2017年成都市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析

2017 年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 . 1已知复数 z= ，则 z 的共轭复数 是（ ） A 1 i B 1+i C i D i 2设 等差数列 前 n 项和， ， ） A 2 B 0 C 3 D 6 3已知向量 ， =（ 3， m）， m R，则 “m= 6”是 “ ”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4设函数 f（ x） =区间（ 0， 5）上随机取一个数 x，则 f（ x） 2 的概率为（ ） A B C D 5一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ） A B C 20 D 40 6已知 x， y 满足条件 （ k 为常数），若目标函数 z=x+3y 的最大值为8，则 k=（ ） A 16 B 6 C D 6 7 定 义 运 算 a*b 为 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 输 出 的 S 值 ， 则的值为（ ） A B C 4 D 6 8如图，在正四棱锥 S ， E， M， N 分别是 中点，动点P 在线段 运动时，下列四个结论： 面 面 其中恒成立的为（ ） A B C D 9若曲线 y= 与曲线 y=它们的公共点 P（ s， t）处具有公共切线，则实数 a=（ ） A 2 B C 1 D 2 10已知 边长为 的正三角形， 外接圆 O 的一条直径，M 为 边上的动点，则 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 11已知双曲线 的左、右 焦点分别为 c， 0），c， 0）， A， B 是圆（ x+c） 2+ C 位于 x 轴上方的两个交点，且 双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 12若对 m， n R，有 g（ m+n） =g（ m） +g（ n） 3，求的最大值与最小值之和是（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13由直线 x=1， x=2，曲线 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是 14已知角 的始边是 x 轴非负半轴其终边经过点 ，则 15在直角坐标系 ，点 A（ 0， 3），直线 l： y=2x 4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上，若圆 C 上存在唯一一点 M，使 |2|则圆心 C 的非零横坐标是 16数列 足 ， ，且 ，则 4最大值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台 “延迟退休年龄政策 ”，为了了解人们对 “延迟退休年龄政策 ”的态度，责成人社部进行调研，人社部从 网上年龄在 15 65 的人群中随机调查 50 人，调查数据的频率分布直方图和支持 “延迟退休 ”的人数与年龄的统计结果如表： 年龄 15， 25， 35， 45， 55，25） 35） 45） 55） 65 支持 “延迟退休 ”人数 5 10 10 2 1 （ ）由以上统计数据填下面 2 2 列联表，并问是否有 90%的把握认为以 45岁为分界点对 “延迟退休年龄政策 ”的支持度有差异； 45 岁以下 45 岁以上 合计 支持 不支持 合计 （ ）若从年龄在 45， 55）， 55， 65的被调查人中各 随机选取两人进行调查，记选中的 4 人中支持 “延迟退休 ”人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 参考数据： P（ K2k） k 2= 18已知函数 f（ x） = 0）在区间 上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形 ， a， b， c 为 内角 A， B， C 的对边，且满足 （ ）证明： b+c=2a； （ ）若 b=c，设 ，（ 0 ）， ，求四边形 积的最大值 19在斜三棱柱 ，侧面 平面 ， A=AB=a，D 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）在侧棱 确定一点 E，使得二面角 E A 的大小为 20已知两点 A（ 2， 0）、 B（ 2， 0），动点 P 满足 （ 1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （ 2） H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点，曲线 E 上是否存在两点 M、 N，使得 以 H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 为自然对数的底） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若对任意给定的 （ 0， e，在区间（ 0， e上总存在两个不同的 i=1，2），使得 f（ =g（ 立，求 a 的取值范围 22直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）经过点 M（ 0， 1）作直线 l 交曲线 C 于 A， B 两点（ A 在 B 上方），且满足|2|求直线 l 的方程 2017 年四川省成都市高考数学 二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 . 1已知复数 z= ，则 z 的共轭复数 是（ ） A 1 i B 1+i C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为 a+a， b R）的形式，即可得到选项 【解答】 解：复数 z= = 所以它的共轭复数为： 1 i 故选 A 2设 等差数列 前 n 项和， ， ） A 2 B 0 C 3 D 6 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的通项公式即可求得公差 d，再利用等差数列的通项公式即可求出答案 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， ， 2+4d=3（ 2+2d），解得 d= 2 则 a3=d=2+2 （ 2） = 2 故选： A 3已知向量 ， =（ 3， m）， m R，则 “m= 6”是 “ ”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 由 1 （ 2+m） 2 2=0，即可得出 【解答】 解： =（ 1， 2） +（ 3， m） =（ 2， 2+m） 由 1 （ 2+m） 2 2=0， m= 6 因此 “m= 6”是 “ ”的充要条件 故选： A 4设函数 f（ x） =区间（ 0， 5）上随机取一个数 x，则 f（ x） 2 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 解不等式 f（ x） 2 的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】 解： x （ 0， 5） 由 f（ x） 2， 得 2 解得 0 x 4， 根据几何概型的概率公式可得若从区间（ 0， 5）内随机选取一个实数 x， f（ x） 2 的概率为： = ， 故选 D 5一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ） A B C 20 D 40 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算 【解答】 解：由三视图知： 该几何体是四棱锥，如图： 其中 平面 ，四边形 直角梯形， D=4， 几 何体的体积 V= （ 1+4） 4 4= 故选： B 6已知 x， y 满足条件 （ k 为常数），若目标函数 z=x+3y 的最大值为8，则 k=（ ） A 16 B 6 C D 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 由目标函数 z=x+3y 的最大值为 8，我们可以画出满足条件 （ 可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数 k 的方程组，消参后即可得到 k 的取值 【解答】 解：画出 x， y 满足的 （ k 为常数）可行域如下图： 由于目标函数 z=x+3y 的最大值为 8， 可得直线 y=x 与直线 8=x+3y 的交点 A（ 2， 2）， 使目标函数 z=x+3y 取得最大值， 将 x=2， y=2 代入 2x+y+k=0 得： k= 6 故选 B 7 定 义 运 算 a*b 为 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 输 出 的 S 值 ， 则的值为（ ） A B C 4 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 由已知的程序框图可知程序的功能是：计算并输出分段函数的值，比较a， b 的值，即可计算得解 【解答】 解：由已知的程序框图可知本程序的功能是： 计算并输出分段函数 S= 的值， a= ， = a= ， b= = = ， 可得： a b， S= （ ） = 故选： B 8如图，在正四棱锥 S ， E， M， N 分别是 中点，动点P 在线段 运动时，下列四个结论： 面 面 其中恒成立的为（ ） A B C D 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 如图所示，连接 交于点 O，连接 （ 1）由正四棱锥 S 得 底面 而得到 得 平面 已知 E， M， N 分别是 中点，利用三角形的中位线可得 是平面 平面 而得到 平面 （ 2）由异面直线的定义可知： 异面直线，因此不可能 （ 3）由（ 1）可知：平面 平面 得 平面 （ 4）由（ 1）同理可得： 平面 用反证法证明：当 P 与 M 不重合 时，平面 垂直 【解答】 解：如图所示，连接 交于点 O，连接 对于（ 1），由正四棱锥 S 得 底面 ， 平面 E， M， N 分别是 中点， ， 平面 平面 平面 正确 对于（ 2），由异面直线的定义可知： 异面直线，不可能 此不正确； 对于（ 3），由（ 1）可知：平面 平面 平面 此正确 对于（ 4），由（ 1）同理可得： 平面 平面 相矛盾，因此当 P 与 M 不重合时， 平面 垂直即不正确 故选： A 9若曲线 y= 与曲线 y=它们的公共点 P（ s， t）处具有公共切线，则实数 a=（ ） A 2 B C 1 D 2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出 a 的值 【解答】 解：曲线 y= 的 导数为： y= ，在 P（ s， t）处的斜率为： k= 曲线 y=导数为： y= ，在 P（ s， t）处的斜率为： k= 曲线 y= 与曲线 y=它们的公共点 P（ s， t）处具有公共切线， 可得 ，并且 t= ， t= 即 ，解得 ，解得 s2=e 可得 a=1 故选： C 10已知 边长为 的正三角形， 外接圆 O 的一条直径，M 为 边上的动点，则 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先，以边 在直线为 x 轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点 M 的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值 【解答】 解：如图所示，以边 在直线为 x 轴， 以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 该正三角形 边长为 2 ， A（ ， 0）， B（ ， 0）， C（ 0， 3）， E（ 0， 1）， F（ 0， 3）， 当点 M 在边 时，设点 M（ 0）， 则 ， =（ 1）， =（ 3）， = ， ， 的最大值为 3， 当点 M 在边 时， 直线 斜率为 ， 直线 方程为： x+y 3=0， 设点 M（ 3 则 0 ， =（ 4）， =（ =24 0 ， 的最大值为 0， 当点 M 在边 时， 直线 斜率为 ， 直线 方程为： x y+3=0， 设点 M（ 3+ 则 0， =（ 4）， =（ = 44 0， 的最大值为 3， 综上，最大值为 3， 故选： A 11已知双曲线 的左、右焦点分别为 c， 0），c， 0）， A， B 是圆（ x+c） 2+ C 位于 x 轴上方的两个交点，且 双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 连接 双曲线的定义，可得 |2a+2c， |2c 2a，在 ，和 ，运用余弦定理求得 得 ，即有 ，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：连接 由双曲线的定义，可得 | |2a， | |2a， 由 |2c， 可得 |2a+2c， |2c 2a， 在 ，可得 = ， 在 ，可得 = ， 由 得 ，即有 ， 可得 + =0， 化为 23， 得 23e 1=0，解得 e= （负的舍去）， 故选： C 12若对 m， n R，有 g（ m+n） =g（ m） +g（ n） 3，求的最大值与最小值之和是（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 构造 h（ x） =g（ x） 3，根据函数奇偶性的定义可判定函数 h（ x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案 【解答】 解： m， n R，有 g（ m+n） =g（ m） +g（ n） 3， 令 m=n=0 时， g（ 0） =g（ 0） +g（ 0） 3， g（ 0） =3， 令 m= n 时， g（ 0） =g（ n） +g（ n） 3， g（ x） +g（ x） =6， 令 h（ x） =g（ x） 3，则 h（ x） +h（ x） =0 即 h（ x）为奇函数， 奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数， g（ x） g（ x） ， 设 F（ x） = ，则 F（ x） = F（ x），函数为奇函数，最大值与最小值之和为 0， 的最大值与最小值之和是 6 故选 B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13由直线 x=1， x=2，曲线 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是 【考点】 定积分在求面积中的应用 【分析】 先确定积分上限为 2，积分下限为 1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 【解答】 解：曲线 ，直线 x=1 和 x=2 及 x 轴围成的封闭图形的面积=2= 故答案为： 14已知角 的始边是 x 轴非负半轴其终边经过点 ，则 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 由题意， ） = ， ） = ，利用 ） =） ） 可得结论 【解答】 解：由题意， ） = ， ） = ） =） ） 故答案为 15在直角坐标系 ，点 A（ 0， 3），直线 l： y=2x 4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上，若圆 C 上存在唯一一点 M，使 |2|则圆心 C 的非零横坐标是 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设 M（ x， y），由 用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点 M 的轨迹为以（ 0， 1）为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆 D，由 上，得到圆 C 与圆 D 相切，根据两圆的半径长，能求出结果 【解答】 解：设点 M（ x， y），由 ： =2 ， 化简得： y+1） 2=4， 点 M 的轨迹为以（ 0， 1）为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆 D， 又 点 M 在圆 C 上，圆 C 上存在唯一一点 M，使 |2| 圆 C 与圆 D 相切， |1 或 ， | ， 解得 a=0 或 a= 圆心 C 的非零横坐标是 故答案为： 16数列 足 ， ，且 ，则 4最大值为 【考点】 数列递推式 【分析】 先由数列的递推公式得到 = ，再用累加法求出得+ + = ，根据 ，得到 ， 再根据基本不等式即可求出最值 【解答】 解： ， 1=1）， = = ， = ， = ， = ， ， 累加可得 + + = ， ， =2， 2= ， 即 +1= = ， ， 23 0， 4 （ + ） 2 2 =2 2 = ，当且仅当 取等号， 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台 “延迟退休年龄政策 ”，为了了解人们对 “延迟退休年龄政策 ”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在 15 65 的人群中随机调查 50 人，调查数据的频率分布直方图和支持 “延迟退休 ”的人数与年龄的统计结 果如表： 年龄 15， 25， 35， 45， 55，25） 35） 45） 55） 65 支持 “延迟退休 ”人数 5 10 10 2 1 （ ）由以上统计数据填下面 2 2 列联表，并问是否有 90%的把握认为以 45岁为分界点对 “延迟退休年龄政策 ”的支持度有差异； 45 岁以下 45 岁以上 合计 支持 不支持 合计 （ ）若从年龄在 45， 55）， 55， 65的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的 4 人中支持 “延迟退休 ”人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 参考数据： P（ K2k） k 2= 【考点】 独立性检验的应用；频率分布直方图 【分析】 （ ）根据统计数据，可得 2 2 列联表，根据列联表中的数据，计算值，即可得到结论； （ ） 的可能取值有 0， 1， 2， 3，求出相应的概率，可得 的分布列及数学期望 【解答】 解：（ ） 2 2 列联表： 45 岁以下 45 岁以上 合计 支持 25 3 28 不支持 15 7 22 合计 40 10 50 所以有 90%的把握认为以 45 岁为分界点对 “延迟退休年龄政策 ”的支持度有差异； （ ） 所有可能取值有 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = + = ， P（ =2） = + = ， P（ =3） = = ， 所以 的分布列是 0 1 2 3 P 所以 的期望值是 +1 +2 +3 = 18已知函数 f（ x） = 0）在区间 上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形 ， a， b， c 为 内角 A， B， C 的对边，且满足 （ ）证明： b+c=2a； （ ）若 b=c，设 ，（ 0 ）， ，求四边形 积的最大值 【考点】 两角和与差的正弦函数；余弦定理 【分析】 （ ）由题意知 ，解之可得 ，代入已知条件化简可得由正弦定理可得 b+c=2a； （ ） 由 条 件 和 （ ） 的 结 论 可 得 等边三角形，可得，可化简为 ，由 的范围可得结论 【解答】 解：（ ）由题意知： ，解得 ， A+B） +A+C） =2 b+c=2a （ ）因为 b+c=2a， b=c，所以 a=b=c，所以 等边三角形， = = = ， （ 0， ）， ， 当且仅当 ，即 时取最大值， 最大值为 19在斜三棱柱 ，侧面 平面 ， A=AB=a，D 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）在侧棱 确定一点 E，使得二面角 E A 的大小为 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 面 有 1C， D 为 点，则 可证明： 平面 （ 2）求出平面的法向量，利用二面角 E A 的大小为 ，即可得出结论 【解答】 （ 1）证明： 面 面 面 有 又 1C， D 为 点，则 面 （ 2）解：如图所示以点 C 为坐标系原点， x 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 C 有 A（ a， 0， 0）， B（ a， a， 0）， 0， 0， a）， 0， a，a）， a， 0， a）， 设 E（ x， y， z），且 ，即有（ x a， y a， z） =（ a， 0， a）， 所以 E 点坐标为（ 1 ） a， a， a） 由条件易得面 一个法向量为 设平面 一个法向量为 ， 由 可得 ， 令 y=1，则有 ， 则 = ，得 所以，当 时，二面角 E A 的大小为 20已知两点 A（ 2， 0）、 B（ 2， 0），动点 P 满足 （ 1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （ 2） H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点，曲线 E 上是否存在两点 M、 N，使得 以 H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 【分析】 （ 1）设点 P 的坐标为（ x， y）（ y 0），求 斜率，利用，化简可得动点 P 的轨迹 E 的方程； （ 2）设能构成等 腰直角三角形 中 H 为（ 0， 1），由题意可知，直角边可能垂直或平行于 x 轴，故可设 在直线的方程为 y=，（不妨设 k 0）则 在直线的方程为 ，确定交点 M、 N 的坐标，求出长，利用 |即可求得结论 【解答】 解：（ 1）设点 P 的坐标为（ x， y）（ y 0），则 ， ， ， ，化简得 ， 动点 P 的轨迹 E 的方程为 （ y 0）注：如果未说明 y 0，扣 （ 2）设能构成等腰直角三角形 中 H 为（ 0， 1）， 由题意可知，直角边 可能垂直或平 行于 x 轴，故可设 在直线的方程为 y=，（不妨设 k 0） 则 在 直 线 的 方 程 为 ，由 求得交点M ，（另一交点 H（ 0， 1） ， 用 代替上式中的 k，得 ， 由 |得 k（ 4+=1+4 4k 1=0（ k 1）（ 3k+1） =0， 解得： k=1 或 ， 当 率 k=1 时， 率 1；当 率 时， 率 ；当率 时， 率 ， 综上述，符合条件的三角形有 3 个 21已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 为自然对数的底） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若对任意给定的 （