2017年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知复数 z，满足（ z 1） i=i 1，则 |z|=（ ） A B C 2+i D 2已知集合 A=x|1， B=x| 1，则 A （ =（ ） A（ ， 2 B（ 0， 1 C 1， 2 D（ 2， + ） 3已知 =（ 2， m）， =（ 1， 2），若 （ +2 ），则 m 的值是（ ） A 4 B 4 C 0 D 2 4已知直线 y=k（ x+1）与不等式组 表示的区域有公共点，则 k 的取值范围为（ ） A 0， + ） B 0， C（ 0， D（ ， + ） 5执行如图程序，输出的结果为（ ） A 513 B 1023 C 1025 D 2047 6平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，凸 13边形的对角线条数为（ ） A 42 B 65 C 143 D 169 7刘徽的九章算术注中有这样的记载： “邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”意思是说：把 一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为 2： 1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（ ） A 2 B 2+ C 3+ D 3+ 8已知 f（ x） =b +4，若 f（ =3，则 f（ =（ ） A B C 5 D 8 9已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A = B = C f（ x） 的单调减区间为（ 2k ， 2k+ ）， k Z D f（ x）的对称中心是（ k+ ， 0）， k Z 10设函数 f（ 0） x=义 f（ 1） x=ff（ 0） （ x） ， f（ 2） （ x） =ff（ 1） （ x） ， ，f（ n） （ x） =ff（ n 1） （ x） ，则 f（ 1） A B C 0 D 1 11将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（ ） A B C D 12已知 P（ x， y）（其中 x 0）为双曲线 上任一点，过 P 点向双曲线的两 条渐近线分别作垂线，垂足分别为 A、 B，则 面积为（ ） A B C D与点 P 的位置有关 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13以点 M（ 2， 0）、 N（ 0， 4）为直径的圆的标准方程为 14在等差数列 ， 0， ， 数列 前 n 项和， 15已知点 P（ a， b）在函数 y= 上，且 a 1， b 1，则 最大值为 16已知双曲线 椭圆 + =1 具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面 积最大时双曲线 离心率为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 B=2C， 2b=3c （ 1）求 （ 2）若 c=4，求 面积 18经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对 “郑州的发展环境 ”对 20 名学生进行问卷调查打分（满分 100 分），得到如图 1 所示茎叶图 （ ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况； （ ）如图 2 按照打分区间 0， 60）、 60， 70）、 70， 80）、 80， 90）、 90， 100绘制的直方图中，求最高矩形的高； （ ）从打分在 70 分以下（不含 70 分）的同学中抽取 3 人，求有女生被抽中的概率 19如图，高为 1 的等腰梯形 ， D= ， M 为 三等分点，现将 起，使平面 平面 接 （ ）在 上是否存在点 P，使 平面 （ ） 当 点 P 为 中 点 时 ， 求 点 B 到 平 面 距离 20已知动圆 M 恒过点（ 0， 1），且与直线 y= 1 相切 （ 1）求圆心 M 的轨迹方程； （ 2）动直 线 l 过点 P（ 0， 2），且与点 M 的轨迹交于 A、 B 两点，点 C 与点 y 轴对称，求证：直线 过定点 21已知函数 f（ x） =ax+ （ ）若 f（ x）在区间（ 0， 1）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ ）设函数 h（ x） = f（ x）有两个极值点 ， 1），求证： |h（ h（ | 2 请考生在第 22、 23 二题中任选一题作答【选修 4标系与参数方程】 22已知曲线 极坐标方程是 =1，在以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴的平面直角坐标系中 ，将曲线 有点的横坐标伸长为原来的 3 倍，得到曲线 （ ）求曲线 参数方程； （ ）直线 l 过点 M（ 1， 0），倾斜角为 ，与曲线 、 |值 【选修 4等式选讲】 23已知不等式 |2x 3| x 与不等式 mx+n 0 的解集相同 （ ）求 m n； （ ）若 a、 b、 c （ 0， 1），且 ab+bc+ac=m n，求 a+b+c 的最小值 2017 年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题 ，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知复数 z，满足（ z 1） i=i 1，则 |z|=（ ） A B C 2+i D 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解：（ z 1） i=i 1， i（ z 1） i= i（ i 1）， z 1=1+i， z=2+i 则 |z|= = 故选： D 2已知集合 A=x|1， B=x| 1，则 A （ =（ ） A（ ， 2 B（ 0， 1 C 1， 2 D（ 2， + ） 【考点】 交、并 、补集的混合运算 【分析】 求函数定义域求出集合 A，解不等式求出集合 B， 根据补集与交集的定义写出 A （ 【解答】 解：集合 A=x|1=x|0 x 2， B=x| 1=x| 1 0=x|0 x 1， x|x 0 或 x 1， A （ =x|1 x 2=1， 2 故选： C 3已知 =（ 2， m）， =（ 1， 2），若 （ +2 ），则 m 的值是（ ） A 4 B 4 C 0 D 2 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分 析】 根据题意，由向量 、 的坐标可得 +2 =（ 4， m 4），又由 （ +2 ），则有 4 m=2 （ m 4），解可得 m 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意， =（ 2， m）， =（ 1， 2）， 则 +2 =（ 4， m 4）， 若 （ +2 ），则有 4 m=2 （ m 4），即 m 4=2m， 解可得 m= 4； 故选： A 4已知直线 y=k（ x+1）与不等式组 表示的区域有公共点，则 k 的取值范围为（ ） A 0， + ） B 0， C（ 0， D（ ， + ） 【考点】 简单线性规划 【分 析】 作出不等式组对应的平面区域，直线 y=1 过定点（ 0， 1），利用数形结合即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分， 直线 y=k（ x+1）过定点 D（ 1， 0）， 由图象可知要使直线 y=k（ x+1）与区域 有公共点， 则直线的斜率 k 由 ，得 B（ 1， 3）， 此时 ， 故 0 k ， 故选： C 5执行如图程序，输出的结果为（ ） A 513 B 1023 C 1025 D 2047 【考点】 程序框图 【分析】 执行循环体，依此类推，当 n=11，不满 足条件此时 s=2047，退出循环体，从而输出此时的 s 即可 【解答】 第一次循环， x=3， i=2 10， 第二次循环， x=7， i=3 10， 第三次循环， x=15， i=4 10， 第四次循环， x=31， i=5 10， 第五次循环， x=63， i=6 10， 第六次循环， x=127， i=7 10， 第七次循环， x=255， i=8 10， 第八次循环， x=511， i=9 10， 第九次循环， x=1023， i=10 10， 第十次循环， x=2047， i=11 10， 输出 x=2047， 故选： D 6平面内凸四 边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，凸 13边形的对角线条数为（ ） A 42 B 65 C 143 D 169 【考点】 归纳推理 【分析】 首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是 2 条对角线，五边形有5=2+3 条对角线，六边形有 9=2+3+4 条对角线，则七边形有 9+5=14 条对角线，则八边形有 14+6=20 条对角线根据对角线条数的数据变化规律进行总结即得 【解答】 解：可以通过列表归纳分析得到； 多边形 4 5 6 7 8 对角线 2 2+3 2+3+4 2+3+4+5 2+3+4+5+6 13 边形有 2+3+4+ +11= =65 条对角线 故选 B 7刘徽的九章算术注中有这样的记载： “邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为 2： 1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（ ） A 2 B 2+ C 3+ D 3+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图知该几何体 是底面为正方形， 且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积 【解答】 解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形， 且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示； 根据图中数据，计算其表面积为 S=S 正方形 12+ 1 1+ 1 + 1 + 1 1 =2+ 故选： B 8已知 f（ x） =b +4，若 f（ =3，则 f（ =（ ） A B C 5 D 8 【考点】 抽象函数及其应用；函数的 值 【分析】 由已知中 f（ x） =b +4，可得： f（ x） +f（ x） =8，结合 得答案 【解答】 解： f（ x） =b +4， f（ x） +f（ x） =8， f（ =3， f（ +f（ =8， f（ =5， 故选： C 9已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A = B = C f（ x）的单调减区间为（ 2k ， 2k+ ）， k Z D f（ x）的对称中心是（ k+ ， 0）， k Z 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出 的值，可判断出 A；把点（ ， 0）代入解析式化简后，由题意求出 的值判断出 B；由整体思想和正弦函数的单调性求出递减区间，判断出 C；由整体思想和正弦函数的对称中心求出 f（ x）的对称中心，判断出 D 【解答】 解：由图象得， A=1， T= =1，则 T=2， 由 得， =，则 A 正确； 因为过点（ ， 0），所以 +） =0， 则 +=k Z）， = +k Z）， 又 | ，则 = 或 ，所以 f（ x） =x ）或 f（ x） =x+ ），则 B 错误； 当 f（ x） =x+ ）时， 由 得， ， 所以函数的递增区间是（ 2k ， 2k+ ）， k Z，则 C 正确； 当 f（ x） =x ）时，由 x =k Z）得， x=k+ （ k Z）， 所以 f（ x）的对称中心是（ k+ ， 0）， k Z，则 D 正确； 故选 B 10设函数 f（ 0） x=义 f（ 1） x=ff（ 0） （ x） ， f（ 2） （ x） =ff（ 1） （ x） ， ，f（ n） （ x） =ff（ n 1） （ x） ，则 f（ 1） A B C 0 D 1 【考点】 导数的运算 【分析】 求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可 【解答】 解： f（ 0） x= f（ 1） x=f（ 2） （ x） = f（ 3） （ x） = f（ 5） x= f（ 5） x=f（ 1） （ x），即 f（ n+4） （ x） =f（ n） （ x）， 则 f（ n） （ x）是周期为 4 的周期函数， 则 f（ 1） （ x） +f（ 2） （ x） +f（ 3） （ x） +f（ 4） （ x） =， 则 f（ 1） = + = ， 故选： A 11将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（ ） A B C D 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可 【解答】 解：设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V， 则由题意可得 ， x=2 2r， 圆柱的体 积为 V（ r） =2 2r）（ 0 r 1）， 则 V（ r） = 圆柱的最大体积为 ，此时 r= ， 故选： B 12已知 P（ x， y）（其中 x 0）为双曲线 上任一点，过 P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为 A、 B，则 面积为（ ） A B C D与点 P 的位置有关 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意， O， P， A， B 四点共圆， 2， ，求出 |即可得出结论 【解答】 解：由题意， O， P， A， B 四点共圆， 2， 设 P（ x， y），双曲线的渐近线方程为 y= 2x，则 | = ， 面积为 = 故选 C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13以点 M（ 2， 0）、 N（ 0， 4）为直径的圆的标准方程为 （ x 1） 2+（ y 2）2=5 【考点】 圆的标准方程 【分析】 根据题意，设要求圆的圆心即点 M、 N 的中点为 C（ x， y），半径为 r，由点 M、 N 的坐标结合中点坐标公式可得 C 的坐标，又 由 2r=|结合两点间距离公式可得 r 的值，由圆的标准方程计算可得答案 【解答】 解：根据题意，设要求圆的圆心即点 M、 N 的中点为 C（ x， y），半径为 r， 又由点 M（ 2， 0）、 N（ 0， 4）；则有 ，解可得 ， 又有 2r=| = ，则 ； 故要求圆的方程为：（ x 1） 2+（ y 2） 2=5； 故答案为：（ x 1） 2+（ y 2） 2=5 14在等差数列 ， 0， ， 数列 前 n 项和， 76 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由等差数列通项 公式得 d=，再由等差数列的前 n 项和公式得（ a1+=19此能求出结果 【解答】 解： 等差数列 ， 0， ， ， 解得 d=， 数列 前 n 项和， 则 （ a1+=196 故答案为： 76 15已知点 P（ a， b）在函数 y= 上，且 a 1， b 1，则 最大值为 e 【考点】 对数的运算性质；基本不等式 【分析】 点 P（ a， b）在函数 y= 上，且 a 1， b 1，可得 ， 两边取对数可得 （ 0， 0）令 t=得 用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：点 P（ a， b）在函数 y= 上，且 a 1， b 1， ，可得 （ 0， 0） 令 t= =1，当且仅当 ，即 a=b=e 时取等号 t e 故答案为： e 16已知双曲线 椭圆 + =1 具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最 大时双曲线 离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可 【解答】 解：双曲线 椭圆 + =1 具有相同的焦点，可得 c=1， 两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（ m， n），可得 S=4 2 = ，当且仅当 时， ，此时四边形的面积取得最大值， 解得 m= ， n= ，可得双曲线的实轴长 2a= = = = ， 双曲线的离心率为： = 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 B=2C， 2b=3c （ 1）求 （ 2）若 c=4，求 面积 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出 （ 2）由条件求出 b，由内角的范围和平方关系求出 余弦定理列出方程化简后求出 a，代入三角形的面积公式求出 面积 【解答】 解：（ 1） B=2C， 2b=3c， 由正弦定理得， ， 则 ，即 = ； （ 2） 2b=3c，且 c=4， b=6， 0 C ， ， = ， 由余弦定理得， c2=a2+2 则 ， 即 9a+20=0，解得 a=4 或 a=5， 当 a=4 时， 面积 S= = = ， 当 a=5 时， 面积 S= = = 18经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对 “郑州的发展环境 ”对 20 名学生进行问卷调查打分（满分 100 分），得到如图 1 所示茎叶图 （ ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况； （ ） 如图 2 按照打分区间 0， 60）、 60， 70）、 70， 80）、 80， 90）、 90， 100绘制的直方图中，求最高矩形的高； （ ）从打分在 70 分以下（不含 70 分）的同学中抽取 3 人，求有女生被抽中的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图 【分析】 （ ）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散 （ ） 20 名学生中，打分区间 0， 60）、 60， 70）、 70， 80）、 80， 90）、 90，100中的学 生数分别为： 2 人， 4 人， 9 人， 4 人， 1 人，打分区间 70， 80）的人数最多，有 9 人，所点频率为 此能求出最高矩形的高 （ ）打分在 70 分以下（不含 70 分）的同学有 6 人，其中男生 4 人，女生 2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的 3 名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率 【解答】 解：（ ）女生打分的平均分为： = （ 68+69+75+76+70+79+78+82+87+96） =78， 男生打分的平均分为： = （ 55+53+62+65+71+70+73+74+86+81） =69 从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散 （ ） 20 名学生中，打分区间 0， 60）、 60， 70）、 70， 80）、 80， 90）、 90，100中的学生数分别为： 2 人， 4 人， 9 人， 4 人， 1 人， 打分区间 70， 80）的人数最多，有 9 人，所点频率为： = 最高矩形的高 h= = （ ）打分在 70 分以下（不含 70 分）的同学有 6 人，其中男生 4 人，女生 2人， 从中抽取 3 人，基本事件总数 n= =20， 有女生被抽中的对立事件是抽中的 3 名同学都是男生， 有女生被抽 中的概率 p=1 =1 = 19如图，高为 1 的等腰梯形 ， D= ， M 为 三等分点，现将 起，使平面 平面 接 （ ）在 上是否存在点 P，使 平面 （ ） 当 点 P 为 中 点 时 ， 求 点 B 到 平 面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）在 上存在点 P，满足 平面 明可证明 平面 （ ）当点 P 为 中点时，利用等体积 方法，即可求点 B 到平面 距离 【解答】 解：（ ）在 上存在点 P，满足 平面 连接 O，连接 由题意， ， ， 面 面 平面 （ ）由题意， 面 平面 平面 P 到平面 距离为 ， ， C= ， ， S =1， ， =， S = 设点 B 到平面 距离为 h，则由等体积可得 ， h= 20已知动圆 M 恒过点（ 0， 1），且与直线 y= 1 相切 （ 1）求圆心 M 的轨迹方程； （ 2）动直线 l 过点 P（ 0， 2），且与点 M 的轨迹交于 A、 B 两点，点 C 与点 y 轴对称，求证：直线 过定点 【考点】 抛物线的简单性质；轨迹方程 【分析】 （ 1）由题意可知圆心 M 的轨迹为以（ 0， 1）为焦点，直线 y= 1 为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心 M 的轨迹方程； （ 2）由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为： y=2， A（ B（ 则 C（ 代入抛物线方，由韦达定理及直线直线 方程为： y （ x+把根与系数的关系代入可得 4y=（ x+8，令 x=0，即可得出直线恒过定点 【解答】 解：（ 1） 动点 M 到直线 y= 1 的距离等于到定点 C（ 0， 1）的距离， 动点 M 的轨迹为抛物线，且 =1，解得： p=2， 动点 M 的轨迹方程为 y； （ 2）证明：由题意可知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为： y=2， A（ B（ 则 C（ 联立 ，化为 4=0， =1632 0， 解得 k 或 k x1+k， 直线直线 方程为： y （ x+ 又 y1=2， y2=2， 44k（ 2） =（ x+ 化为 4y=（ x+4k k 4y=（ x+8， 令 x=0，则 y=2， 直线 过一定点（ 0， 2） 21已知函数 f（ x） =ax+ （ ）若 f（ x）在区间（ 0， 1）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ ）设函数 h（ x） = f（ x）有两个极值点 ， 1），求证： |h（ h（ | 2 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ I）令 f（ x） 0 在（ 0， 1）上恒成立，使用分离参数法求出 a 的范围； （ h（ x） =0，结合二次函数的性质和极值点的定义可判断 h（ h（ 根据根与系数的关系化简 |h（ h（ |= +2出 右侧函数的最大值即可证明结论 【解答】 解：（ I） f（ x）在区间（ 0， 1）上单调递增， f（ x） =a+ 0， x （ 0， 1）， 即 a ， x （ 0， 1）， 1， a 1 （ 明： h（ x） = h（ x） = x a ， x （ 0， + ） 令 h（ x） =0 得 x2+=0， 函数 h（ x） = f（ x）有两个极值点 ， 1）， 方程 x2+=0 有两解 ， 1）， x1， x1+ a，且 1 1 （ 1， 2 当 0 x ， h（ x） 0，当 x ， h（ x） 0，当 x ， h（ x） 0， h（ x）的极小值点， h（ x）的极大值点， |h（ h（ |=h（ h（