山东省2017届高三第三次模拟考试数学试题（理）含答案

山东省 2017 届高三第三次模拟考试 数学（理）试题 一、 选择题：本大题共 10 个小题 ,每小题 5 分 ,共 50 分 有一项是符合题目要求的 . z 满足 2zi i， i 为虚数单位，则 z （ ） A 2 i B 12i C 12i D 12i | ( ) 12 ， 2 | 2 8 0 B x x x ，则 （ ） A | 2 0 B | 2 4 C | 0 4 D | 2 与曲线 2围成图形的面积为（ ） A 272B 9 C 92D ) s i n ( )f x x( 0 , | | )2的最小正周期是 ，若将其图象向右平移3个单位后得到的函数为奇函数，则函数 ()y f x 的图象（ ） A 关于点 ( ,0)12对称 B 关于直线12x 对称 C. 关于点 5( ,0)12对称 D 关于直线 512x 对称 ） A 对于命题 2: , 1 0p x R x x ，则 20 0 0: , 1 0p x R x x B “ 1x ”是“ 2 3 2 0 ”的充分不必要条件 为假命题，则 , D 命题“若 2 3 2 0 ，则 1x ”的逆否命题为：“若 1x ，则 2 3 2 0 ” 6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱 的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖） 中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（ ） A , B , C. , D ,4, 2)P 与圆 224上任一点连线段的中点的轨迹方程是（ ） A 22( 2 ) ( 1 ) 1 B 22( 2 ) ( 1 ) 4 C. 22( 4 ) ( 2 ) 4 D 22( 2 ) ( 1 ) 1 n 项和为知2 5 32a a a，且44，则5S （ ） A 29 B 31 C. 33 D 36 ： 22 1 ( 0 , 0 )xy 的左、右焦点分别为12,O 为坐标原点， 线2, 左、右支于另一点 ,2| | 2 | |F，且2 60M F N，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B 3 C. 7 D )( ) ( )f x 且当 1 ,1x时， ( ) x x ，若当 1 , x 时，函数 ( ) ( )g x f x 与 x 轴有交点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ,0B 1 , 2 C. 1 , D 0 第 卷 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 0101 ，则3最小值为 4焦点的直线 l 与圆 22( 4 ) 4 相切，则直线 l 的斜率为 s i n ( ) c o ，则 co s( 2 )3 , 1()l o g ( 1 ) , 1x ，则 5 ( )2 中，点 D 满足 34C，当点 E 在射线 不含点 A ）上移动时，若A E A B A C，则 1 的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 16. 的内角 ,对边分别为 ,知 2 c o s ( c o s c o s )C a B b A c （ 1）求角 C ； （ 2）若 7c ， 的面积为 332，求 的周长 17. 如图，在三棱柱1 1 1 B C中，1面 1 4C C A B A C B C ， C 的中点 （ 1）求证：直线1/ （ 2）求三棱锥1D 体积 18. 已知正项数列 a，且*1 ()21n （ 1）证明数列 1求数列 （ 2）设1( 1 ) nn n nb n a a ，求数列 n 项和 19. 如图，在四棱锥 P 中，底面 直角梯形， /C ， 90，平面 平面 Q 为 中点， M 是棱 的点， 2D，1 12D， 3 （ 1）求 证：平面 平面 （ 2）若二面角 M 大小为 30 ，求线段 长 20. 已知椭圆 C ： 22 1 ( 0 )xy 的右焦点为 (1,0)F ，且点 2( 1, )2在椭圆 C 上 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）已知动直线 l 过点 F ，且与椭圆 C 交于 ,问 x 轴上是否存在定点 Q ，使得716B 恒成立，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 21. 已知函数 2( ) 2 l nf x m x x， ( ) 2 l x e m x ， ()， （ 1）讨论 () （ 2）若 () ， ()在最小值 N ，且 ，求证：2 试卷答案 一、选择题 1 6 二、填空题 11. 1312. 25513. 7914. 1215 233三、解答题 16.（ 1） 2 c o s ( c o s c o s )C a B b A c， 由正弦定理得： 2 c o s ( s i n c o s s i n c o s ) s i B B A C 2 c o s s i n ( ) s i B C A B C ， , , (0, ) ， s i n ( ) s i n 0A B C 2C ， 1 (0, )C ，3C . （ 2）由余弦定理得： 2 2 2 2 c o sc a b a b C 22 1722a b a b 2( ) 3 7a b a b 1 3 3 3s i 2S a b C a b ， 6 2( ) 1 8 7 ， 5 周长为 57 . 17.（ 1）连接1 ，连接 在1， D 为 点， M 为1 所以1/B， 又因为1面1 平面 1所以1/2）因为1面 所以1高， 所以11 113D C C B C B C D B C S C C 1 1 82 2 3 4 33 2 3 18.（ 1）1 21nn a ，1112 ，1112 又11 1a ，数列 1 为首项， 2 为公差的等差数列 1 21， *1 ()21na n （ 2）由（ 1）知， 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( )( 2 1 ) ( 2 1 ) 4 2 1 2 1nb n n n n 1 2 3b b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) 4 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1n 11 1 ( 1 ) 4 2 1n n 19.（ 1） /C ， 12D， Q 为 中点， 四边形 平行四边形， /Q 又 90， 90，即 D . 又平面 平面 且平面 面 D 平面 平面 平面 平面 （ 2） D ， Q 为 中点， D 平面 平面 且平面 面 D 平面 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系， 平面 法向量为 (0, 0,1)n 又 3，设 ( 1 , 3 , 3 )P M P C ， 0, ( 0 , 0 , 3 ) ( , 3 , 3 ) ( , 3 , 3 3 )Q M Q P P M 又 ( 0 , 3 , 0 ) ，设平面 法向量 为 ( , , )m x y z 303 ( 3 3 ) 0yx y z 取 ( 3 , 0 , )1m 二面角 M 为 30 ， 33c o s 3 0 | |24| | | | 3 3 3 3( , , )4 4 4，线段 长为 394. 20.（ 1）由题意， 1c 点 2( 1, )2在椭圆 C 上，根据椭圆的定义可得： 22222 ( 1 1 ) ( ) 2 2a 2a ， 2 2 2 1b a c 椭圆 C 的标准方程为 2 2 12x y. （ 2）假 设 x 轴上存在点 ( ,0)使得 716B 恒成立 . 当直线 l 的斜率为 0 时， ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 )，则 7( 2 , 0 ) ( 2 , 0 )16 2 2516m ， 54m当直线 l 的斜率不存在时， 22(1 , ) , (1 , )则 2 2 7(1 , ) (1 , )2 2 1 6 2 15(1 ) 1 6 4 或 34 由可得： 54m下面证明 54m时， 716B 恒成立 . 当直线 l 的斜率为 0 时，结论成立； 当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 1x ，1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 理可得： 22( 2 ) 2 1 0t y 12 2 2 2t，12 2 1 2yy t ， 1 1 2 2 1 2 1 25 5 1 1( , ) ( , ) ( ) ( )4 4 4 4Q A Q B x y x y t y t y y y 2 1 2 1 211( 1 ) ( )4 1 6t y y t y y 2222 2 1 72 ( 2 ) 1 6 1 6 综上可知， x 轴上存在点 5( ,0)4Q，使得 716B 恒成立 . 21.（ 1）由题意知， 0x ， 2 22() ， 0m 时， ( ) 0， ()0, ) 递减， 0m 时，令 ( ) 00 ，令 ( ) 0 ， ()0, )m 递增，在 ( , )m 递减 . （ 2）证明： 2() ， 0m 时， ( ) 0恒成立， () (0, ) 递增，无最小值， 由（ 1）知，此时 () 0m . 令 ( ) 2xu x xe m，则 ( ) 0x e x e ， (0 ) 2 0 ， 2( 2 ) 2 ( 1 ) 0mu m m e ， 故存在唯一0 (0, 2 )使得0( ) 0即 002， 列表如下： 由（ 1）得： ( ) l nM f m m m m ， 000( ) 2 l g x e m x ， 由题意 ，即 00l n 2 l m m e m x ，将 002代入上式有： 0 0 0 000 0 0 0 0l n 2 l 2 2x x x e x e x e x 化简得： 200003 l n ( l n 2 1 ) 1 02 2 2 （ *） 构造函数 23( ) l n ( l n 2 1 ) 12 2 2x x x ， 31( ) ( l n 1 ) ( l n 2 1 )22h x x x ，