2017年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年山西省太原市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1已知集合 A=x|y=x+1） ， B=x|x| 2，则 A B=（ ） A（ 2， 0） B（ 0， 2） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 2已知 i，则复数 z 在复平面对应点的坐标是（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 2） D（ 1， 2） 3已知 等差数列 前 n 项和， 2（ a1+a3+3（ a8+=36，则 ） A 66 B 55 C 44 D 33 4已知 =（ 1， =（ 1）， 0 ，若 ，则 =（ ） A B C D 5函数 的图象大致为（ ） A B C D 6已知圆 C： x2+，直线 l： y=k（ x+2），在 1， 1上随机选取一个数 k，则事件 “直线 l 与圆 C 相离 ”发生的概率为（ ） A B C D 7执行如图框图，已知输出的 s 0， 4，若输入的 t m， n，则实数 n A 1 B 2 C 3 D 4 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 6+1 B C D 9已知 D= ，给出下列四个命题： （ x， y） D， x+y+1 0； （ x， y） D， 2x y+2 0； （ x， y） D， 4； （ x， y） D， x2+2 其中真命题的是（ ） A 0已知抛物线 x 的焦点为点 F，过焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点，O 为坐标原点，若 面积为 ，则 |（ ） A 6 B 8 C 12 D 16 11已知函数 f（ x） = 0），若方程 f（ x） = 1 在（ 0， ）上有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为（ ） A（ ， B（ ， C（ ， D（ ， 12设函数 f（ x） = 与 g（ x） =b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数 b 的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 13已知 ，若 ，则实数 t= 14已知 双曲线经过点 ，其一条渐近线方程为 y=2x，则该双曲线的标准方程为 15已知三棱锥 A ， D= ， ， ，则该三棱锥外接球的体积为 16已知数列 ， ，则其前 n 项和 三、解答题 17已知 a， b， c 分别是 内角 A， B， C 所对的边， a=2b c （ 1）证明： A=2B； （ 2）若 a2+c2= A 18某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵某汽车经销商推出 A、 B、C 三种分期付款方式销售 该品牌汽车，并对近期 100 位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图已知从 A、 B、 C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1 俩所获得的利润分别是 1 万元， 2 万元， 3 万元现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆以这 100位客户所采用的分期付款方式的频率代替 1位客户采用相应分期付款方式的概率 （ 1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率； （ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望 19如图，在几何体 ，四边形 菱形， 平面 F ， （ 1）证明：平面 平面 2）若二面角 A C 是二面角，求直线 平面 成角的正切值 20已知椭圆 C： 的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点 D 在椭圆 C 上，直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、P 两点，与 x 轴、 y 轴分别相交于点 N 和 M，且 N，点 Q 是点 P 关于 延长线交椭圆于点 B，过点 A、 B 分别作 x 轴的垂涎，垂足分别为 1）求椭圆 C 的 方程； （ 2）是否存在直线 l，使得点 N 平分线段 存在，求求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =2（ a R）在 x=2 处的切线经过点（ 4，2 （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性 （ 2）若不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围 四、解答题（共 1 小题，满分 10 分） 22在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 ，（其中 为参数），曲线 ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l： =（ 0）与曲线 别交于点 A， B（均异于原 点 O） （ 1）求曲线 极坐标方程； （ 2）当 时，求 |+| 的取值范围 五、解答题（共 1 小题，满分 0 分） 23已知函数 （ 1）若不等式 f（ x） f（ x+m） 1 恒成立，求实数 m 的最大值； （ 2）当 a 时，函数 g（ x） =f（ x） +|2x 1|有零点，求实数 a 的取值范围 2017 年山西省太原市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1已知集合 A=x|y=x+1） ， B=x|x| 2，则 A B=（ ） A（ 2， 0） B（ 0， 2） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求解对数型函数的定义域化简集合 A，然后直接利用交集运算求解 【解答】 解：由 x+1 0，得 x 1 A=（ 1， + ）， B=x|x| 2=（ 2， 2） A B=（ 1， 2） 故选： C 2已知 i，则复数 z 在复平面对应点的坐标是（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 2） D（ 1， 2） 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由题意可得 z= ， 再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 a+而求得 z 对应的点的坐标 【解答】 解： i， z= = = 1 2i， 复数 z 在复平面对应点的坐标是（ 1， 2）， 故选： A 3已知 等差数列 前 n 项和， 2（ a1+a3+3（ a8+=36，则 ） A 66 B 55 C 44 D 33 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列等差数列通项公式求出 d=3即 ，由此能求出 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和， 2（ a1+a3+3（ a8+=36， 2（ a1+d+d） +3（ d+d） =36， 解得 d=3 ， = =113 故选： D 4已知 =（ 1， =（ 1）， 0 ，若 ，则 =（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由向量垂直的条件：数量积为 0，结合同角的商数关系，以及特殊角的三角函数值，即可得到所求值 【解答】 解： =（ 1， =（ 1），若 ， 可得 =， 即有 = 1， 由 0 ， 可得 = 故选： B 5函数 的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势 【解答】 解： f（ x） = = = f（ x）， 函数 f（ x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排 A， B， 当 x= 时， f（ ） = = 故选： D 6已知圆 C： x2+，直线 l： y=k（ x+2），在 1， 1上随机选取一 个数 k，则事件 “直线 l 与圆 C 相离 ”发生的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据圆心到直线 l 的距离 d r，列出不等式求出 k 的取值范围，利用几何概型的概率计算即可 【解答】 解：圆 C： x2+ 的圆心为（ 0， 0），半径为 r=1； 且圆心到直线 l： y=k（ x+2）的距离为 d= = ， 直线 l 与圆 C 相离时 d r， 1， 解得 k 或 k ， 故所求的概率为 P= = 故选： C 7执行如图框图，已知输出的 s 0， 4，若输入的 t m， n，则实 数 n A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 程序框图 【分析】 根据流程图所示的顺序知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件 t 的取值范围得分段函数的分类标准，由已知分类讨论即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S= 的值， 做出函数的图象，由题意可得：输出的 s 0， 4， 当 m=0 时， n 2， 4， n m 2， 4， 当 n=4 时， m 0， 2， n m 2， 4， 所以实数 n m 的最大值为 4 故选： D 8某几何体的 三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 6+1 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，几何体为圆柱与圆锥 的组合体，即可求出该几何体的表面积 【解答】 解：由题意，几何体为圆柱与圆锥 的组合体， 该几何体的表面积为 212+12+ + +1= ， 故选 D 9已知 D= ，给出下列四个命题： （ x， y） D， x+y+1 0； （ x， y） D， 2x y+2 0； （ x， y） D， 4； （ x， y） D， x2+2 其中真命题的是（ ） A 考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可 【解答】 解：不等式组 的可行域如图， A（ 2， 0）点， 2+0+1= 1， 故 （ x， y） D， x+y 0 为假命题； A（ 1， 3）点， 2 3+2= 3， 故 （ x， y） D， 2x y+2 0 为真命题； C（ 0， 2）点， = 3， 故 （ x， y） D， 4 为假命题； 1， 1）点， x2+ 故 （ x， y） D， x2+2 为真命题 可得选项 确 故选： C 10已知抛物线 x 的焦点为点 F，过焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点，O 为坐标原点，若 面积为 ，则 |（ ） A 6 B 8 C 12 D 16 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设出直线方程，求出 A， B 两点的纵坐标的差，利用 面积求出直线的斜率，然后求解 | 【解答】 解：抛物线 x 焦点为 F（ 1， 0） ， 设过焦点 F 的直线为： y=k（ x 1）， 由 可得 y 4=0， yA+， 4， | 面积为 ，可得： | ， ，解得 k= | ， | 故选： A 11已知函数 f（ x） = 0），若方程 f（ x） = 1 在（ 0， ）上有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为（ ） A（ ， B（ ， C（ ， D（ ， 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 化简 f（ x）的解析式，作出 f（ x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线 y= 1 与 y=f（ x）在（ 0， + ）上的交点坐标，则 介于第 4 和第 5个交点横坐标之间 【解答】 解： f（ x） =2x ）， 作出 f（ x）的函数图象如图所示： 令 2x ） = 1 得 x = +2 x = +2 x= + ，或 x= + ， kZ， 设直线 y= 1 与 y=f（ x）在（ 0， + ）上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B， 则 ， ， 方程 f（ x） = 1 在（ 0， ）上有且只有四个 实数根， 即 ，解得 故选 B 12设函数 f（ x） = 与 g（ x） =b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数 b 的最大值为（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 设 y=f（ x）与 y=g（ x）（ x 0）在公共点（ 的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后利用两直线重合列出等式即可求得 b 值，然后利用导数来研究 b 的最大值，研究此函数的最值问题，先求 出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得 【解答】 解：设 y=f（ x）与 y=g（ x）（ x 0）在公共点 P（ 的切线相同、 f（ x） =3x 2a， g（ x） = ， 由题意 f（ =g（ f（ =g（ 即 2b， 32a= 由 32a= 得 x0=a 或 a（舍去）， 即有 b= 2 令 h（ t） = t 0），则 h（ t） =2t（ 1+ 于是 当 2t（ 1+ 0，即 0 t 时， h（ t） 0； 当 2t（ 1+ 0，即 t 时， h（ t） 0 故 h（ t）在（ 0， ）为增函数，在（ ， + ）为减函数， 于是 h（ t）在（ 0， + ）的最大值为 h（ ） = ， 故 b 的最大值为 故选 A 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 13已知 ，若 ，则实数 t= 1 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据题意，由向量 、 的坐标，计算可得 + 与 的坐标，又由，则有（ 1+t） （ 2） =（ 1 t） 0=0，即可得 t 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意， ， 则 + =（ 1+t， 0）， =（ 1 t， 2）， 若 ，则有（ 1+t） （ 2） =（ 1 t） 0=0， 解可得 t= 1； 故答案为： 1 14已知双曲线经过点 ，其一条渐近线方程为 y=2x，则该双曲线的标准方程为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为 =m，又由其过点 ，将点的坐标代入方程计算可得 m 的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案 【解 答】 解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为 y=2x，则可以设其方程为=m，（ m 0）， 又由其经过点 ，则有 1 =m， 解可得 m= 1， 则其方程为： = 1， 其标准方程为： ， 故答案为： 15已知三棱锥 A ， D= ， ， ，则该三棱锥外接球的体积为 【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体 【分析】 证明 直角三角形取 点 O，则 B=D=1，即O 为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为 R=1，可得球的体积 【解答】 解： ， ， 又因为 D= ， 直角三角形 取 点 O，则 B=D=1 O 为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为 R=1， 该三棱锥外接球的体积为 ， 故答案为： 16已知数列 ， ，则其前 n 项和 2n+2 4 【考点】 数列的求和 【分析】 数列 ， ，可得： ， n 2 时，1+3n 4，作差可得 21+3，化为 =2（ 1+3），利用等比数列的通项公式可得 1+3，利用 “累加求和 ”方法可得 1） +（ 1 2） + +（ +利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出 【解答】 解： 数列 ， ， ， n 2 时， 1+3n 4， 21+3，化为 =2（ 1+3）， =2 数列 1+3是等比数列，首项为 2，公比为 2 1+3=2n，即 1=2n 3 1） +（ 1 2） + +（ +n 3+2n 1 3+ +22 31= 3（ n 1） 1 =2n+1 3n 2 3 2n =2n+2 4 故答案为： 2n+2 4 三、解答题 17已知 a， b， c 分别是 内角 A， B， C 所对的边， a=2b c （ 1）证明： A=2B； （ 2）若 a2+c2= A 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由 正弦定理和正弦函数的性质，即可证明 A=2B 成立； （ 2）由余弦定理和正弦、余弦函数的性质，化简求值即可 【解答】 解：（ 1）证明： ， a=2 由 ，得 0 A， B ， 0， 0 2B ， A=2B 或 A+2B=， 若 A+2B=，则 B=C， b=c 这与 “b c”矛盾， A+2B ； A=2B； （ 2） a2+c2= ， 由余弦定理得 0 B， C ， 或 ， 当 时，则 ， 这与 “b c”矛盾， ； 当 时，由（ 1）得 A=2B， ， 18某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵某汽车经销商推出 A、 B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期 100 位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图已知从 A、 B、 C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1 俩所获得的利润分别是 1 万元， 2 万元， 3 万元现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆以这 100位客户所采用的分期付款方式的频率代替 1位客户采用相 应分期付款方式的概率 （ 1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率； （ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由题意得： P（ A） = =P（ B） = =P（ C） = =用对立事件概率计算公式能求出甲乙两人采用不同分期付款方式的概率 （ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X 的可能取值为 2， 3， 4， 5， 6，分 别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ 1）由题意得： P（ A） = =P（ B） = =P（ C） = = 甲乙两人采用不同分期付款方式的概率： p=1 P（ A） P（ A） +P（ B） P（ B） +P（ C） P（ C） = （ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润， 则 X 的可能取值为 2， 3， 4， 5， 6， P（ X=2） =P（ A） P（ A） = P（ X=3） =P（ A） P（ B） +P（ B） P（ A） = P（ X=4） =P（ A） P（ C） +P（ B） P（ B） +P（ C） P（ A） = P（ X=5） =P（ B） P（ C） +P（ C） P（ B） = P（ X=6） =P（ C） P（ C） = X 的分布列为： X 2 3 4 5 6 P （ X） =2+3+4+5+6= 19如图，在几何体 ，四边形 菱形， 平面 F ， （ 1）证明：平面 平面 2）若二面角 A C 是二面角，求直线 平面 成角的正切值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2）设 交点为 O，分别以 x 轴， y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 平面 成角的正切值 【解答】 证明：（ 1） 四边形 菱形， 平面 平面 平面 平面 平面 解：（ 2）设 交点为 O，由（ 1）得 分别以 x 轴， y 轴，建立空间直角坐标系， 平面 2=8， 设 OA=a，（ a 0）， 由题设得 A（ a， 0， 0）， C（ a， 0， 0）， E（ 0， ）， F（ 0， ， 2）， 设 m=（ x， y， z）是平面 法向量， 则 ，取 z=2 ，得 =（ ）， 设 是平面 一个法向量， 则 ，取 ，得 =（ ， 1， 2 ）， 二面角 A C 是直二面角， = +9=0，解得 a= ， 平面 直线 平面 成的角， =2， 直线 平面 成角的正切值为 20已知椭圆 C： 的左右焦点与其短轴的 一个端点是正三角形的三个顶点，点 D 在椭圆 C 上，直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、P 两点，与 x 轴、 y 轴分别相交于点 N 和 M，且 N，点 Q 是点 P 关于 延长线交椭圆于点 B，过点 A、 B 分别作 x 轴的垂涎，垂足分别为 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否存在直线 l，使得点 N 平分线段 存在，求求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D 在椭圆 C 上，列出方程组，求出 a， b， 由此能求出椭圆 C 的方程 （ 2）假设存在这样的直线 l： y=kx+m，则直线 方程为 y= 3kx+m，由，得（ 3+4（ 3） =0，由 ，得（ 3+36k2）24（ 3） =0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1） 椭圆 C： 的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点 D 在椭圆 C 上， 由题意得 ，解得 ， ， 椭圆 C 的方程为 （ 2）假设存在这样的直线 l： y=kx+m， M（ 0， m）， N（ ， 0）， N， P（ ， 2m）， Q（ ）， 直线 方程为 y= 3kx+m， 设 A（ 由 ，得（ 3+4（ 3） =0， ， ， 设 B（ 由 ，得（ 3+3624（ 3） =0， = ， ， 点 N 平分线段 ， = ， k= ， P（ 2m， 2m）， ，解得 m= ， |m|= b= ， 0，符合题意， 直线 l 的方程为 y= 21已知函数 f（ x） =2（ a R）在 x=2 处的切线经过点（ 4，2 （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性 （ 2）若不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求导，当 x=2 时，代入 f（ x），即可求得 a= 1，求得点斜式方程，将（ 4， 2入点斜式方程，即可求得 f（ 2），即可求得函数 f（ x）的单调区间； （ 2）由题意可知 （ 2） m，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及零点性质，求得 （ 2）最小值， 即可求得实数 m 的取值范围 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =2（ a R），求导 f（ x） = +a+ ， 当 x=2 时， f（ 2） =1+a+f（ 2）， a= 1， 设切点为（ 2， 2a 2f（ 2），则切线方程 y（ 2a 2f（ 2） =f（ 2）（ x 2）， 将（