江苏省常州市2017届高三数学一模试卷含答案解析

2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷 一 大題共 14 小败，每小題 5 分，共 70 分 1已知集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， M=x|6x+5 0， x Z，则 2若复数 z 满足 z+i= ，其中 i 为虚数单位，则 |z|= 3函数 f（ x） = 的定义域为 4如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为 6已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为 7从集合 1， 2， 3， 4中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为 8在平面直角坐标系 ，已知抛物线 x 的焦点恰好是双曲线 =双曲线的离心率为 9设等比数列 前 n 项和为 等差数列且 a2+，则值为 10在平面直角坐标系 ，过点 M（ 1， 0）的直线 l 与圆 x2+ 交于 A， 中 A 点在第一象限，且 =2 ，则直线 l 的方程为 11在 ，已知 ， ， A=60，若点 P 满足 = + ，且 =1，则实数 的值为 12已知 + ），则 + ） = 13若函数 f（ x） = ，则函数 y=|f（ x） | 的零点个数为 14若正数 x， y 满足 15x y=22，则 x3+最小值为 二 大题共 6 小题，共计 90 分 15在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边 若 ， l，且A B= （ 1）求边 c 的长； （ 2）求角 B 的大小 16如图，在斜三梭柱 ，侧面 菱形， 于点O， E 是棱 一点，且 平面 1）求证： E 是 点； （ 2）若 证： 17某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 如图），设计要求彩门的面积为 S （单位： 高为 h（单位： m）（ S， h 为常数），彩门的下底 定在广场地面上，上底和两腰由不 锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 ，不锈钢支架的长度和记为 l （ 1）请将 l 表示成关于 的函数 l=f（ ）； （ 2）问当 为何值时 l 最小？并求最小值 18在平面直角坐标系 ，已知椭圆 + =l （ a b 0）的焦距为 2，离心率为 ，椭圆的右顶点为 A （ 1）求该椭圆的方程： （ 2）过点 D（ ， ）作直线 椭圆于两个不同点 P， Q，求证：直线 斜率之和为定值 19己知函数 f（ x） =（ x+l） ax+a （ a 为正实数，且为常数） （ 1）若 f（ x）在（ 0， + ）上单调递 增，求 a 的取值范围； （ 2）若不等式（ x 1） f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 20己知 n 为正整数，数列 足 0， 4（ n+1） 2=0，设数列 足 （ 1）求证：数列 为等比数列； （ 2）若数列 等差数列，求实数 t 的值： （ 3）若数列 等差数列，前 n 项和为 任意的 n N*，均存在 m N*，使得 86立，求满足条件的所有整数 值 四 ， B， C， D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则 按作答的前两题评分 A.选修 4 一 1：几何证明选讲 21如图，圆 O 的直径 ， C 为圆周上一点， ，过 C 作圆的切线 l，过 A作 l 的垂线 别与直线 l、圆交于点 D、 E求 度数与线段 长 选修 4阵与变换 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵M 对应的变换将点（ 1， 2）变换成（ 2， 4） （ 1）求矩阵 M； （ 2）求矩阵 M 的另一个特征值 选修 4标系与参数方程 23已知圆 圆 极坐标方程分别为 =2， （ 1）把圆 圆 极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程 选修 4等式选讲 24已知 a， b， c 为正数，且 a+b+c=3，求 + + 的最大值 四 小题 0 分，共计 20 分 25如图，已知正四棱锥 P ， B=2，点 M， N 分别在 ，且 = = （ 1）求异面直线 成角的大小； （ 2）求二面角 N B 的余弦值 26设 | ， n 为正整数，数列 通项公式 an=其前 n 项和为 1）求证：当 n 为偶函数时， ；当 n 为奇函数时， 1） （ 2）求证：对任何正整数 n， 1+（ 1） n+1 2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一 大題共 14 小败，每小題 5 分，共 70 分 1已知集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， M=x|6x+5 0， x Z，则 6， 7 【考点】 补集及其运算 【分析】 解不等式化简集合 M，根据补集的 定义写出运算结果即可 【解答】 解：集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， M=x|6x+5 0， x Z=x|1 x 5， x Z=1， 2， 3， 4， 5， 则 6， 7 故答案为： 6， 7 2若复数 z 满足 z+i= ，其中 i 为虚数单位，则 |z|= 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，再由复数求模公式计算得答案 【解答】 解：由 z+i= ， 得 = ， 则 |z|= 故答案为： 3函数 f（ x） = 的定义域为 x|x 且 x 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据对数函数的性质以及分母不是 0，得到关于 x 的不等式组，解出即可 【解答】 解：由题意得： ， 解得： x 且 x 1， 故函数的定义域是 x|x 且 x 1， 故答案为： x|x 且 x 1 4如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 24 【考点】 伪代码 【分析】 模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 t 的值， 由于循环变量的初值为 2，终值为 4，步长为 1，故循环体运行只有 3 次，由此得到答案 【解答】 解：当 i=2 时，满足循环条件，执行循环 t=1 2=2， i=3； 当 i=3 时，满足循环条件，执行循环 t=2 3=6， i=4； 当 i=4 时，满足循环条件，执行循环 t=6 4=24， i=5； 当 i=5 时，不满足循环条件，退出循环，输出 t=24 故答案为： 24 5某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为 300 【考点】 分层抽样方法 【分析】 用分层抽样的方法抽取一个容量为 45 的 样本，根据高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有 900 名学生，算出高二年级学生人数 【解答】 解： 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本， 其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人， 高二年级要抽取 45 20 10=15， 高级中学共有 900 名学生， 每个个体被抽到的概率是 = 该校高二年级学生人数为 =300， 故答案为： 300 6已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 正四棱锥 P ， ， ，设正四棱锥的高为 结 出 此能求出该正四棱锥的体积 【解答】 解：如图，正四棱锥 P ， ， ， 设正四棱锥的高为 结 则 在直角三角形 ， = =1 所以 O= 4 1= 故答案为： 7从集合 1， 2， 3， 4中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【 分析】 先求出基本事件总数 n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为 3 的倍数的槪率 【解答】 解：从集合 1， 2， 3， 4中任取两个不同的数， 基本事件总数 n= =6， 这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件有：（ 1， 2），（ 2， 4），共 2 个， 这两个数的和为 3 的倍数的槪率 p= 故答案为： 8在平面直角坐标系 ，已知抛物线 x 的焦点恰好是双曲线 =双曲线的离心率为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛 物线的焦点坐标，可得 c=2，由双曲线的方程可得 a=1，由离心率公式可得所求值 【解答】 解：抛物线 x 的焦点为（ 2， 0）， 则双曲线 =l 的右焦点为（ 2， 0）， 即有 c= =2， 不妨设 a=1， 可得双曲线的离心率为 e= =2 故答案为： 2 9设等比数列 前 n 项和为 等差数列且 a2+，则值为 2 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的前 n 项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出 值 【解答】 解： 等比数列 前 n 项和为 等差数列且 a2+， ， 解得 ， =（ 2=8 =2 故答案为： 2 10在平面直角坐标系 ，过点 M（ 1， 0）的直线 l 与圆 x2+ 交于 A， 中 A 点在第一象限，且 =2 ，则直线 l 的方程为 x y 1=0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由题意，设直线 x= 与圆 x2+ 联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论 【解答】 解：由题意，设直线 x= 与圆 x2+ 联立， 可得（ ） 4=0， 设 A（ B（ 则 2y1+ ， 联立解得 m=1， 直线 l 的方程为 x y 1=0， 故答案为： x y 1=0 11在 ，已知 ， ， A=60，若点 P 满足 = + ，且 =1，则实数 的值为 或 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意，利用平面向量的线性运算，把 、 用 、 与 表示出来，再求 即可 【解答】 解： ， ， ， A=60，点 P 满足 = + ， = ， = ； 又 = =（ + ） = +（ 1） ， = +（ 1） = +（ 1） = 2 1 （ 1） 22=1， 整理得 42 3 1=0， 解得 = 或 =1， 实数 的值为 或 1 故答案为： 或 1 12已知 + ），则 + ） = 2 4 【考点】 两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数 【分析】 利用同角三角的基本关系、两角和差的三角 公式求得 值，可得 + ）的值 【解答】 解： + ） =33 又 ） = = =2 ， + ） = = = =2 4， 故答案为： 2 4 13若函数 f（ x） = ，则函数 y=|f（ x） | 的零点个数为 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 利用分段函数，对 x 1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当 x 1 时，利用数形 结合求解函数的零点个数即可 【解答】 解：当 x 1 时， = ，即 ， 令 g（ x） =， x 1 时函数是连续函数， g（ 1） = 0， g（ 2） = 0， g（ 4） =2 0，由函数的零点判定定理可知 g（ x） =，有 2 个零点 （结合函数 y= 与 y= 可知函数的图象由 2 个交点） 当 x 1 时， y= ，函数的图象与 y= 的图象如图，考查两个函数由 2 个交点， 综上函数 y=|f（ x） | 的零点个数为： 4 个 故答案为： 4 14若正数 x， y 满足 15x y=22，则 x3+最小值为 1 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 由题意可得 x ， y 0，又 x3+ +（ 求出 y，当且仅当 y= 时取得等号，设 f（ x） =出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值 【解答】 解：由正数 x， y 满足 15x y=22，可得 y=15x 22 0，则 x ， y0， 又 x3+ +（ 其中 y=y（ y+ ） =y（ y ） 2 0， 即 y， 当且仅当 y= 时取得等号， 设 f（ x） =f（ x）的导数为 f（ x） =32x=x（ 3x 2）， 当 x= 时， f（ x）的导数为 （ 2） = ， 可得 f（ x）在 x= 处的切线方程为 y= x 由 x （ x ） 2（ x+2） 0， 当 x= 时，取得等号 则 x3+ +（ x y =1 当且仅当 x= ， y= 时，取得最小值 1 故答案为： 1 二 大题共 6 小题，共计 90 分 15在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边若 ， l，且A B= （ 1）求边 c 的长； （ 2）求角 B 的大小 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由 ， l，利用余弦定理化为： a2+c， b2+c2c相加即可得出 c （ 2）由（ 1）可得： 由正弦定理可得： = = ，又 A B= ，可得 A=B+ ， C= ，可得 代入可得 16，化简即可得出 【解答】 解：（ 1） ， l， a =3， b =1， 化为： a2+c， b2+c 相加可得： 2c，解得 c=4 （ 2）由（ 1）可得： 由正弦定理可得： = = ， 又 A B= ， A=B+ ， C=（ A+B） = ，可得 a= ， b= 16， 1 （ 1 = ，即 = ， 2 ， =0 或 =1， B 解得： B= 16如图，在斜三梭柱 ，侧面 菱形， 于点O， E 是棱 一点，且 平面 1）求证： E 是 点； （ 2）若 证： 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质 【分析】 （ 1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论 （ 2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直 【解答】 证明：（ 1）连结 点 E， 侧面 菱形， 于点 O， O 为 中点， E是 中点， 平面 面 平面 平面 E， E重合， E 是 点； （ 2） 侧面 菱形， 1， 面 面 平面 面 17某单位将 举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 如图），设计要求彩门的面积为 S （单位： 高为 h（单位： m）（ S， h 为常数），彩门的下底 定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 ，不锈钢支架的长度和记为 l （ 1）请将 l 表示成关于 的函数 l=f（ ）； （ 2）问当 为何值时 l 最小？并求最小值 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）求出上底，即可将 l 表示成关于 的函数 l=f（ ）； （ 2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当 为何值时 l 最小？并求最 小值 【解答】 解：（ 1）设上底长为 a，则 S= ， a= ， l= + （ 0 ）； （ 2） l=h ， 0 ， l 0， ， l 0， 时， l 取得最小值 m 18在平面直角坐标系 ，已知椭圆 + =l （ a b 0）的焦距为 2，离心率为 ，椭圆的右顶点为 A （ 1）求该椭圆的方程： （ 2）过点 D（ ， ）作直线 椭圆于两个不同点 P， Q，求证：直线 斜率之和为定值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由题意可知 2c=2， c=1，离心率 e= ，求得 a=2，则 b2=，即可求得椭圆的方程： （ 2）则直线 方程： y=k（ x ） ，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线 斜率，即可证明直线 率之和为定值 【解答】 解：（ 1）由题意可知：椭圆 + =l （ a b 0），焦点在 x 轴上， 2c=1，c=1， 椭圆的离心率 e= = ，则 a= ， b2=， 则椭圆的标准方程： ； （ 2）证明：设 P（ Q（ A（ ， 0）， 由题意 方程： y=k（ x ） ， 则 ，整理得：（ 2） 4 k） x+4k+2=0， 由韦达定理可知： x1+， ， 则 y1+y2=k（ x1+ 2 k 2 = ， 则 + = ， 由 k（ ） k（ ） k+ ）（ x1+ ， = =1， 直线 斜率之和为定值 1 19己知函数 f（ x） =（ x+l） ax+a （ a 为正实数，且为常数） （ 1）若 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增，求 a 的取值范围； （ 2）若不等式（ x 1） f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数 f（ x）的导数，问题转化为 a +1 在（ 0， + ）恒成立，（ a 0），令 g（ x） =+1，（ x 0），根据函数的单调性求出 a 的范围即可； （ 2）问题转化为（ x 1） （ x+1） a 0 恒成立，通过讨论 x 的范围，结合函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =（ x+l） ax+a， f（ x） =+1 a， 若 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增， 则 a +1 在（ 0， + ）恒成立，（ a 0）， 令 g（ x） =+1，（ x 0）， g（ x） = ， 令 g（ x） 0，解得： x 1，令 g（ x） 0，解得： 0 x 1， 故 g（ x）在（ 0， 1）递减，在（ 1， + ）递增， 故 g（ x） g（ 1） =2， 故 0 a 2； （ 2）若不等式（ x 1） f（ x） 0 恒成立， 即（ x 1） （ x+1） a 0 恒成立， x 1 时，只需 a （ x+1） 成立， 令 m（ x） =（ x+1） x 1）， 则 m（ x） =+1， 由（ 1）得： m（ x） 2， 故 m（ x）在 1， + ）递增， m（ x） m（ 1） =0， 故 a 0，而 a 为正实数，故 a 0 不合题意； 0 x 1 时，只需 a （ x+1） 令 n（ x） =（ x+1） 0 x 1）， 则 n（ x） =+1，由（ 1） n（ x）在（ 0， 1）递减， 故 n（ x） n（ 1） =2， 故 n（ x）在（ 0， 1）递增，故 n（ x） n（ 1） =0， 故 a 0，而 a 为正实数，故 a 0 20己知 n 为正整数 ，数列 足 0， 4（ n+1） 2=0，设数列 足 （ 1）求证：数列 为等比数列； （ 2）若数列 等差数列，求实数 t 的值： （ 3）若数列 等差数列，前 n 项和为 任意的 n N*，均存在 m N*，使得 86立，求满足条件的所有整数 值 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ 1）数列 足 0， 4（ n+1） 2=0，化为： =2 ，即可证明 （ 2）由（ 1）可得： = ，可得 =n 4n 1数列 足 ，可得 用数列 等差数列即可得出 t （ 3）根据（ 2）的结果分情况讨论 t 的值，化简 86可得出 【解答】 （ 1）证明：数列 足 0， 4（ n+1） 2=0， = ，即 =2 ， 数列 是以 首项，以 2 为公比的等比数列 （ 2）解：由（ 1）可得： = ， =n 4n 1 ， ， ， ， 数列 等差数列 ， 2 = + ， = + ， 化为： 16t=8，解得 t=12 或 4 （ 3）解：数列 等差数列，由（ 2）可得： t=12 或 4 t=12 时， = ， ， 对任意的 n N*，均存在 m N*，使得 86立， 6 ， = ， n=1 时，化为： = 0，无解，舍去 t=4 时， = ， ， 对任意的 n N*，均存在 m N*，使得 86立， 6 ， n =4m， 正整数， = k， k N* 满足条件的所有整数 值为 a1| ， n N*， m N*，且 = k， kN* 四 ， B， C， D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分 A.选修 4 一 1：几何证明选讲 21如图，圆 O 的直径 ， C 为圆周上一点， ，过 C 作圆的切线 l，过 A作 l 的垂线 别与直线 l、圆交于点 D、 E求 度数与线段 长 【考点】 弦切角 【分析】 连接 证得三角形 等边三角形，从而得到 0，再在直角三角形 得到 大小；考虑到直角三角形 ，利用角的关系即可求得边 长 【解答】 解：如图，连接 B=， 因此 0，由于 所以 0，又 0； 又因为 0， 得 0，那么 0， 从而 0， 于是 选修 4阵与变换 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 = ，并且矩 阵M 对应的变换将点（ 1， 2）变换成（ 2， 4） （ 1）求矩阵 M； （ 2）求矩阵 M 的另一个特征值 【考点】 特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换 【分析】 （ 1）先设矩阵 A= ，这里 a， b， c， d R，由二阶矩阵 M 有特征值=8 及对应的一个特征向量 矩阵 M 对应的变换将点（ 1， 2）换成（ 2，4）得到关于 a， b， c， d 的方程组，即可求得矩阵 M； （ 2）由（ 1）知，矩阵 M 的特征多项式为 f（ ） =（ 6）（ 4） 8=2 10+16，从而求得另一个特征值为 2 【解答】 解：（ 1）设矩阵 A= ，这里 a， b， c， d R， 则 =8 = ， 故 ， 由于矩阵 M 对应的变换将点（ 1， 2）换成（ 2， 4） 则 = ， 故 联立以上两方程组解得 a=6， b=2， c=4， d=4，故 M= （ 2）由（ 1）知，矩阵 M 的特征多项式为 f（ ） =（ 6）（ 4） 8=2 10+16， 故矩阵 M 的另一个特征值为 2 选修 4标系与参数方程 23已知圆 圆 极坐标方程分别为 =2， （ 1）把圆 圆 极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程 【考点】 简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程 【分析】 （ 1）先利用三角函数的差角公式展开圆 极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 x， y， 2=x2+行代换即得圆 直角坐标方程及圆 角坐标方程 （ 2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可 【解答】 解：（ 1） =22=4，所以 x2+；因为 ， 所以 ，所以 x2+2x 2y 2=0 （ 2）将两圆的直角坐标方程相 减，得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1 化为极坐标方程为 ，即 选修 4等式选讲 24已知 a， b， c 为正数，且 a+b+c=3，求 + + 的最大值 【考点】 二维形式的柯西不等式 【分析】 利用柯西不等式，结合 a+b