2017年潍坊市高考数学一模预考数学试卷（理科）含答案解析

2017 年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 3i， +i，其中 i 是虚数单位，则 的虚部为（ ） A 1 B C i D 2已知全集为 R，且集合 A=x|x+1） 2， ，则 A （ 于（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 1 C 1， 2） D 1， 2 3将函数 f（ x） =2+ ）的图象向左平移 个单位，再向上 平移 3 个单位，得到函数 g（ x）的图象，则 g（ x）的解析式为（ ） A g（ x） =2 ） 3 B g（ x） =2+ ） +3 C g（ x） =2 ） +3 D g（ x） =2 ） 3 4若关于 x 的不等式 |x+1|+|x 2|+m 7 0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ 4， + ） B 4， + ） C（ ， 4） D（ ， 4 5在等比数列 ， a1+2， a32=81，且数列 前 n 项和 21，则此数列的项数 n 等于 （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 6某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A 2 B 4 C D 7已知实数 x， y 满足不等式组 ，若目标函数 z=y 得最大值时有唯一的最优解（ 1， 3），则实数 m 的取值范围是（ ） A m 1 B 0 m 1 C m 1 D m 1 8已知函数 f（ x） =f（ 1） x2+x+1，则 =（ ） A B C D 9已知圆 M 过定点（ 0， 1）且圆心 M 在抛物线 y 上运动，若 x 轴截圆 则弦长 |于（ ） A 2 B 3 C 4 D与点位置有关的值 10已知函数 f（ x） = ，函数 g（ x）满足以下三点条件： 定义域为 R； 对任意 x R，有 g（ x） = g（ x+2）； 当 x 1， 1时， g（ x）= 则函数 y=f（ x） g（ x）在区间 4， 4上零点的个数为（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11已知向量 满足 ， ， ，则 与 的夹角为 12已知正整数 m 的 3 次幂有如下分解规律： 13=1； 23=3+5； 33=7+9+11； 43=13+15+17+19； 若 m N+）的分解中最小的数为 91，则 m 的值为 13阅读如图所示的程序框图，则输出结果 S 的值为 14用 1， 2， 3， 4， 5 组成不含重复数字的五位数，要求数字 4 不出现在首位和末位，数字 1， 3， 5 中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 （注：结果请用数字作答） 15函数 f（ x）（ x R）满足 f（ 1） =2 且 f（ x）在 R 上的导数 f（ x）满足 f（ x） 3 0，则不等式 f（ 31 的解集为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16设向量 ， ， x R，记函数 （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 ， ，求 积的最大值 17已知数列 前 n 项和为 （ n N+） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 足 anbn=，记 Tn=b1+b2+ +证： （ n N+） 18在如图所示的几何体中，四边形 矩形，直线 平面 ， F=2，点 P 在棱 （ 1）求证： （ 2）若 P 是 中点，求异面直线 成角的余弦值； （ 3）若 ，求二面角 D C 的余弦值 19有人在路边设局，宣传牌上写有 “掷骰子，赢大奖 ”其游戏规则是这样的：你可以在 1， 2， 3， 4， 5， 6 点中任选一个，并押上赌注 m 元，然后掷 1 颗骰子，连续掷 3 次，若你所押的点数在 3 次掷骰子过程中出现 1 次， 2 次， 3 次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的 1 倍， 2 倍 ， 3 倍的奖励如果 3 次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收 （ 1）求掷 3 次骰子，至少出现 1 次为 5 点的概率； （ 2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议 20已知圆 圆心在坐标原点 O，且与直线 相切，设点 A 为圆上一动点， x 轴于点 M，且动点 N 满足 ，设动点 （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）若动直线 y=kx+m 与曲线 C 有且仅有一个公共点，过 1， 0）， 1， 0）两点分别作 足分别 为 P， Q，且记 点 直线 距离， 点 直线 距离， 点 P 到点 Q 的距离，试探索（ d1+否存在最值？若存在，请求出最值 21已知函数 f（ x） = （ 1）若 f（ x）在 3， 5上是单调递减函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）记 g（ x） =f（ x） +（ 2+a） 2（ b 1） x，并设 函数g（ x）的两个极值点，若 ，求 g（ g（ 最小值 2017 年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 3i， +i，其中 i 是虚数单位，则 的虚部为（ ） A 1 B C i D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解： = = = 的虚部为 故选： B 2已知全集为 R，且集合 A=x|x+1） 2， ，则 A （ 于（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 1 C 1， 2） D 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 解 x+1） 2 即可求出集合 A，而解不等式 即可求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可求出 A （ 【解答】 解：由 x+1） 2 得， x+1） 0 x+1 4； 解得 1 x 3； A=（ 1， 3）； 解 得， x 1，或 x 2； B=（ ， 1） 2， + ）； 1， 2）； A （ =1， 2） 故选 C 3将函数 f（ x） =2+ ）的图象向左平移 个单位， 再向上平移 3 个单位，得到函数 g（ x）的图象，则 g（ x）的解析式为（ ） A g（ x） =2 ） 3 B g（ x） =2+ ） +3 C g（ x） =2 ） +3 D g（ x） =2 ） 3 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：将函数 f（ x） =2+ ）的图象向左平移 个单位， 再向上平移 3 个单位，得到函数 g（ x）的图象， 则 g（ x） =2（ x+ ） + +3=2+ ） +3， 故选： B 4若关于 x 的不等式 |x+1|+|x 2|+m 7 0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ 4， + ） B 4， + ） C（ ， 4） D（ ， 4 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 不等式变形移项处理： |x+1|+|x 2| 7 m，利用绝对值不等式的几何意义即可得到答案 【解答】 解：不等式 |x+1|+|x 2|+m 7 0， 移项： |x+1|+|x 2| 7 m， 根据绝对值不等式的几何意义，可知： |x+1|+|x 2|的最小值是 3， 解集为 R，只需要 3 7 m 恒成立即可， 解得 m 4， 故选： A 5在等比数列 ， a1+2， a32=81，且数列 前 n 项和 21，则此数列的项数 n 等于（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由题意易得 方程 82x+81=0 的两根，求解方程得到两根，分数列递增和递减可得 由 21 得 q，进一步可得 n 值 【解答】 解：由等比数列的性质可得 a32=81， 又 a1+2， 方程 82x+81=0 的两根， 解方程可得 x=1 或 x=81， 若等比数列 增，则 ， 1， 21， = =121， 解得 q=3， 81=1 3n 1，解得 n=5； 若等比数列 减，则 1， ， 21， = =121， 解得 q= ， 1=81 （ ） n 1，解得 n=5 综上，数列的项数 n 等于 5 故选： B 6某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A 2 B 4 C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体 积 【分析】 由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积 S= （ 3+1） 3=6， 高 h=2， 故体积 V= =4， 故选： B 7已知实数 x， y 满足不等式组 ，若目标函数 z=y 得最大值时有唯一的最优解（ 1， 3），则实数 m 的取值范围是（ ） A m 1 B 0 m 1 C m 1 D m 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函 数的几何意义，得到直线y=mx+z 斜率的变化，从而求出 m 的取值范围 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， 由 z=y y=mx+z，即直线的截距最大， z 也最大 若 m=0，此时 y=z，不满足条件； 若 m 0，目标函数 y=mx+z 的斜率 k=m 0，要使目标函数 z=y 得最大值时有唯一的最优解（ 1， 3）， 则直线 y=mx+z 的斜率 m 1 若 m 0，目标函数 y=mx+z 的斜率 k=m 0，不满足题意 综上， m 1 故选： C 8已知函数 f（ x） =f（ 1） x2+x+1，则 =（ ） A B C D 【考点】 定积分 【分析】 求出 f（ 1） = 1，再根据定积分法则计算即可 【解答】 解： f（ x） =f（ 1） x2+x+1， f（ x） =2f（ 1） x+1， f（ 1） =2f（ 1） +1， f（ 1） = 1， f（ x） = x2+x+1， =（ x2+x） = ， 故选 B 9已知圆 M 过定点（ 0， 1）且圆心 M 在抛物线 y 上运动，若 x 轴截圆 则弦长 |于（ ） A 2 B 3 C 4 D与点位置有关的值 【考点 】 抛物线的简单性质 【分析】 根据条件设 M（ a， ），并可得出圆 M 的半径，从而得出圆 M 的方程，令 y=0 便可求出 x，即求出 P， Q 点的坐标，根据 P， Q 点的坐标便可得出| 【解答】 解：设 M（ a， ）， r= ； 圆 M 的方程为：（ x a） 2+（ y ） 2= 1） 2， 令 y=0， x=a 1； |a+1（ a 1） =2 故选： A 10已知函数 f（ x） = ，函数 g（ x）满足以下三点条件： 定义域为 R； 对任意 x R，有 g（ x） = g（ x+2）； 当 x 1， 1时， g（ x）= 则 函数 y=f（ x） g（ x）在区间 4， 4上零点的个数为（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 当 x 3， 1时， g（ x） =2 ；当 x 1， 3时， g（ x）= ，在同一坐标系中，作出 f（ x）， g（ x）的图象，两个图象有 4 个交点，可得结论 【解答】 解： 对任意 x R，有 g（ x） = g（ x+2）；当 x 1， 1时， g（ x）= ， 当 x 3， 1时， g（ x） =2 ；当 x 1， 3时， g（ x） = ， 在同一坐标系中，作出 f（ x）， g（ x）的图象，两个 图象有 4 个交点， 函数 y=f（ x） g（ x）在区间 4， 4上零点的个数为 4， 故选 D 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11已知向量 满足 ， ， ，则 与 的夹角为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 将式子 展开计算 ，代入向量的夹角公式计算即可 【解答】 解： ， 3 +2 =4， 即 12 4+2 =4， = 2 = = ， 的夹角为 故答案为： 12已知正整数 m 的 3 次幂有如下分解规律： 13=1； 23=3+5； 33=7+9+11； 43=13+15+17+19； 若 m N+）的分解中最小的数为 91，则 m 的值为 10 【考点】 归纳推理 【分析】 由题意知， n 的三次方就是 n 个连续奇数相加，且从 2 开始，这些三次方的分解正好是从奇数 3 开始连续出现，由此规律即可建立 m N*）的分解方法，从而求出 m 的值 【解答】 解：由题意，从 23 到 好用去从 3 开始的连续奇数共2+3+4+ +m= 个， 91 是从 3 开始的第 45 个奇数 当 m=9 时，从 23 到 93，用去从 3 开始的连续奇数共 =44 个 当 m=10 时，从 23 到 103，用去从 3 开始的连续奇数共 =54 个 故 m=10 故答案为： 10 13阅读如图所示的程序框图，则输出结果 S 的值为 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，程序的功能是求和 S= + + + ，利用裂项法，即可求和 【解答】 解：由题意，程序的功能是求和 S= + + + =1 + + + = ， 故答案为 14用 1， 2， 3， 4， 5 组成不含重复数字的五位数，要求数字 4 不出现在首位和末位，数字 1， 3， 5 中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的 个数是 48 （注：结果请用数字作答） 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 对数字 2 分类讨论，结合数字 1， 3， 5 中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得出结论 【解答】 解：数字 2 出现在第 2 位时，数字 1， 3， 5 中相邻的数字出现在第 3，4 位或者 4， 5 位，共有 2 个， 数字 2 出现在第 4 位时，同理也有 12 个； 数字 2 出现在第 3 位时，数字 1， 3， 5 中相邻的数字出现在第 1， 2 位或第 4， 5位，共有 4 个， 故满足条件的不同五位数的个数是 48 故答案为： 48 15函数 f（ x）（ x R）满足 f（ 1） =2 且 f（ x）在 R 上的导数 f（ x）满足 f（ x） 3 0，则不等式 f（ 31 的解集为 （ 0， 3） 【考点】 导数的运算 【分析】 令 g（ x） =f（ x） 3x，求出 g（ 1） = 1，问题转化为 g（ g（ 1），根据函数的单调性得到关于 x 的不等式，解出即可 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） 3x，则 g（ x） =f（ x） 3 0， 可得 g（ x）在 R 上递增， 由 f（ 1） =2，得 g（ 1） =f（ 1） 3= 1， f（ 31， 即 g（ g（ 1）， 故 1，解得： 0 x 3， 故不等式的解集是：（ 0， 3） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16设向量 ， ， x R，记函数 （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 ， ，求 积的最大值 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用 化简可求 f（ x） =2x ），令 2 2x 2， k Z，即可解得 f（ x）的单调递增区间 （ 2）由已知可求 2A ） = ，结合 锐角三角形，可得 A，利用余弦定理，基本不等式可求 2+ ，进而利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） =（ = 2x ）， 3 分 令 2 2x 2， k Z，解得： x ， k Z， 函数 f（ x）的单调递增区间为： ， ， k Z5 分 （ 2） ， 2A ） = ，结合 锐角三角形，可得： 2A = ， A= ， 7 分 在 ，由余弦定理 a2=b2+2得： 2=b2+（ 2 ）当且仅当 b=c 时等号成立） =2+ ， 又 ， 10 分 S （ 2+ ） = ，（当且仅当 b=c 时等号成立） 积的最大值为 12 分 17已知数列 前 n 项和为 （ n N+） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 足 anbn=，记 Tn=b1+b2+ +证： （ n N+） 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用递推关系：当 n=1 时， 1，当 n 2 时， n 1，及其等比数列的通项公式即可得出； （ 2）求出 =（ 4n+1）（ ） n，利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 （ 1）解：由 （ n N+） 当 n=1 时， 1， 2=3 n=2 时， 2=3有 2（ a1+3=3得 当 n 2 时， n 1， 2=3n N*）， 21+3=31， 两式相减可得 231， 1， 数列 以 9 为首项， 3 为公比的等比数列 n对 n=1 也成立 故数列 通项公式为 n （ 2）证明：由 anbn=4n+1， 得 =（ 4n+1）（ ） n， n=b1+b2+ + +9（ ） 2+ +（ 4n+1） （ ） n， （ ） 2+9（ ） 3+ +（ 4n+1） （ ） n+1， 两式相减得， +4 （ ） 2+（ ） 3+ +（ ） n（ 4n+1） （ ） n+1 = +4 （ 4n+1） （ ） n+1， 化简可得 （ 4n+7） （ ） n 18在如图所示的几何体中，四边形 矩形，直线 平面 ， F=2，点 P 在棱 （ 1）求 证： （ 2）若 P 是 中点，求异面直线 成角的余弦值； （ 3）若 ，求二面角 D C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 此能证明 （ 2）以 A 为原点， 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D C 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） 平面 又 ， 平面 又 面 解：（ 2） 直线 平面 面 由（ 1）得 以 A 为原点， 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（ 1， 0， 0）， E（ ， 0， 1）， P（ 0， 1， ）， C（ 1， 2， 0）， =（ ）， =（ 1， 1， ）， 设异面直线 成角为 ， 则 = ， 异面直线 成角的余弦值为 （ 3） 平面 平面 一个法向量 由 知 P 为 三等分 点，且此时 在平面 ， ， 平面 一个法向量 ， 又 二面角 D C 的大小为锐角， 该二面角的余弦值为 19有人在路边设局，宣传牌上写有 “掷骰子，赢大奖 ”其游戏规则是这样的：你可以在 1， 2， 3， 4， 5， 6 点中任选一个，并押上赌注 m 元，然后掷 1 颗骰子，连续掷 3 次，若你所押的点数在 3 次掷骰子过程中出现 1 次， 2 次， 3 次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的 1 倍， 2 倍， 3 倍的奖励如果 3 次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收 （ 1）求掷 3 次骰子，至少出现 1 次为 5 点的概率； （ 2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）掷 3 次骰子，至少出现 1 次为 5 点的对立事件是 3 次都没有出现 5点，根据对立事件的性质，能求出掷 3 次骰子，至少出现 1 次为 5 点的概率 （ 2）试玩游戏，设获利 元，则 的可能取值为 m， 2m， 3m， m，分别求出相应的概率，由此能求出 0，建议大家不要尝试 【解答】 解：（ 1）掷 3 次骰子，至少出现 1 次为 5 点的对立事件是 3 次都没有 出现 5 点， 根据对立事件的性质，掷 3 次骰子，至少出现 1 次为 5 点的概率： p=1 = （ 2）试玩游戏，设获利 元，则 的可能取值为 m， 2m， 3m， m， P（ =m） = = ， P（ =2m） =C （ ） 2 = ， P（ =3m） = = ， P（ = m） = ， = m， 0，建议大家不要尝试 20已知圆 圆心在坐标原点 O，且与直线 相切，设点 A 为圆上一动点， x 轴于点 M，且动点 N 满足 ，设动点 （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）若动直线 y=kx+m 与曲线 C 有且仅有一个公共点，过 1， 0）， 1， 0）两点分别作 足分别为 P， Q，且记 点 直线 距离， 点 直线 距离， 点 P 到点 Q 的距离，试探索（ d1+否存在最值？若存在，请求出最值 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）设圆 x2+2，根据圆 直线 切，求出圆的方程为x2+2，由此利用相关点法能求出曲线 C 的方程 （ 2）将直线 y=kx+m 代入曲线 C 的方程 32 中，得（ 4） 12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出（ d1+在最大值，并能求出最大值 【解答】 解：（ 1）设圆 x2+2，根据圆 直线 切， 得 R，即 R=2 ， 圆的方程为 x2+2， 设 A（ N（ x， y）， x 轴于 M， M（ 0）， （ x， y） = （ +（ ）（ 0） =（ ）， ，即 ， 点 A（ 圆 的动点， =12， （ ）