2017年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年山东省济南市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1设集合 A=x| 0， B=x| 4 x 1，则 A B=（ ） A 3， 1 B 4， 2 C 2， 1 D（ 3， 1 2若复数 z 满足（ +i） z=4i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ） A 1 i B i C +i D 1+ i 3中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里 40 名学生得分数据的茎叶图如图所示若规定 得分不小于 85 分的学生得到 “诗词达人 ”的称号，小于 85 分且不小于 70 分的学生得到 “诗词能手 ”的称号，其他学生得到 “诗词爱好者 ”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生中获得 “诗词能手 ”称号的人数为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 4在 ， ， ， B=60，则 面积为（ ） A B 2 C 2 D 3 5若变量 x， y 满足约束条件 则 z= 的最小值等于（ ） A 4 B 2 C D 0 6设 x R，若 “|x a| 1（ a R） ”是 “x2+x 2 0”的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 3 2， + ） B（ ， 3） （ 2， + ） C（ 3， 2）D 3， 2 7我国古代数学家刘徽（如图 1）在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是，他对九章算术中 “开立圆术 ”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体 “牟盒方盖 ”：一正方体相邻的两个侧面为底座两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分（如图 2）如果 “牟盒方盖 ”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状 为下列几幅图中的（ ） A B C D 8若 0，有四个不等式： 3 3； ； a3+2下列组合中全部正确的为（ ） A B C D 9已知 O 为坐标原点， F 是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点， A，B 分别为左、右顶点，过点 F 做 x 轴的垂线交双曲线于点 P， Q，连接 ，连结 点 M，若 M 是线段 中点，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B C 3 D 10设函数 f（ x） = 当 x ， 时，恒有 f（ x+a） f（ x），则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ 1， ） C（ ， 0） D（ ， 二、填空题（本小题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11函数 f（ x） = + 的定义域为 12执行如图所示的程序框图，当输入的 x 为 2017 时，输出的 y= 13已知（ 1 2x） n（ n N*）的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为 14在平面直角坐标系内任取一个点 P（ x， y）满足 ，则点 P 落在曲线y= 与直线 x=2， y=2 围成的阴影区域（如图所示）内的概率为 15如图，正方形 边长为 8，点 E， F 分别在边 ，且 F=果对于常数 m，在正方形 四条边上有且只有 6 个不同的点 P，使得 =m 成立，那么 m 的取值范围是 三、解答题（本题共 6 小题，共 75 分） 16已知函数 f（ x） =（ 2 2 （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）求 f（ x）在 0， 上的值域 17如图，正四棱 台 高为 2，下底面中心为 O，上、下底面边长分别为 2 和 4 （ 1）证明：直线 平面 （ 2）求二面角 B O 的余弦值 18已知 公差不为零的等差数列， 其前 n 项和， ，并且 a5，等比数列，数列 前 n 项和为 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 ，求数列 前 n 项和 M 19 2017 年 1 月 25 日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式， （ ）每 30 分钟收 （不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算）有甲、乙、丙三人相互对立的到租车点租车骑行（各租一车一次）设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为 ， ， ，三人租车时间都不会超过 60 分钟，甲、乙均租用 单车，丙租用经典版单车 （ 1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率； （ 2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 20已知函数 f（ x） = a+1） x+中 a R （ 1）当 a 0 时，讨论函数 f（ x） 的单调性； （ 2）当 a=0 时，设 g（ x） = x） +2，是否存在区间 m， n（ 1， + ）使得函数 g（ x）在区间 m， n上的值域为 k（ m+2）， k（ n+2） ？若存在，求实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由 21设椭圆 C： + =1（ a b 0），定义椭圆的 “伴随圆 ”方程为 x2+y2=a2+抛物线 y 的焦点与椭圆 C 的一个短轴重合，且椭圆 C 的离心率为 （ 1）求椭圆 C 的方程和 “伴随圆 ” （ 2）过 “伴随圆 ” 作椭圆 C 的两条切线 A， B 为切点，延长 “伴随圆 ”E 交于点 Q， O 为坐标原点 证明： 若直线 斜率存在，设其分别为 判断 否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由 2017 年山东省济南市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1设集合 A=x| 0， B=x| 4 x 1，则 A B=（ ） A 3， 1 B 4， 2 C 2， 1 D（ 3， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分别求出集合 A 和 B，由此利用交集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=x| 0=x| 3 x 2， B=x| 4 x 1， A B=x| 3 x 1=（ 3， 1 故选： D 2若复数 z 满足（ +i） z=4i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ） A 1 i B i C +i D 1+ i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： （ +i） z=4i， ， 故选： D 3中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小 学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里 40 名学生得分数据的茎叶图如图所示若规定得分不小于 85 分的学生得到 “诗词达人 ”的称号，小于 85 分且不小于 70 分的学生得到 “诗词能手 ”的称号，其他学生得到 “诗词爱好者 ”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生中获得 “诗词能手 ”称号的人数为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 【考点】 分层抽样方法；茎叶图 【分析】 由茎叶图可得，获 ”诗词达人 ”的称号有 8 人，再根据分层抽样的定义即可求出 【解答】 解：由茎叶图可得，获 ”诗词达人 ”的称号有 8 人， 据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生， 则抽选的学生中获得 “诗词能手 ”称号的人数为 = ，解得 n=2 人， 故选： A 4在 ， ， ， B=60，则 面积为（ ） A B 2 C 2 D 3 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用余弦定理可求 值，进而利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 解： ， ， B=60， 由余弦定理可得： 2C： 13= 解得： 或 3（舍去）， S C= 故选： A 5若变量 x， y 满足约束条件 则 z= 的最小值等于（ ） A 4 B 2 C D 0 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，再由 z= 的几何意义，即可行域内的点与定点 P（ 3， 0）连线的斜率求解 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 2， 2）， z= 的几何意义为可行域内的点与定点 P（ 3， 0）连线的斜率 ， z= 的最小值等于 2 故选： B 6设 x R，若 “|x a| 1（ a R） ”是 “x2+x 2 0”的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 3 2， + ） B（ ， 3） （ 2， + ） C（ 3， 2）D 3， 2 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 |x a| 1（ a R），解得 x由 x2+x 2 0，解得 x又 “|x a| 1（ a R） ”是 “x2+x 2 0”的充分不必要条件，可得 1 a 1，或 a+1 2即可得出 【解答】 解：由 |x a| 1（ a R），解得： a 1 x a+1 由 x2+x 2 0，解得 x 1 或 x 2 又 “|x a| 1（ a R） ”是 “x2+x 2 0”的充分不必要条件， 1 a 1，或 a+1 2 a 2，或 a 3 故选： A 7我国古代数学家刘徽（如图 1）在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是，他对九章算术中 “开立圆术 ”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体 “牟盒方盖 ”：一正方体相邻的两个侧面为底座两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分（如图 2）如果 “牟盒方盖 ”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形 状为下列几幅图中的（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形根据 “牟盒方盖 ”的主视图和左视图都是圆，可得其俯视图形状 【解答】 解：由题意， “牟盒方盖 ”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为， 故选 D 8若 0，有四个不等式： 3 3； ； a3+2下列组合中全部正确的为（ ） A B C D 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 根据不等式的性质分别对 判断即可 【解答】 解：若 0，则 b a 0， 确； 令 b=2， a=1，则 3=3；故 错误； 由 ， 得： b+a 2 b a， 故 a ，故 a b，成立， 故 正确； b a 0， 2ab+0， ab+*） 而 a， b 均为正数， a+b 0， （ a+b）（ ab+ a+b）， a3+立 而 2 不一定成立，故 错误； 故选： B 9已知 O 为坐标原点， F 是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点， A，B 分别为左、右顶点，过点 F 做 x 轴的垂线交双曲线于点 P， Q，连接 ，连结 点 M，若 M 是线段 中点，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B C 3 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用已知条件求出 P 的坐标，然后求解 E 的坐标，推出 M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可 【解答】 解：由题意可得 P（ c， ）， B（ a， 0），可得 方程为： y=（ x a）， x=0 时， y= ， E（ 0， ）， A（ a， 0）， 则 方程为： y= （ x+a），则 M（ c， ）， M 是线段 中点， 可得： 2 = ， 即 2c 2a=a+c， 可得 e=3 故选： C 10设函数 f（ x） = 当 x ， 时，恒有 f（ x+a） f（ x），则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ 1， ） C（ ， 0） D（ ， 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 考虑 a=0， a 0 不成立，当 a 0 时，画出 f（ x）的图象和 f（ x+a）的大致图象，考虑 x= 时两函数值相等，解方程可得 a 的值，随着 y=f（ x+a）的图象左移至 f（ x）的过程中，均有 f（ x）的图象恒在 f（ x+a）的图象上，即可得到 a 的范围 【解答】 解： a=0 时，显然不符题意； 当 x ， 时，恒有 f（ x+a） f（ x）， 即为 f（ x）的图象恒在 f（ x+a）的图象之上， 则 a 0，即 f（ x）的图象右移 故 A， B 错； 画出函数 f（ x） = （ a 0）的图象， 当 x= 时， f（ ） = a ； 而 f（ x+a） = ， 则 x= 时，由 a（ +a） 2+a = a ， 解得 a= （ 舍去）， 随着 f（ x+a）的图象左移至 f（ x）的过程中，均有 f（ x）的图象恒在 f（ x+a）的图象上， 则 a 的范围是（ ， 0）， 故选： C 二、填空题（本小题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11函数 f（ x） = + 的定义域为 x|x 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据二次根式的性质以及分母不是 0，求出函数的定义域即可 【解答】 解：由题意得： ， 解得： x 1， 故答案为： x|x 1 12执行如图所示的程序框图，当输入的 x 为 2017 时，输出的 y= 4 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量 x 的值，并输出满足退出循环条件时的 y 值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 x=2017， x=2015， 满足条件 x 0， x=2013 满足条件 x 0， x=2011 满足条件 x 0， x= 1 不满足条件 x 0，退出循环， y=4 输出 y 的值为 4 故答案为： 4 13已知（ 1 2x） n（ n N*）的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为 1 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据（ 1 2x） n（ n N*）的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等求出 n 的值，再令 x=1 求出二项式展开式中所有项的系数和 【解答】 解：（ 1 2x） n（ n N*）的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等， = ， n=2+7=9 （ 1 2x） 9 的展开式中所有项的系数和为： （ 1 2 1） 9= 1 故答案为： 1 14在平面直角坐标系内任取一个点 P（ x， y）满足 ，则点 P 落在曲线y= 与直线 x=2， y=2 围成的阴影区域（如图所示）内的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 根据定积分求出阴影部分的面积，结合几何概型求出事件的概率即可 【解答】 解： S 阴影 =2 （ 2 ） =3（ =3 正方形 =4， 则点 P 落在曲线 y= 与直线 x=2， y=2 围成的阴影区域（如图所示）内的概率为， 故答案为： 15如图，正方形 边长为 8，点 E， F 分别在边 ，且 F=果对于常数 m，在正方形 四条边上有且只有 6 个不同的点 P，使得 =m 成立，那么 m 的取值范围是 （ 1， 8） 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立坐标系，逐段分析 的取值范围及对应的解得答案 【解答】 解：以 在直线为 x 轴，以 在直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 如图，则 E（ 0， 6）， F（ 8， 4） （ 1）若 P 在 ，设 P（ x， 0）， 0 x 8 =（ x， 6）， =（ 8 x， 4） =8x+24， x 0， 8， 8 24 当 m=8 时有一解，当 8 m 16 时有两解 （ 2）若 P 在 ，设 P（ 0， y）， 0 y 8 =（ 0， 6 y）， =（ 8， 4 y） =（ 6 y） （ 4 y） =10y+24， 0 y 8， 1 24 当 m= 1 或 8 m 24，有一解，当 1 m 8 时有两解 （ 3）若 P 在 ，设 P（ x， 8）， 0 x 8 =（ x， 2）， =（ 8 x， 4） =8x+8， 0 x 8 8 4 当 m= 8 或 m=8 时有一解，当 8 m 8 时有两解 （ 4）若 P 在 ，设 P（ 8， y）， 0 y 8， =（ 8， 6 y）， =（ 0， 4 y） =（ 6 y） （ 4 y） =10y+24， 0 y 8， 1 24 当 m= 1 或 8 m 24 时有一解，当 1 m 8 时有两解 综上，在正方形 四条边上有且只有 6 个不同的点 P，使得 =m 成立，那么 m 的取值范围是（ 1， 8） 故答案为：（ 1， 8） 三、解答题（本题共 6 小题，共 75 分） 16已知函数 f（ x） =（ 2 2 （ 1）求 f（ x）的单调区间 ； （ 2）求 f（ x）在 0， 上的值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为 y=x+）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的区间上，解不等式得函数的单调递增（递减）区间； （ 2） x 0， 时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出 f（ x）的最大和最小值，即得到 f（ x）的值域 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =（ 2 2 化简可得： f（ x） =1+=2x ） +1， 由 得 x ， f（ x）的单调增区间为 ， ， k Z 由 得 x +2 f（ x）的单调减区间为 ， ， k Z （ 2）由（ 1）可知 f（ x） =2x ） +1， x 0， 上， x ， ， 当 x = 时，函数 f（ x）取得最小值为 =1 当 x = 时，函数 f（ x）取得最大值为 1 2+1=3 故得函数 f（ x）在 0， 上的值域为 ， 3 17如图，正四棱台 高为 2，下底面中心为 O，上、下底面边长分别为 2 和 4 （ 1）证明：直线 平面 （ 2）求二面角 B O 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）法一：推导出四边形 平行四边形，从而 此能证明直线 平面 法二：设上底面中心为 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线 平面 （ 2）求出平面 法向量和平面 法向 量，利用向量法能求出二面角 B O 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）证法一： 正四棱台 高为 2， 下底面中心为 O，上、下底面边长分别为 2 和 4 1 四边形 平行四边形， 平面 面 直线 平面 证法二：设上底面中心为 O 为原点， x 轴， y 轴， 建立空间直角坐标系， O（ 0， 0， 0）， ， 0， 2）， A（ 2 ， 0， 0）， D（ ， 0， 2）， ）， =（ 0， ， 2）， =（ 2 ， ， 0）， =（ ， 0， 2）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x= ，得 =（ ， 2 ， 1）， = 2+2=0 面 直线 平面 解：（ 2） B（ 0， ， 0）， C（ 2 ， 0， 0）， =（ 2 ， ， 0）， =（ ， 2）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 2， ）， 平面 法向量 =（ 1， 0， 0）， 设二面角 B O 的平面角为 ， 则 = = 二面角 B O 的余弦值为 18已知 公差不为零的等差数列， 其前 n 项和， ，并且 a5，等比数列，数列 前 n 项和为 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 ，求数列 前 n 项和 M 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）列方程组计算 公差 d，得出 用 = 出 ，从而得出 （ 2）化简 用错位相减法计算 【解答】 解：（ 1）设 公差为 d， ，并且 等比数列， ，解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n 1 = （ 3n 1）， = （ 3n+1 1）， = （ 3n+1 3n） =33n=3n+1 n （ 2） = = = ， + + + ， + + + + ， 得： + + + + + =1+ = ， 19 2017 年 1 月 25 日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式， （ ）每 30 分钟收 （不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算）有甲、乙、丙三人相互对立的到租车点租车骑行（各租一车一次）设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为 ， ， ，三人租车时间都不会超过 60 分钟，甲、乙均租用 单车，丙租用经典版单车 （ 1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率； （ 2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散 型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过 30 分钟还车其概率 P= （ 2） 的取值可能为 2， 3利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过 30 分钟还车其概率 P= = （ 2） 的取值可能为 2， 3 P（ = = ， P（ =2） =（ 1 ） + （ 1 ） + （ 1 ） = ， P（ =（ 1 ） （ 1 ） + （ 1 ） （ 1 ） +（ 1 ） （ 1 ） = ， P（ =3） =（ 1 ） （ 1 ） （ 1 ） = 的分布列为： 2 3 P +2 +3 = 20已知函数 f（ x） = a+1） x+中 a R （ 1）当 a 0 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）当 a=0 时，设 g（ x） = x） +2，是否存在区间 m， n（ 1， + ）使得函数 g（ x）在区间 m， n上的值域为 k（ m+2）， k（ n+2） ？若存在，求实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （ 2） a=0 时，求出函数的导数，问题转化为关于 x 的方程 =k（ x+2）在区间（ 1， + ）上是否存在两个不相等实根，即方程 k= 在区间（ 1，+ ）上是否存在两个不相等实根，令 h（ x） = ， x （ 1， + ），根据函数的单调性判断即可 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ 0， + ）， f（ x） = a+1） + = ，（ a 0）， 令 f（ x） =0 得： x= 或 x=1； 若 0 a 1，则 x （ 0， 1）时， f（ x） 0， x （ 1， ）时， f（ x） 0， x （ ， + ）时， f（ x） 0， 函数 f（ x）在（ 0， 1），（ ， + ）递增，在（ 1， ）上递减； a=1 时，则 x （ 0， + ）时， f（ x） 0，当且仅当 x=1 时， f（ x） =0， 故函数 f（ x）在（ 0， + ）递增； 若 a 1 时，则 x （ 0， ）时， f（ x） 0， x （ ， 1）时， f（ x） 0， x （ 1， + ）时， f（ x） 0， 故函数 z 在（ 0， ），（ 1， + ）递增，在（ ， 1）递减， 综上， 0 a 1 时， f（ x）在（ 0， 1），（ ， + ）递增，在（ 1， ）递减； a=1 时， f（ x）在（ 0， + ）递增，无递减区间； a 1 时， f（ x）在（ 0， ），（ 1， + ）递增，在（ ， 1）递减； （ 2） a=0 时， f（ x） =x， g（ x） =， g（ x） =2x 1， 令 （ x） =g（ x），则 （ x） =2 0， x （ 1， + ）， g（ x）在（ 1， + ）递增， x （ 1， + ），有 g（ x） g（ 1） =1 0， 即函数 g（ x）在区间（ 1， + ）递增， 假设存在区间 m， n （ 1， + ）， 使得函数 g（ x）在区间 m， n上的值域是 k（ m+2）， k（ n+2） ， 则 ， 问题转化为关于 x 的方程 =k（