 时，a3+a7=a3+a3q4=20,? 1+q4=5，q4=4.? 当 a3=16 时，a3+a7=a3(1+q4)=20, 1+q4= ，q4= .? a11=a1q10=a3q8=64 或 1. 课后强化作业 一、选择题 1.在等比数列an中，a4=6,a8=18,则 a12=( ) ? C? a8=a4q4,q4= = =3, a12=a8q4=54. 2.在等比数列an中，a3=2-a2,a5=16-a4,则 a6+a7 的值为( ) B? a2+a3=2,a4+a5=16,? 又 a4+a5=(a2+a3)q2, q2=8.? a6+a7=(a4+a5)q2=168=128. 3.已知an为等比数列，且 an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 等于( ) ? A? a32=a2a4,a52=a4a6,? a32+2a3a5+a52=25, (a3+a5) 2=25,? 又an0,a3+a5=5. 4.在正项等比数列an中，a1 和 a19 为方程 x2- 10x+16=0 的两根，则 a8a10a12 等于( ) ? C? 由已知，得 a1a19=16,? 又a1a19=a8a12=a102, a8a12=a102=16,又 an0,? a10=4, a8a10a12=a103=64. 5.已知等比数列an的公比为正数，且 a3a9=2a25,a2=1,则 a1=( )? A. B. C. ? B? a3a9=a26,又a3a9=2a25,? a26=2a25,( )2=2,? q2=2,q0,q= . 又 a2=1,a1= = = . 6.在等比数列an中，anan+1，且 a7a11=6,a4+a14=5,则 等于( ) A. B. C. A a7a11=a4a14=6 a4+a14=5 a4=3 a4=2 解得 或 . a14=2 a14=3 又anan+1,a4=3,a14=2. = = . 7.已知等比数列an中，有 a3a11=4a7,数列bn是 等差数列，且 b7=a7,则 b5+b9 等于( ) C a3a11=a72=4a7,a70, a7=4,b7=4, bn为等差数列，b5+b9=2b7=8. 8.已知 0 ( ) A.等差数列? B.等比数 列? C.各项倒数成等差数列? D.以上都 不对? C? a,b,c 成等比数列，b2=ac.? 又 + =logna+lognc=lognac =2lognb= ,? + = . 二、填空题 9.等比数列an中，an0，且 a2=1+a1,a4=9+a3,则 a5-a4 等于 . 27 由题意，得 a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9, q2=9,又 an0,q=3.? 故 a5-a4=(a4-a3)q=93=27. 10.已知等比数列an的公比 q=- ,则 等于 . -3 = = =-3. 11.等比数列an中，an0,且 a5a6=9,则 log3a2+log3a9= . 2 an0,log3a2+log3a9=log3a2a9 =log3a5a6=log39=log332=2. 12.(XX广东文，11)已知an是递增等比数列, a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q= . 2? 本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列 的通项公式可解得. 解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，? 因为 a2=2，所以 q2-q-2=0，解得 q=-1，或 q=2. 因为 an 为递增数列，所以 q=2. 三、解答题 13.在等比数列an中，已知 a4a7=-512,a3+a8=124, 且公比为整数，求 a10. a4a7=a3a8=-512， a3+a