2017年江西省全国统一考试理科数学仿真试卷（六）含答案

绝密 启用前 江西省 2017年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 理科 数学（六） 本试题卷共 2页， 23题（含选考题）。全卷满分 150分。考试用时 120分钟。 第 卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 复数3 ，则其共轭复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 C 【解析】 i 1 2z ，其共轭复数为 1 ，对应点为 11()22， 在第三象限，故选 C 2已知某品种的幼苗每株成活率为 p ，则栽种 3株这种幼苗恰好成活 2株的概率为（ ） A 2p B 2 1 C 223 223 1C p p 【答案】 D 【 解 析 】 由 题 设 可 知 32， ， 则 所 求 事 件 的 概 率 22311p p C p p ，应选答案 D 3若集合 22| 2 2 , | l o gA x x B x y x Z ，则 （ ） A 1,1 B 1,0,1 C 1 D 0,1 【答案】 A 【解析】因为 22| 2 2 1 , 0 , 1 , | l o g | 0 A x x B x y x x x Z ，所以 1,1 ，故选 A 4某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A 203 B 163 C 8 6 D 8 3 【答案】 A 【解 析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为 2，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是 321 2 02 1 233 ，选 A 5我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ） A 104人 B 108人 C 112人 D 120人 【答案】 B 【解析】由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为 ： 8 1 0 0 8 1 0 03 0 0 3 0 0 1 0 88 1 0 0 7 4 8 8 6 9 1 2 2 2 5 0 0 ，应选答案 B 6如图是用模拟方法估计圆周率 值的程序框图， P 表示估计结果，则图 中空白框内应填入（ ） A 2000 B 42000 C 2000 D 42000 【答案】 B 【解析】由题意得以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图， M 是圆周内的点的次数，当 i 大于 2000 时，圆周内的点的次数为 4M ，总试验次数为 2000 ，所以要求的概率 42000M ，所以空白框内应填入的表达式是 42000 ，故选 B 7 , 02 4 0 ，若 z ax y取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（ ） A 1 B 2 C 12 D 2 或 1 【答案】 C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z ax y得 ，即直线的截距最小， z 最大若 0a ，此时 ，此时 ，目标函数只在 满足条件，若 0a ，目标函数 的斜率 0要使z ax y取得最大值的最优解不唯一，则直线 与直线 042 行，此时 21a ，若 0a ，不满足，故选 C 8函数 12 c o x x 的图象大致为（ ） A B C D 【答案】 C 【解析】 1 2 2 1c o s c o 2 1x x x f x ， 所以 除选项 A， B又02x ， 时， 0，图像在 x 轴下方， 故本题正确答案为 C 9已知在三棱锥 P 中， 1P A P B B C ， 2， C ，平面平面 若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 32 B 3 C 23 D 2 【答案】 B 【解析】由题意得， 截面 圆的直径，且 3，设球心到平面 距离为 d ，设球的半径为 R ，因为 1P A P B B C ， 2，所以 B ，因为平面 平面 所以点 P 到平面 距离为 22 ，由勾股定理可得2 2 2 2 23 1 2( ) ( ) ( )2 2 2R d d ，解得 2 30 4， ，所以球的表面积为2 34 4 3 4 ，故选 B 10已知正 内接于半径为 2的圆 O ，点 P 是圆 O 上的一个动点，则 ） A 06， B 26， C 02， D 22， 【答案】 B 【解析】以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系， 设 2 0 1 3 2 c o s 2 s i P ， ， ， ， ， 则 2 2 c o s 2 s i n 1 2 c o s 3 2 s i P B ， ， ， 2 2 c o s 1 2 c o s 2 s i n 3 2 s i n 2 2 c o s 2 3 s i P B 2 4 s i n 2 66 ，故选 B 11 函数 内可导，若 2f x f x，且当 1x ， 时， 10x f x ，设 0， 12 ， 3，则（ ） A B c a b C c b a D b c a 【答案】 B 【解析】由 2f x f x可知， x 对称，根据题意又知 1x ， 时， 0 ，此时 1x ， 时， 0 ， 以 13 1 02f f f f ，即 c a b ，故选 B 12设 a b c R， ， 且 0c ， x 5 6 7 8 9 14 27 2a+b a+b a c+1 b+c a+2b+c 3(c a) 2(a+b) b a 3(a+b) 若上表中的对数值恰有两个是错误的，则 a 的值为（ ） A 2B 134 C 13 6【答案】 B 【解析】由题设可知l g 3 l g 2 l g 6 l g 5 1 l g 1 4a b c a b c a c ， ， ， ， l g 8 3b a c a ， 都是正确的，所以 2 a，即 134a ，应选答案 B 第卷 本卷包括必考题和选考题两部 分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 。第 (22)(23)题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13 s i n 6 3 c o s 1 8 c o s 6 3 c o s 1 0 8 _ 【答案】22 【解析】原式2s i n 6 3 c o s 1 8 c o s 6 3 s i n 1 8 ) s i n ( 6 3 1 8 ) s i n 4 52 （ 14二项式51的展开式中常数项为 _（用数字做答） 【答案】 10 【解析】因为51的通项公式为 3355221 5 51 1rr r x C ，由题设可得 3 5 0 32 r r r ，故常数项为 3 33 1 51 1 0 ，应填答案 10 15 已知数列 前 n 项和为 满足 1 2 2 13 , 2 , 2 4 12 n n na a S S S ， 则数列 前 n 项和 _ 【答案】2 54 【解析】 212 4 1n n S 化为 2 1 1 12n n n S S ， 即 2112，故 等差数列，公差为 113,22，所以2 54n 16已知双曲线221（ 00， ）上一点 C ，过双曲线中心的直线交双曲线于 两点，设直线 C， 的斜率分别为 12，则当 12122 ln 最小时，双曲线的离心率为 _ 【答案】 3 【解析】设 1 1 1 1C x y A x y B x y， ， ， ， ，显然 12x x x x， 点 在双曲线上， 221122222211 ，两式相减得22212 2 21x a ， 22 21 1 212 2 2 21 1 1A C B Cy y y y y y bk k k kx x x x x x a 由 12122 l n l ny k 12122 ln ， 设 12t ， 则 2 ， 求导得 221y ，由 2 2 0ty t 得 2t 2 在 02， 单调递减，在 2 ， 单调递增， 2t 时即 122时2 取最小值， 22 2 ， 2213be a 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12 分）已知向量 ， ，13 s i ， ，函数 2f x a b a （ 1）求函数 （ 2）在 中，三内角 A ， B ， C 的对边分别为 a b c， ， ，已知函数 ， ， b a c、 、 成等差数列，且 9，求 a 的值 【答案】（ 1） 2 2T ， 36k k k Z， ； （ 2） 32a 【解析】 2 13 2 | | 2 c o s 2 s i n 2 s i n 22 2 6f x a b a a a b x x x （ 1）最小正周期： 2 2T ， 由 2 22 2 6 2k x k k Z 得： 36k x k k Z ， 所以 36k k k Z， （ 2）由 1s i n 262f A A 可得： 2266 或 5 2 6 Z， 所以 3A ， 又因为 b a c， ， 成等差数列，所以 2a b c ， 而 1c o s 92A B A C b c A b c ， 18， 2 2 2 2 2214c o s 1 12 2 3 6 1 2b c a b c a a ， 32a 18（本小题满分 12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12月 1日至 12月 5日的昼夜温差与实验室每天每 100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12 月4日 12月 5日 温差 x （ ） 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这 5组数据中选取 2组，用剩下的 3组数据求回归方程，再对被选取的 2组数据进行检验 （ 1）求选取的 2组数据恰好是不相邻的 2天数据的概率； （ 2）若选取的是 12月 1日与 12月 5日的两组数据，请根据 12月 2日至 12月 4日的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 ； （ 3）若由线性回归方程得到的估 计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ 2）中所得的线性回归方程是否可靠？ （注：()(1211221 ） 【答案】（ 1） 53 ；（ 2） 325 （ 3）该研究所得到的线性回归方程是可靠的 【解析】（ 1）设抽到不相邻两组数据为事件 A ，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 1025 C 种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有 4种，所以 531041)( 故选取的 2组数据恰好是不相邻的 2天数据的概率为 53 （ 2 ）由数据，求得 12)121311(31 x ， 27)263025(31 y ，9723 9 7 726123013251131i 3 4 3121311 222312 i 4323 2 x ， 由公式求得3,2543243497297733312231 所以 y 关于 x 的线性回归方程 325 （ 3） 当 10x 时， 2|2322|,22325 同样地，当 8x 时，2|1617|,173825 y ，所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的 19（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P 中，底面 平行四边形，135 ，侧面 底面 9 0 2B A P A B A C P A E F ， ， ，分别为 D， 的中点，点 M 在线段 （ 1）求证： 平面 （ 2）如果直线 平面 成的角和直线 平面 成的角相等，求 值 【答案】 （ 1）详见解析；（ 2）332 【解析】 （ 1） 证明：在平行四边形 ， C ， 135 ， C 由 分别为 D， 的中点，得 /B ， C 侧面 底面 且 90 ， 底面 又 底面 F ， 又 C A ， 平面 平面 平面 （ 2） 解： 底面 C ， A P A B A C， ， 两两垂直， 以 A B A C A P， ， 分别为 x y z、 、 建立空间直角坐标系， 则 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 0 1 1 0A B C P D E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 2 0 2， ， ， 2 2 2 ， ， ， 2 2 0， ， ， 设 01，则 2 2 2 ， ， 2 2 2 2M ， ， ， 1 2 1 2 2 2 ， ，易得平面 法向量 0 0 1m ， ， 设平面 法向量为 n x y z ， ， ，由 0n ， 0n ，得2 2 02 2 0 ， 令 1x ，得 111n ， ， 直线 平面 成的角和此直线与平面 成的角相等， c o s = c o m M E n， ，即M E m M E m M E n， 2223 ， 解得332，或332（舍） 综上所得：332 20 （本小题满分 12分）已知函数 x x a x有极小值 2e （ 1）求实数 a 的值； （ 2）若 kZ ，且 1x 对任意 1x 恒成立，求 k 的最大值 【答案】（ 1） 1a ；（ 2） k 【 解 析 】（ 1 ） 1 x a x ，令 10x x ， 令 10 0 e af x x ， 故 1 1 2e e ，得 1a （ 2）当 1x 时，令 ， 22 l ， 令 2 x x x ， 1110 ，故 y h x 在 1， 上是增函数由于 3 1 0h ， 4 2 0h ，存在 0 34x ， ，使得 0 0 则 当 01， ， 0 ， 当 0， ， 0 ， 0 0 000m i x xg x g x ， 0，又 0 34x ， ，所以 k 21 （本小题满分 12 分）如图，点 2,0A ， 2,0B 分别为椭圆 22: 1 0a 的左右顶点， ,P M N 为椭圆 C 上非顶点的三点，直线 ,2, 12 14 ， M ， N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）判断 的面积是否为定值 ？ 若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由 【答案】（ 1）2 2:14； （ 2）定值 1 【解析】（ 1）221 ,11442,A P B k ， 椭圆 2 2:14 （ 2）设直 线 方程为 y kx t， 11,M x y ， 22,N x y ， 2 2 22 2,4 1 8 4 4 01,4y k x tk x k t x tx y ， 12 2841k ， 212 24441k ， 121 2 1 2 1 2 1 2 1 21211 4 0 4 044k y y x x k x t k x t x ， 221 2 1 24 1 4 4 0k x x k t x x t ， 22 2 2 2224 4 84 1 4 4 0 2 4 14 1 4 1t k tk k t t t ， 22221 2 1 2 1 21 1 4M N k x x k x x x x 2 222 2 2 28 4 4 11 4 2 24 1 4 1 4 1k t t kk