湖南省郴州市2017届高三第四次质量检测数学试题(文)含答案

郴州市 2017 届高三第四次教学质量监测试卷 数学文科 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . | ( 1 ) ( 4 ) 0A x Z x x ， |B x x a，若 A B B ，则 a 的值可以是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 ( 2 ) ( 2 )z i a i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 a 的取值范围是（ ） A ( , 1) B (4, ) C ( 1,4) D ( 4, 1) 四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个 等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ） ,2)， (2, 1)b ，且 ，则 | 2 |()a b等于（ ） A 53B 1 C 2 D 3 c o s ta n 3，且 k （ ），则 ( ) 等于（ ） A 13B 13C 23D 23章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 （单位：升），则输入 k 的值为（ ） A 6 C 9 ： 221（ 0a ， 0b ）过点 ( 2, 2 2) ，过点 (0, 2) 的直线 l 与双曲线 C 的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为 23，则双曲线 C 的实轴长为（ ） A 2 B 22 C 4 D 42 )0) xy f x e的一个零点，则下列函数中，0x一定是其零点的函数是（ ） A ( ) 1xy f x e B ( ) 1xy f x e C ( ) 1xy f x e D ( ) 1xy f x e 该几何体的体积为（ ） A 103B 113C 4 D ) s )f x A x（ 0 ， |2）的部分图象如图所示，将函数 ()24个单位后得到函数 ()图象，若函数 ()区间 ,3 （3）上的值域为 1,2 ，则 等于（ ） A6B4C 23D 712 ： 22 1 ( 0 )xy 的右焦点为2F， O 为坐标原点， M 为 y 轴上一点，点 A 是直线2 的一个交点，且2| | | | 2 | |O A O F O M，则椭圆 C 的离心率为（ ） A 13B 25C 55D 形 ， 2D ， E 为边 中点，将 沿直线 转成11A平面 若 M 、 O 分别为线段1中点，则在 翻转过程中，下列说法错误的是（ ） A与平面1M 垂直 B过 E 作 /M ， G 平面11定值 C一定存在某个位置，使 O D三棱锥1A 接球半径与棱 长之比为定值 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 红、 2 白和 2 黑共 5 个小球，这 5 个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取 2 个球，则至少取到 1 个白球的概率为 x ， y 满足条件 3 0 ,2 4 0 ,3, 则 22( 1)z x y 的最小值为 中， a ， b ， c 分别是 角 A ， B ， C 的对边， 的面积为 S ，22( ) ta n 8a b C S，则 222 ( ) ( 1 ) xf x x a x a e （ ）在区间 (1,3) 只有一个极值点，则曲线 ()0, (0)f 处切线的方程为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） n （ *）项和为 3a ，且1n n nS a a ，在等比数列 2b ，3 15 1 （）求数列 （）设数列 n （ *）项和为 ( ) 12，求 00 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60) ， 60,70) ， 70,80) ， 80,90) ， 90,100 （）求图中 a 的值； （）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x ）与数学成绩相应分数段的人数（ y ）之比如表所示，求数学成绩在 50,90) 之外的人数 棱锥 P 中， 底面 底面 直角梯形，90 ， /C ， C ， 2C，点 E 在 ，且 2D （）已知点 F 在 ，且 2B ，求证：平面 平面 （）若 的面积是梯形 积的 43，求点 E 到平面 距离 是抛物线 2 4上的一点，以点 A 和点 (2,0)B 为直径的圆 C 交直线 1x 于M ， N 两点，直线 l 与 行，且直线 l 交抛物线于 P ， Q 两点 （）求线段 长； （）若 3Q ，且直线 圆 C 相交所得弦长与 |等，求直线 l 的方程 ) x x a（ ）与函数 2()F x 有公共切线 （）求 a 的取值范围； （）若不等式 ( ) 2xf x e a 对于 0x 的一切值恒成立，求 a 的取值范围 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分 . 标系与参数方程 在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 2a （ t 为参数， 0a ）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为c o s ( ) 2 24 （）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 2a 时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值； （）若曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围 等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | | 3 |f x x x ， ( ) | 2 |g x a x （）若关于 x 的不等式 ( ) ( )f x g x 有解，求实数 a 的取值范围； （）若关于 x 的不等式 ( ) ( )f x g x 的解集为 7( , )2b，求 的值 郴州市 2017 届高三第四次教学质量监测试卷数学文科答案 一、选择题 1 6 11、 12： 二、填空题 16. 6 三、解答题 ）1n n nS a a ，3 3a ，1 1 2a a a ，且1 2 2 3 2( ) 3a a a a a ， 2a ，1 2 3 3a a a ， 数列 1 3 22a a a，即2123， 由得1 1a，2 2a ， 2 ， 1 4b，3 16b ，则 12 （） (1 )2n ， 2( 2)nc ， 2 2 2 2 21 3 2 4 3 5 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )nT n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 2 4 3 5 1 1 2n n n n 23 2 32 3 2 （）由题意得 2 1 0 0 . 0 4 1 0 0 . 0 3 1 0 0 . 0 2 1 0 1a ，解得 （）由 0 . 0 5 5 5 0 . 4 6 5 0 . 3 7 5 0 . 2 8 5 0 . 0 5 9 5 7 3 （）由频率分布表可知， 数学成绩在 50,90) 的人数为： 1 4 5( 0 . 0 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 ) 1 0 0 9 02 3 4 于是，数学成绩在 50,90) 之外的人数为： 100 90 10 19.（）证明： C ， C ， 45 ， 底面 直角梯形， 90 ， /C ， 45 ，即 D ， 22B C A C A D， 2D ， 2B ， 23A E B F A D， 四边形 平行四边形，则 /F ， F ， 底面 F ， C A ， 平面 平面 平面 平面 （）解： 底面 且 C ， C ， 取 中点为 G ，连接 则 C ， 1D 设 PA x ，连接 则 2 1PG x， 侧面 面积是底面 43倍， 1 4 12 (1 2 )2 3 2 ，即 2，求得 3x ， /C ， E 到平面 距离即时 A 到平面 距离， A P B C P A B ， 2， E 到平面 距离为 1322 ）设 200( , )4 C 方程为 200( 2 ) ( ) ( ) 04yx x y y y ， 令 1x ，得 22 00 104yy y y ， 0， 20 14， 222 00| | | | ( ) 4 4 ( 1 ) 24M N M N M y y y y y y y （）设直线 l 的方程为 x my n，11( , )P x y，22( , )Q x y，则 由2,4,x my 消去 x ，得 2 4 4 0y m y n ， 124y y m，12 4y y n， 3Q ，1 2 1 2 3x x y y ，则 21212() 316yy ， 2 4 3 0 ，解得 1n 或 3n ， 当 1n 或 3n 时，当 (2,0)B 到直线 l 的距离211d m ， 圆心 C 到直线 l 的距离等于直线 1x 的距离， 20218 1， 又20024ym y ，消去 m 得 42 00 64 6416，求得 20 8y ， 此时，200240ym y，直线 l 的方程为 3x ， 综上，直线 l 的方程为 1x 或 3x 21. 解：（） 1( )22( ) 1Fx x 函数 ()函数 () 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为0x（0 0x ），则00 20012( ) ( ) 1f x F ， 解得0 2x 或0 1x （舍去）， 则 (2) (2)，得 3a ， 数形结合，得 3a ，即 a 的取值范围为 3, ) （）等价于 0x x a e a x 在 (0, )x 上恒成立， 令 ( ) l n 2g x x x a e a x ， 因为 ( ) g x x a ，令 ( ) 0，得 x (0, )( , ) ( ) 0 () 极小值 所以 ()最小值为 ( ) ( 1 ) 2 2a a a ae e e eg a a e a a ee e e e ， 令 ( ) 2 x x ，因为 ( ) 1 ， 令 ( ) 0，得 1x ，且 x (0,1) 1 (1, ) ( ) 0 ()极大值 所以当 (0,1)a 时， ()最小值 1 ( 2 ) 1( ) ( 0 ) 2 0a t ， 当 1, )a 时， ()最小值为 ( ) 2 0a a (2)t， 所以 1,2a 综上得 a 的取值范围为 (0,2 ）由 c o s ( ) 2 24 ，得 2 ( c o s s i n ) 2 22 ， 化成直角 坐标方程，得 2 ( ) 2 22 ，即直线 l 的方程为 40， 依题意，设 (2 co s , 2 P t t，则 P 到直线 l 的距离 | 2 2 c o s ( ) 4 | 2 c o s 2 s i n 4 | 4 2 2 2 c o s ( )422 当 24 ，即 324， 时， 2 2k 故点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2 2 （）曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方， ，有 c o s 2 s 0a t t 恒成立， 即 2 4 c o s ( ) 4 （其中 2）恒成立， 2 44a ，又 0a ，解得 0 2 3a ， 故 a 的