电力系统分析习题集

电力系统分析习题集（第一章）【例1-1】 在图1-10中表示了一个电力网络的等值电路。图中给出了支路阻抗和对地导纳的标么值。其中节点2和4间，节点3和5间为变压器支路，变压器漏抗和变比如图所示，试求其导纳矩阵。【解】：根据第1-2-2中所述的方法，可以按节点顺序逐行逐列地求出导纳矩阵的有关元素。图1-10 例系统等值电路图图中接地支路（并联支路）标出的是导纳值，节点间支路（串联支路）标出的是阻抗值。由式(1-31)可以求出节点1的自导纳为： 与节点1有关的互导纳可根据式(1-32)求出： 支路2-4为变压器支路，采用图1-4(a)的模拟电路，由式(1-31)及式(1-35)可以求出节点2的自导纳为：与节点2有关的互导纳为： 根据式(1-33)， 用类似的方法可以求出导纳矩阵的其它元素。最后得到导纳矩阵为： 矩阵中未标数字的元素为零元素。【解】由原方程组可写出其增广矩阵： 首先按式（1-44）对第一行规格化，即用其对角元素1除第一行各元素。我们得到： 然后按式（1-45）消去第一列，我们得到： 现在对第二列进行消去运算。先按式（1-44）对第二行规格化，即用其对角元素-3除第二行各元素： 然后按式（1-45）消去第二列，我们得到： 现在对第三列进行消去运算。先按式（1-44）对第三行规格化，即用其对角元素除第三行各元素： 然后按式（1-45）消去第三列，我们得到： 最后，按式（1-44）对第四行规格化，即用其对角元素除第四行元素， 这样，经消去运算后，我们得到原方程组的同解方程组为： 按式（1-48）对以上同解方程组进行回代运算，即可逐个求出： 【例1-3】求出例1-2中线性方程组系数矩阵的因子表，并用该因子表对下列常数项：求解。【解】对照例1-2的求解过程，即可写出系数矩阵的因子表为：上面因子表下三角部分的元素就是该例的系数矩阵消去过程中画括弧的数字（对角元素用倒数替代）；而因子表上三角部分就是该例中系数矩阵消去过程最终的上三角部分。以下用此因子表下三角部分的元素对按列消去。首先根据式（1-52）对规格化，即用除，得出： 然后用因子表下三角部分第一列元素，按照式（1-53）分别对运算： 以上完成了第一列的消去运算， 现在再根据式（1-52）对规格化，即用除，得出： 然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式（1-53）分别对运算： 以上完成了第二列的消去运算， 现在再根据式（1-52）对规格化，即用除，得出： 然后用因子表下三角部分第三列元素，按照式（1-53）分别对运算： 以上完成了第三列的消去运算， 最后，再根据式（1-52）对规格化，即用除，得出： 以上完成了全部消去运算， 对照因子表，至此我们相当于得到了如下的同解方程组：按照式（1-54），利用因子表的上三角部分即可逐个求得各变量的值： 应该指出，式（1-50）所示的因子表不仅可以用高斯消去法求出，而且可以用三角分解的方法求出。不难验证，上例中的因子表与其系数矩阵有如下关系： （1-55）其中： 或者还可把进一步分解为： （1-56）在上例中，只要用中各列对角元素除相应列的各非对角元素，即可得到；而的对角元素则构成： 【例1-4】试用稀疏技术求解例1-2的线性方程组。【解】为了充分利用方程组的稀疏特性，对于例1-2的线性方程组： （1-62）做如下的变换： （1-63）则原方程组变为： （1-64）我们将用因子表的方法解该方程组。其系数矩阵为：首先对第一行规格化及对第一列消去。在这里仅有两次运算。一次规格化运算和一次消去运算，上式括弧数字就是这两次运算的计算因子。对于的系数矩阵而言，消去第一列本应包括一次规格化运算和三次消去运算，但由于上式中和均为零，故相应的运算即可免除。这样得到：然后对第二行规格化及对第二列消去。在这里也仅有两次运算。一次规格化运算和一次消去运算，上式括弧数字就是这两次运算的计算因子。对于的系数矩阵而言，消去第二列本应包括一次规格化运算和二次消去运算，但由于上式中为零，故相应的运算即可免除。这样得到： 对第三行规格化及对第三列消也有两次运算。一次规格化运算和一次消去运算，上式括弧数字就是这两次运算的计算因子。消去后得到： 因此，我们可以写出其系数矩阵的因子表： 应当指出，以上因子表也可以用三角分解公式（1-60），（1-61）求得，读者可自行验证。上述因子表含有6个零元素，因此求解时将减少6次乘加运算。以下我们对常数向量求解： 首先，用因子表下三角部分的元素对按列消去。根据式（1-52）对规格化，即用除，得出： 然后用因子表上三角部分第一列元素，按照式（1-53）分别对运算。由于均为零，故有： 这两步计算完全可以免去，而只需做以下运算， 以上完成了第一列的消去运算， 现在再根据式（1-52）对规格化，即用除，得出： 然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式（1-53）分别对运算。由于为零，故只进行与有关的运算： 以上完成了第二列的消去运算， 现在再根据式（1-52）对规格化，即用除，得出： 然后用因子表下三角部分第三列元素，按照式（1-53）分别对运算： 以上完成了第三列的消去运算， 最后，再根据式（1-52）对规格化，即用除，得出： 以上完成了全部消去运算， 对照因子表，至此我们相当于得到了如下的同解方程组：按照式（1-54），利用因子表的上三角部分即可逐个求得各变量的值。由于，以及为零，故回代过程可免除三次乘加运算： 将以上解代入式（1-63）中即可得到原方程组（1-62）的解。【例1-5】求解如下线性方程组：【解】此线性方程组的系数矩阵和例1-4中的式（1-64）一样，只是右端常数项是个稀疏向量：因此，此线性方程组的因子表也和（1-64）相同： 将此因子表分解，容易得出： ； ； 。首先讨论消去过程。由消去公式（1-53）， 可知，当为零时，所有与有关的运算可以避免。换句话说，下三角阵中第列元素可以忽略不用。在本例中，为零，故中第一列元素可以跳过。因此，对该稀疏向量来说，消去过程应从第二列开始进行。消去过程同样包括规格化运算和消去运算。消去后，右端常数项的稀疏向量变为： 然后进行第三列的消去。由于的第三个元素为零，故可以跳过中第三列元素，直接进入第四列的消去过程。这时只需用对进行规格化运算，从而得到消去过程结束后的常数项向量： 以下讨论回代过程。如前所述，在稀疏向量法中回代过程只有按行进行才能见效。如果在解向量中我们只对感兴趣，则上三角阵中第一行和第二行元素有关运算完全可以免去。如果在解向量中我们只对感兴趣，则上三角阵中第一行元素有关运算完全可以免去；此外，由于，故和中第三行元素有关运算完全也可以免去。因此，只用上三角阵中第二行元素：进行回代即可， 【例1-6】试求图1-11所示电力网络的因子化路径。【解】图1-11所示电力网络的导纳矩阵的结构如图1-11中黑点所示（图中只表示了下三角部分）。由于该电力网络共有21条支路，故共有21个黑点所代表的非对角元素。三角分解以后，增加了10个注入元素（图中用圆圈表示）。故因子表中共有31个元素。132435101412915617811 图1-11 一个电力网络的接线图由因子表的结构很容易确定单元素向量的因子化路径。例如：时，因子化路径为：时，因子化路径为：时，因子化路径为：等等。当稀疏向量为非单元素向量时，其路径为各单元素向量因子化路径的并集。对如下稀疏向量：图1-12 一个电力网络的因子表的结构图其因子化路径为上述及时因子化路径的并集：为了找出所有因子化路径，对图1-12因子表结构可列出以下链接表：表1-1 因子表结构的链接表点号链接点号点号链接点号128102791034101248111351112136913147121415151413115121084396721图1-13全部因子化路径图由表1-1 的因子表结构链接表可以得到因子化路径，如图1-13所示。利用此因子化路径就可以高效处理稀疏向量有关的问题。例如，想知道当在节点5注入电流（其它节点注入电流为零）时，节点1的电压是多少。为此，只需按以下因子路径进行消去：按以下因子路径进行回代：即可。以上求解过程只涉及5列上三角元素和7行上三角元素，计算效率明显提高。对于稀疏向量法来说，由于上述因子路径已预先求出，可直接应用，故省去了无谓的搜索和清零运算。【例17】 试对图1-16所示电力网络进行节点编号优化。【解】以下分别用三类节点优化编号方法进行编号。图 1-16 电力网络节点编号的例1用静态优化法编号图 1-16所示电力网络共有8个节点，14条支路。各节点出线表如表1-2所示。表1-2 图1-14电力网络各节点出线表节 点MNOPQRST出线数43333336按照各节点出线数进行编号的结果如图1-17（a）所示。按照这种编号方案，在消去节点的过程中将出现四条新支路。即消去节点1时，出现新支路2-7和2-8；在消去节点2时，出现新支路3-7和4-7。对这样编号所形成的导纳矩阵进行三角分解以后，其下三角阵的结构如例图1-17（b）所示，其中四个注入元素、，和上面说的新增加的四条支路相对应。 图 1-17 静态优化法编号的结果2用半动态优化法编号编号过程如表1-3所示。编号结果如图1-18(a)所示。按照这种编号方案，在节点的消去过程中共出现二条新支路，即在消去节点1时出现新支路4-5和4-8。表1-3节点MNOPQRST被编节点节点号各节点出线数的变化情况4444(3)(3)343(2)3(3)33(2)33333(2)333332(1)6654321(0)NPQOMRST1314151617181920 图1-18半动态和动态优化法编号的结果3用动态优化法编号为了确定首先编那一个节点，需要分别计算消去网络中各节点时出现的新支路数。计算结果如表1-4所示。由表1-4中可以看出，应先编节点R或节点S。假设我们把R点编为1号，并立即从网络中消去。然后再计算分别消去其余节点时，出现的新支路数，所得结果如表1-5所示。表1-4 第1号节点的确定被消节点MNOPQRST出现新支路数222110010表1-5 第2号节点的确定被消节点MNOPQST出现新支路数1221107由表1-5中可以看出，应把节点S编为2号。把S消去后，再计算分别消去其余节点时出现的新支路数，可以确定把M点编为3号。这样继续下去，直到编完全部节点，结果如图1-18(b)所示。按照这种编号方案，在消去节点的过程中只出现一条新支路5-8。【例1-8】用三角分解法由导纳矩阵求例1-1所示电力网络的阻抗矩阵。【解】利用1-3节中式（1-61）对例1-1所形成的导纳矩阵进行三角分解： 同样，可以用递推公式求出其它元素。最后将导纳矩阵分解为：以下首先求阻抗矩阵中的第一列元素。在这种情况下，式(1-83)应写为：因此：由式（1-85）可知：根据式（1-86），利用下式进行回代：即可求出阻抗矩阵的第一列元素：用同样的方法，可以逐列求、，从而求得整个阻抗矩阵。【例1-9】用支路追加法形成图1-10所示电力网络的阻抗矩阵。【解】为了计算方便，先把图1-10中线路两端的对地电容都集中到相应节点上，并用对地容抗的形式表示，即得到图1-24的等值电路。按图中的节点编号，可先排列出追加支路的顺序表：追加支路顺序号支 路 两 端的 节 点 号阻 抗 值 (1)0 1(2)0 2(3)1 2(4)0 3-(5)1 3(6)2 3(7)2 4(8)3 5然后把支路追加的顺序号标志在网络接线图上，见图1-24。图1-24用支路追加法形成所示电力网络的阻抗矩阵阻抗矩阵的形成过程如下。 首先取接地支路形成一阶阻抗矩阵：的阻抗值为，于是形成 1 1 追加支路(2)：为一树支，。根据追加树支的原则，在这种情下应形成二阶矩阵，新增加的元素应按式(1-93)及(1-94)计算： 由阻抗矩阵各元素的物理意义不难推断： 因而 于是形成：121-j42-j2 追加支路(3)：为一链支，由式(1101)可以求得：由式(1-105)可知:以下可按式(1-108)修正二阶矩阵的全部元素： 于是得到支路1、2、3所组成网络的阻抗矩阵：1210.019356j1.1217526-0.096282j 1.3912372-0.096282j 1.3912370.004839j 1.304381 追加支路(4)：为接地树支，计算方法与相同。结果得到如下的三阶矩阵：12310.019356j1.1217526-0.096282j 1.3912372-0.096282j 1.3912370.004839j 1.3043813-j4 追加支路(5)和支路(6)：和均为链支，因此矩阵的阶数不变，计算步骤与相同。追加这两个链支以后，得到如下的三阶矩阵：12310.017972j0.914690-0.005555j 1.0329111-0.006862-j1.0194872-0.005555j 1.03291110.007781j 0.964591-0.010007-j1.0379073-0.006862-j1.019487-0.010007-j1.0379070.026875-j0.904700 追加支路(7)：为变压器支路的树支，。和图1-23(a) 所示的情况不同，该变压器的非标准变比在侧，不能直接用式(1-109)式(1-110)进行计算。因此，在计算以前，应将变压器支路转变为图1-23(c)的形式，如图1-25所示。图1-25 变压器得等值电路这样，可以根据式(1109)、(1110)来计算第四行和第四列的元素:这样就得到了四阶矩阵：123410.017972j0.914690-0.005555j 1.0329111-0.006862-j1.