北师大版高中数学选修2-1第二章空间向量与立体几何综合检测题附解析

北师大版高中数学选修2-1第二章空间向量与立体几何综合检测题附解析 (时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中正确的是()A若ab，bc，则a与c所在直线平行B向量a，b，c共面即它们所在直线共面C空间任意两个向量共面D若ab，则存在唯一的实数，使ab解析：选C.对于A：当b0时，a与c所在直线可重合、平行、相交或异面；当b0时，a与c所在直线可重合，排除A；对于B：它们所在直线可异面，排除B；对于D：b0时不满足，排除D.2已知两非零向量e1，e2不共线，设ae1e2(，R且，0)，则()Aae1Bae2Ca与e1，e2共面D以上三种情况均有可能解析：选C.对于A：ae1，所以ake1，得0，k，与已知矛盾对于B：ae2，所以ake2，得k，0，与已知矛盾故选C.3已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，2，1)，下列四个点中在平面ABC内的点是()A(2，3，1) B(1，1，2)C(1，2，1) D(1，0，3)解析：选D.设该点为D.当D的坐标为(1，0，3)时，AD(1，0，3)2ABAC，其他三个坐标均不符合要求4若向量a(1，2)，b(2，1，2)且a与b的夹角的余弦值为89，则等于()A2 B2C2或255 D2或255解析：选C.cosa，bab|a|b|632589，得2或255.5向量a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，下列结论正确的是()Aab，ab Bab，acCac，ab D以上都不对解析：选C.ab4040，所以ab，又c2a，所以ac，故选C.6已知向量m、n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n12，则l与所成的角为()A30 B60C120 D150解析：选A.设l与所成角为，所以sin |cosm，n|12，0，90，所以30.选A.7已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OMxOA13OB13OC，则x的值为()A1 B0C3 D.13解析：选D.因为点M在平面ABC内，所以AM1AB2AC，即：OMOA1(OBOA)2(OCOA)，OM(112)OA1OB2OC，由OMxOA13OB13OC，得x1131313.8已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标为()A.12，32，3 B.32，12，3C.3，12，32 D.12，32，3解析：选B.设p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc得xy1，xy2，z3，即x32，y12，z3.9已知a(1，2，y)，b(x，1，2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax13，y1 Bx12，y4Cx2，y14 Dx1，y1解析：选B.a2b(12x，4，4y)，2ab(2x，3，2y2)因为(a2b)(2ab)，所以a2b(2ab)，可得43，x12，y4.10.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF22，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值D异面直线AE，BF所成的角为定值解析：选D.建立如图坐标系，B1(0，1，1)，D1(1，0，1)，B(0，1，0)，AC是平面B1BDD1的法向量，BE 平面B1BDD1，故ACBE，故A正确；BB1是平面ABCD的法向量，BB1(0，0，1)，EF22D1B1|D1B1|(12，12，0)，EFBB10，故EFBB1，故EF平面ABCD，故B正确；VABEF13SBEFh1312|EF|BB1|12|AC|112|EF|BB1|AC|112，故C正确二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11已知空间向量a(0，1，1)，b(x，0，1)，若a，b的夹角为3，则实数x的值为_解析：cosa，bab|a|b|0x10112x21cos3，得x1.答案：112在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点用AB，AD，AA1表示向量MN，则MN_解析：MNMBBCCN12ABAD12CB112ABAD12(CBBB1)12AB12AD12AA1.答案：12AB12AD12AA113.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为_解析：因为A1B1平面D1EF，所以G到平面D1EF之距等于A1点到平面D1EF之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F(1，1，12)，E(1，0，12)，设平面D1EF的法向量为n(x，y，z)，由nEF0，nED10，易求得平面D1EF的一个法向量n(1，0，2)，A1E(0，0，12)，所以d|A1En|n|55.答案：5514直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_解析：法一：由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且BCCACC1，可将三棱柱补成正方体，建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得A(0，0，0)，B(2，2，0)，M(1，1，2)，N(0，1，2)，所以BM(1，1，2)(2，2，0)(1，1，2)，AN(0，1，2)所以cosBM，ANBMAN|BM|AN|14（1）2（1）2220212223653010. 法二：如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊12B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角设BC2，则BMND6，AN5，AD5，因此cosANDND2NA2AD22NDNA3010.答案：301015给出命题：在ABCD中，ABADAC；在ABC中，若ABAC0，则ABC是锐角三角形；在梯形ABCD中，E，F分别是两腰BC，DA的中点，则FE12(ABDC)；在空间四边形ABCD中，E，F分别是边BC，DA的中点，则FE12(ABDC)以上命题中，正确命题的序号是_解析：对于：ACABBCABAD，故正确；对于：ABAC|AB|AC|cos A0，得A为锐角，但ABC不一定为锐角三角形，故不正确；对于：FEFAABBE，FEFDDCCE，两式相加得：FE12(ABDC)，故正确；对于：取BD中点为H，则FH12AB，HE12DC，FEFHHE12(ABDC)，故正确答案：三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分10分)设O为坐标原点，向量OA(1，2，3)，OB(2，1，2)，OP(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，求点Q的坐标解：设OQOP，所以QAOAOQOAOP(1，2，3)(1，1，2)(1，2，32)，QBOBOQOBOP(2，1，2)(1，1，2)(2，1，22)，则QAQB(1，2，32)(2，1，22)(1)(2)(2)(1)(32)(22)621610，所以当43时，QAQB取得最小值又OQOP43(1，1，2)43，43，83.所以点Q的坐标为43，43，83.17(本小题满分10分)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1平面ABCD，且ADAA11，AB2. (1)求证：平面BCD1平面DCC1D1；(2)求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值解：(1)证明：在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，所以DD1BC.因为底面ABCD是矩形，所以DCBC.又DD1DCD，所以BC平面DCC1D1.又BC 平面BCD1，所以平面BCD1平面DCC1D1.(2)取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 因为ADAA11，AB2，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)所以CD1(0，2，1)，DA1(1，0，1)，所以cosCD1，DA1CD1DA1|CD1|DA1|1521010.所以异面直线CD1与A1D所成角的余弦值是1010.18(本小题满分10分)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、N分别是A1B1、A1A的中点(1)求|BN|的长；(2)求cosBA1，CB1的值；(3)求证：A1BC1M. 解：如图，建立空间直角坐标系(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)，所以|BN|（10）2（01）2（10）23.(2)依题意得A1(1，0，2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，所以BA1(1，1，2)，CB1(0，1，2)，BA1CB13，|BA1|6，|CB1|5，所以cosBA1，CB1BA1CB1|BA1|CB1|11030.(3)证明：依题意，得C1(0，0，2)、M12，12，2，A1B(1，1，2)，C1M12，12，0，所以A1BC1M121200，所以A1BC1M，所以A1BC1M.19(本小题满分12分)在空间直角坐标系中(O为坐标原点)，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，E(0，2，1)(1)求证：直角BE平面ADO；(2)求直线OB和平面ABD所成的角；(3)在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，取其法向量为n(0，1，0)，而BE(2，0，1)，所以BEn0，即BEn，又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE平面ADO.(2)设平面ABD的法向量为m(a，b，c)，因为AB(0，2，0)，AD(2，0，2)，所以ABm2b0，ADm2a2c0，所以可取m(1，0，1)又OB(2，2，0)，设OB与平面ABD所成的角为，所以sin |cosOB，m|OBm|OB|m|222212.所以直线OB和平面ABD所成的角为6.(3)假设存在点P(x，y，z)，使得直线AP与直线BD垂直设BPBE，即(x2，y2，z)(2，0，)所以x22，y2，z，所以AP(2，2，)又BD(2，2，2)，所以APBD4420，解得23，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为23，2，23.20.(本小题满分13分)已知长方体AC1中，棱ABBC1，棱BB12，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.(1)求证：A1C平面EBD；(2)求点A到平面A1B1C的距离；(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值解：(1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)、D(0，1，0)、A1(0，0，2)、B1(1，0，2)、C1(1，1，2)、D1(0，1，2)，A1C(1，1，2)，BD(1，1，0)，设E(1，1，z)，则BE(0，1，z)，CB1(0，1，2)，因为BEB1C，所以BECB112z0，z12，所以E(1，1，12)，BE(0，1，12)，因为A1CBD1100，A1CBE0110，所以A1CBD，A1CBE，又BDBEB，所以A1C平面EBD.(2)连接AC，A到平面A1B1C的距离，即三棱锥AA1B1C的高，设为h，SA1B1C52，VCA1B1A13，由VAA1B1CVCA1B1A得：1352h13，h255，所以点A到平面A1B