总体最小二乘平差理论解算方法对比分析

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 总体最小二乘平差理论解算方法对 比分析 【摘 要】本文主要对现有的总 体最小二乘平差理论进行了相关分析， 结合其两种解算方式包括奇异值分解法 和迭代解法，进行了相关的理论阐述， 最终得到了总体最小二乘平差迭代解法 更适合应用与测量平差分析。 中国论文网 /8/view-12936601.htm 【关键词】总体最小二乘平差； 奇异值分解法；迭代解法 中图分类号： O212.1 文献标识 码：A 文章编号： 2095-2457（2018） 03-0163-002 Comparison and Analysis of Solution Methods of Total Least Square -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 Adjustment Theory JIANG Jia-qing* （Tianjin Municipal Engineering Design and Research Institute， Tianjin 300202， China） 【Abstract】In this paper， we mainly analyze the existing theory of least- squares adjustment， and combine the two methods of calculation including singular value decomposition and iterative method to explain the relevant theory. Finally， Multiply adjustment iterative method is more suitable for application and measurement adjustment analysis. 【Key words】Total least squares adjustment； Singular value decomposition method； Iterative solution method 0 引言 在稻荽 理中，最小二乘法 （Least Squares， LS）是最基本的数据 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 处理方法，从 18 世纪高斯提出后发展 至今成为数据处理领域应用最广泛的方 法。最小二乘法是以只存在观测向量误 差为前提的。然而，在测量数据处理过 程中，由于采样误差和建模误差，观测 向量误差和系数矩阵偏差往往是同时存 在的。在这种情况下，用最小二乘法求 得的参数估值就不再是最优无偏估计了。 针对这种情况，在 20 世纪 80 年代有学 者对最小二乘方法进行扩展，提出了总 体最小二乘方法，该方法在计算观测值 误差的同时还能顾及模型系数矩阵误差， 在系数矩阵存在误差时，总体最小二乘 解比最小二乘解更为真实可靠。 在本章节中，作者首先以一个直 线拟合模型介绍最小二乘方法的基本思 想及原理；然后以一个系数矩阵存在误 差的问题引出总体最小二乘方法并阐述 了其原理；最后给出了两种最为常见的 总体最小二乘问题的解法及其详细的推 导过程。 1 总体最小二乘原理及解法 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 经典的高斯-马尔柯夫模型假设 函数模型是已知且非随机的，并且只考 虑观测向量含随机误差，假设系数矩阵 不存在误差或者不考虑系数矩阵误差。 但是在很多实际问题中，比如大地测量 反演、边坡监测、空间数据分析和坐标 转换等数学模型中，函数模型的系数矩 阵也是由观测数据组成。因此，不仅观 测向量存在误差，系数矩阵也有可能出 现随机误差。此时，再用最小二乘原理 做数据处理的话，计算结果就不能再保 证其最优无偏性。而总体最小二乘方法 就能很好地解决这一问题，该方法在计 算观测值误差的同时还能顾及模型系数 矩阵误差。 1.1 总体最小二乘问题描述 设线性函数模型为：L=AX- V（1） 上式中，L 为 n1 观测向量，A 为 nt 系数矩阵，X 为 t1 未知参数， V 为观测向量误差。总体最小二乘方法 是不仅考虑观测向量含有误差 V，而且 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 还顾及系数矩阵误差 EA，那么上式应 改写为 L=（A+EA）X-V （ 2） 对应的误差方程可写为 V-A -EA +L=0（3） 误差的期望和方差为 Vvec（E ）00， I 00 I ？茚 I （4） 式中，In 和 It 分别为 n 和 t 阶单 位矩阵，vec（EA）是将矩阵 EA 按列 拉直得到的列向量化函数，vec（EA） R（ nt）1；表示克罗内克 （Kronecker）积。 （2-10）式的矩阵形 式为 （A L+E V） X-1=0（5） 求解上述方程的总体最小二乘方 法可以表示为一个约束化问题： （E ，V） 式中 （E ，V） 是矩阵的 Fronenius 范数。 求解（E ，V） 最小的问题即 为总体最小二乘问题，当 nt 即线性方程 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 超定时的总体最小二乘解。下面就介绍 一下超定方程的两种常用的总体最小二 乘解法。 1.2 总体最小二乘的奇异值分解 法 奇异值分解是线性代数中一种非 常重要的矩阵分解方法，最早由 Golub 和 Van Loan 引入求解总体最小二乘问 题。 一般情况下，求解线性方程 L=AX，当 nt+1 时，NTN 的阶数小于 或等于 NNT，此时，由矩阵 NTN 求出 来的最小特征值对应的特征向量就是对 应于最小奇异t+1 值的右奇异向量 Wt+1。将 NTN=A L A L=A A A LL A L L，k= ，Z= -1（6） 代入式（2-24） ，该式可变换为 A A A LL A L L -1= -1 则有 ATA -ATL=t+1 （7） LTA -LTL=-t+1（8） 由式（7）可得，参数 的总体最 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 小二乘解为 =（ATA-t+1I ）-1ATL（9） 综上所述，线性方程 L=AX 中参 数 的总体最小二乘解求解步骤为： 1）列观测方程，建立函数模型 L+V=（A+EA ）X； 2）构建增广矩阵 N=A L，并对 增广矩阵进行奇异值分解； 3）求解矩阵 NTN 的特征值，并 得出最小特征值 t+1； 4）最后由式（9）即可计算出参 数 的总体最小二乘解。 1.3 总体最小二乘的迭代解法 Schaffrin 和鲁铁定等对总体最小 二乘平差模型和推到方法进行了改进后 97、98，得出总体最小二乘平差准则 为： T +vec（ A）Tvec（ A） =min（10） 以式（2-10）为条件，按拉格朗 日乘数法求解，构成目标函数为 = T +vec（ A）Tvec （ A）- 2KT（ - A -A +L） （11） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 其中 K 为拉格朗日乘数。为求 的极小值，将其分别对 、vec（ A） 和 求一阶导数，并令其为零 =2 -2K =0（12） =2K +2K A=0（13） =2KT A+2KTA=0（14） 由式（12）和（13）分别可得 =K ，vec（ A）=- T？茚 ItTK 或 A=-KT T（15） 代入（2-10）得 V=K=（A -L） （1+ T ）-1（16） A=-（ A -L） （1+ T ）-1 T（17） 由式（14）得 ATK=- K（18） 剑 16）代入上式，可得 AT （A -L）=- TK（1+ T ）= （A -L）TK= （AX-L）T （A -L） /（1+ T ） （19） 令 =（ A -L）T（ A -L）/（1+ T ） （20） 则，式（19）可化为 ATA - ATL= （21） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 将（20）式化为 = =LTL-LTA （22） 同时 = + （23） = +vec（ ） vec（ ） 将（21）和（22）写成矩阵形式 A A A LL A L L -1= -1（24） 由上式可见， 是最小特征值， 参数的总体最小二乘解是在 = T +vec（ A） Tvec（ A） =min0（时的 特征向量。因此，由式（21）可得 =（ATA ）-1ATL+（ATA）-1 （25） 上式即为参数的总体最小二乘解， 采用迭代求解。 2 两种求解方法比较分析 总体最小二乘的奇异值分解法是 基于数值逼近理论的总体最小二乘解， 该解法没有顾忌变量误差（EIV）的随 机模型，因此总体最小二乘的奇异值分 解法求得的参数估值并不是真正统计意 义上的 TLS 解。奇异值分解法无法获得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 相关情况下的平差模型以及观测数据不 等精度的统计意义上的最佳估值，而这 种情况在大地测量领域又是普遍存在的。 因此，尽管奇异值分解法算法简单，其 在大地测量领域的应用也受到了很多的 限制。 总体最小二乘的迭代解法是 Schaffrin 等人基于拉格朗日求极值并且 结合测量数据处理的特点，从测量平差 的角度，顾及系数矩阵含有误差的情况 下，构建拉格朗日条件极值的目标函数， 并推导出来的总体最小二乘解法。 从理论上来讲，在观测量独立等 精度的情况下，两种解法是等价的。然 而在测量数据处理过程中，往往是出现 观测量精度不等的情况。总体最小二乘 的迭代解法是从测量平差的角度推导而 来的，因此该算法更适用于测量数据处 理。 3 结论 最小二乘法是测绘数据处理领域 中最基本的数据处理方法，但是最小二 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 乘方法有很大局限性，即最小二乘只考 虑观测向量的误差而不考虑系数矩阵的 误差或者是假设系数矩阵不存在误差。 然而，在实际的数据处理过程中发现， 观测方程系数矩阵往往会存在一定的偏 差。如果直接忽略观测系数矩阵偏差的 影响，求得的参数估值必然不