产品设计cae有限元分析基础

产品设计 2 主讲人：曾富洪 攀枝花学院 2 第九章 产品设计中的计算机辅助工程（ CAE）技术 计算机辅助工程 (Computer Aided Engineering， CAE)主要以有限元分析技术为 基础，综合了迅速发展中的计算力学、计算 数学、相关的工程管理学与现代计算技术而 形成的一门综合性、知识密集型的学科。其 相关的软件称为 CAE软件。 CAE软件能够对 特定产品进行性能分析、预测和优化，也可 以对通用产品进行物理、力学性能分析、模 拟、预测、评价和优化，以实现产品的技术 创新。 计算机辅助工程 CAE 3 9.1.1 有限元法的发展历史 第一次正式使用 “有限单元 ”(Finite Element)这一术语并 提出这种离散系统分析方法的是美国加州大学伯克利分 校的 R.W.Clough教授 (1960)。在有限单元技术的发展中 Zien-Kiewicz教授被誉为解决难题的能手，和他齐名的美 国 J.T.odne教授、 R.L.Taylor教授以及卡学磺教授等都是从 工程界出身的，这也正好说明有限元法是工程和数学相 结合的产物。 1963-1964年，经过 J.F.Besseling， R.J.Melosh， R.E.Jones， R.H.Gallaher等多人的工作，认识 到有限元就是变分原理中 Ritz近似法的一种变形，发展了 用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。从而使 Ritz 分析的所有理论基础都适用于有限元法，确认了有限元 法是处理连续介质问题的一种普遍方法。 发展历史 4 9.1.1 有限元法的发展历史 时间 应用范围 理论基础 研究对象 通用有限元法程序前后处理 1950年 Turner、 Clough等的论文 构筑了有关的有限 元法 1960年 宇宙和航空 由 Zienkiewicz开发各种单 元使用了 “有限元法 ”、虚功原理、最小 势能原理 线性问题、静力分析 1967年 宇宙、航空、 土木、造 船、机械 、水利 瑞利 里兹法 加权残数法 非线性问题、动力分析 1971年 热传导、流体 力学、电 磁场 变分法 非线性接触碰撞，断裂 力学耦合问题 ASK、 MSC、 Nastran、 MARC、 ANSYS、 SAP NISA II等 1980年 石油、核工程 形状优化、逆问题 平面和复杂空间问题 MSC.Patran、 MSC.Dytran、 MSC/XL、 ADINA、 PAM- CRASH、 COSMOS/M等 1990年 航空航天 各种新的解算方法和各种 高度非线性材料的 本构模型 冲击、振动和疲劳问题 MSC.Fatigue、 ANSYS、 MSC.Nastran、 SAP5等 2000年 后 机电、随机有 限元研究 拓扑优化、计算机图形学 固体、流体力学以及生 物力学制造、加 工仿真。 ANSYS、 ADINA、 ABAQUS、 MARC、 Nastran等 5 9.1.2 有限元法的基本概念 有限元分析（ FEA， Finite Element Analysis）是用较简单的问题代替复杂问题后再 求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的 小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适 的 (较简单的）近似解，然后推导求解这个域总 的满足条件 (如结构的平衡条件），从而得到问 题的解。有限元是那些集合在一起能够表示实 际连续域的离散单元。 有限元分析 6 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解问题的基本步骤 (1) 问题及求解域定义 ：根据实际问题近似确定 求解域的物理性质和几何区域。 (2) 求解域离散化 ：将求解域近似为具有不同有 限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的 离散域，习惯上称为有限元网络划分。 7 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解问题的基本步骤 选择位移模式 。 在有限元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为 位移法 ； 选择节点力作为基本未知量时称为 力法 ；取一部分节点力和一部 分节点位移作为基本未知量时称为 混合法 。位移法易于实现计算 自动化，所以在有限元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元中的 一些物理量如位移、应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对 单元中位移的分析采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。 是与坐标有关的某种函数 ai 是待定系数 (3) 单元特性分析 （单元体的形状，节点数 目和节点类型，节点参数 类型、形函数） 8 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解问题的基本步骤 分析单元的力学性质。 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含 义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的 关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建 立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限 元法的 基本步骤之一。 计算等效节点力 。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另 一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边界 传递到另一个单元中去的，因而，这种作用在单元边界上的表 面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去 ，也就是用 等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。 9 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解问题的基本步骤 (4) 单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的物体结构 重新联接起来，组装成整体的有限元方程。 K是整体 刚度矩阵 ， Ke为单元刚度矩阵； U是 节点位移列阵 ； f是 载荷列阵 ， Pe、 Fe分别表示作用在单元上的体力和面力所产生的等 效节点力。 (5) 求解未知节点位移 10 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解实例 1 2 i i+1 i+2 n n+1 L1 Li Li+1 Ln L 1 2 3 4 (a) 离散前 (b) n个有限段离散 (c) 3个有限段离散 11 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解实例 (1) 离散化 。 如图 9.1(b)所示，将直杆划分成 n个有限段，有限段之间通过一个铰 接点连接。两段之间的铰接点称为结点，每个有限段称为单元。其 中，第 i个单元的长度为 Li,包含第 i， i+1个结点 式中， ui为第 i结点的位移， xi为第 i结点的坐标。 12 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解实例 (2) 用单元节点位移表示单元内部力学关系 第 i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，如式所示： 13 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解实例 (3) 把外载荷集中到节点上。 把第 i单元和第 i+1单元重量的一半集中到第 i+1结点上 (4) 建立结点的力平衡方程。 对于第 i+1结点，由力的平衡方程可得式： 14 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解实例 (5) 将直杆划分成 3个等长的单元，用有限元法进 行求解。定义单元的长度 a=L/3. 对于节点 2， 1=1， 对于节点 3， 2=1 对于节点 1， u1=0 15 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解实例 对于结点 4可以有两种处理方法。 直接用第 3个单元的内力与结点 4上的载荷建立平衡方程 假定存在一个虚拟结点 5，与结点 4构成了虚拟单元 4； L4=0， u5=u4， 3=L3/L4 ，可得： U1=0代入 后整理 16 解得： 9.1.2 有限元法的基本概念 17 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 结构静力分析是用来分析由于 静态外载荷引起的系统或部件的 位移、应力和应变 。静力分析很适合于求解惯性及阻尼的时间相 关作用对结构响应的影响并不显著的问题。 其位移的矩阵形式 应变的矩阵形式 应力的矩阵形式 概念 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 (1) 基本方程 平衡方程 19 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 (1) 基本方程 平衡方程 q为体积力矩阵 力平衡 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 几何方程 物体受力后变 形，其内部的 应变和位移的 关系称为几何 方程。 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 物理方程 弹性力学中应力 应变之间 的关系称为物理方程，或称 为本构方程。 22 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 物理方程 23 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 边界条件 弹性体 的全部边界为 ，其中在一部分边界上作用已知的 外力，如面力、集中力等，这部分边界称为力的边界 ；另 一部分边界上弹性体的位移为已知，这部分边界称为位移边界 u 力的边界 位移边界 n方向余弦矩阵 已知位移矩阵 24 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 虚功原理 虚功原理在力学中是一个普遍的原理。虚功原理的定义为：设一弹 性体在虚位移发生之前处于平衡状态，当弹性体产生约束许可的微 小虚位移并同时在弹性体内产生虚应变时，体力与面力在虚位移上 所作的虚功等于整个弹性体内各点的应力在虚应变上所作的虚功的 总和，即 外力虚功等于内力虚功 25 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 (2) 结构静力学问题有限元法的求解过程 连续体的离散化 选择合适的等参数单元对连续体进行网格划分。 单元分析 根据弹性力学或热学或电磁学等的基本方程和变分原理建立单 元节点力和节点位移之间的关系。 (a) 形函数 形函数代表一种单元上近似解的插值关系，它决定 近似解在单元上的形状 形函数是一种数学函数，规定了从节点的自由度（ DOF）值到单元内所有点处的 DOF值得计算方法，单 元的形函数是给定单元的一种假定特性 26 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 (2) 结构静力学问题有限元法的求解过程 根据形函数，可以导出以节点位移为基本变量来表示的 单元内任一点位移的关系式，其矩阵形式如 : 为单元内任一点的位移矩阵； 为单元的节点位移矩阵。 N为单元形函数矩阵，可根据单元类型及节点数来选择确定； 27 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 (2) 结构静力学问题有限元法的求解过程 (b) 单元特性分析 、 分别为单元内任一点的应变矩阵、应力矩阵 ,节点力矩阵 B 为单元几何矩阵，表示应变与节点位移的关系 S为单元应力矩阵，表示应力与节点位移的关系， Ke为单元刚度矩阵 为单元节点位移矩阵 28 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 、 (3)整体分析 根据节点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性 方程已计算单元应力。具体说来可以分为下面三个步骤。 分析整理各单元刚度矩阵，通过节点的平衡方程形成节点载荷列阵 ，合成总刚度矩阵，建立以节点位移为未知量的，以总体刚度矩阵为系 数的线性代数方程组，此即为结构静力学问题的有限元控制方程。 K为总刚度矩阵 F为总载荷向量 节点位移列阵 对线性代数方程组进行边界处理，求解节点位移。 29 9.1.3 有限元法的基本理论 1) 结构静力学问题的有限元法 、 (3)整体分析 进一步求得单元应力。 30 9.1.3 有限元法的基本理论 、 2) 结构动力学问题的有限元法 结构动力学分析是用来确定惯性 (质量效应 )和阻尼起重要作用时 结构或构件动力学特性的技术。其动力学特性有振动特性 (结构振动 方式和振动频率 )、随机载荷的效应。 M为结构质量矩阵 C为结构阻尼矩阵 K为结构刚度矩阵 F为随时间变化的节点载荷向量 为节点位移矩阵 为节点速度矢量矩阵 为节点加速度矩阵 31 9.1.3 有限元法的基本理论 、 2) 结构动力学问题的有限元法 分析类型 模态分析。设定 F(t)为零，而矩阵 C通常被忽略。 谐响应分析。设定 F(t)和 u(t)都为谐函数。 瞬间动态分析。即为上述控制方程。 模态叠加法 可按自然频率和模态将完全耦合的通用控制方 程转化为一组独立的非耦合方程。模态叠加法可以用来处 理瞬态动力学分析和谐响应分析。 直接积分法 是通过显示 积分或隐式积分法直接求解通用控制方程。 分析方法 32 9.1.3 有限元法的基本理论 、 3）热分析问题的有限元法 热分析用于计算一个系统或部件的温度分布及其他热物理参数，热 分析的类型主要有：稳态热分析 系统的温度场不随时间变化；瞬态 传热 系统的温度场随时间明显变化。 式中， Q为热量； W为做功； U为系统内能； KE为系统动能 ； PE为系统势能。 对于大多数工程传热问题， KE=PE=0；通常考虑没有做功 ，即 W=0，则 Q=U。 对于稳态热分析，即 Q=U=0，即流入系统的热量等于流出的 热量 . 33 9.1.3 有限元法的基本理论 、 3）热分析问题的有限元法 (2) 热传递的类型 热传导 热传导为完全接触的两个物体之间或一个物体的不同部分之间由 于温度梯度而引起的内能的交换。热传导遵循傅里叶定律 式中， q为热流密度 (W/m2)； K为导热系数 (W/(m.0C) 34 9.1.3 有限元法的基本理论 3）热分析问题的有限元法 热对流 热对流是指固体的表面与它周围接触的流体之间，由于温差的存 在引起的热量的交换。热对流有两类：自然对流和强制对流。热 对流用牛顿冷却方程来描述如下所示： 式中， h为对流换热系数； TS为固体表面的温度； TB为周围流体的温度 35 9.1.3 有限元法的基本理论 3）热分析问题的有限元法 热辐射 热辐射指物体发射电磁能，并被其他物体吸收转变为热的热交 换过程。物体温度越高，单位时间辐射的热量越多。热辐射传递可 以用斯蒂芬 -波尔兹曼方程来计算。 式中， q为热流率； 为辐射率 (黑度 )， 为斯蒂芬 -波尔兹曼 常数， A1为辐射面 1的面积， F12为辐射面 1到辐射面