重庆市2017届中考数学一轮复习《4.8正方形》讲解含答案

12999 数学网 12999 数学网 第八节 正方形 课标呈现 指引方向 1理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系 2探索并证明正方形的性质定理：正方形具有矩形和菱形的一切性质， 考点梳理 夯实基础 1正方形： 正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，它具有四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的性质，即： 边：它的四条边 _； 角：它的四个角 _； 对角线：它的对角线 _，并且每一条对角线平分 _； 面积：它的面积等于 _或 _； 对称性：它的对称轴是 _. 正方形的判定 判定 1：先证矩形，再证菱形，则证得正方形 判定 2：先证菱形，再证矩形，则证得正方形 【答案】 相等；为直角；互相垂直平分且相等，每一组对角；两对角线乘积的一半，边长的平方；对边中点所在的直线和对角线所在的直线 2中点四边形： 顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 _； 顺次连接矩形四边中点所得四边形是 _； 顺次连接菱形四边中点所得四边形是 _； 由此猜想：顺次连接 _的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连接 _的四边形四边中点所得四边形是菱形即新四边形的形状与原四边形的 _有关。 【答案】 平行四边形；菱形；矩形；对角线垂直，对角线相等，对角线 . 考点精析 专项突破 考点一 中点四边形 【例 1】 (2016德州 )如图 1，四边形 E， F， G， B， 证：中点四边形 如图 2，点 形 满足 E， F， G， B， 想中点四边形 证明你的猜想： 若改变中的条件，使 90 ，其他条件不变，直接写出中点四边形 (不必证明 ) 12999 数学网 12999 数学网 解题点拨 ：如图 1中，连接 据三角形中位线定理只要证明 四边形 证明 到 证明 四边形 ，只要证明 90 ，利用 可证明 90 ，再根据平行线的性质即可证明 【答案】解 ：证明：如图 1中，连接 点 E， B， 12 点 F， C， 12 中点四边形 四边形 证明：如图 2中，连接 在 点 E， F， B， 12G 12 四边形 四边形 四边形 证 明：如图 2中，设 ， 90 , C 90 ， 四边形 四边形 考点二 正方形的性质与判定 【例 2】 (2016呼和浩 特 )如图，面积为 24的正方形 一个小正方形 中 E、 F、B、 62 ，则小正方形的周长为 ( ) 12999 数学网 12999 数学网 8 6 2 3 【答案】 C 解题点拨 ：先利用勾股定理求出 根据 【例 3】 (2016攀枝花 )如图，正方形纸片 角线 ，折叠正方形纸片 重合，展开后折痕 B、 、 G，连结 出下列结论： ； 2； S S 四边形 2若 S 1则正方形 4 2，其中正确的结论个数为 ( ) A 2 B 3 C 4 答案】 B 解题点拨 ：由四边形 可得 45 ，又由折叠的性质，可求得 由 得 2 由 得 由折叠的性质与平行线的性质及计算角的度数，易得 可证得 G 易证得四边形 等腰直角三角形的性质，即可得 2 根据四边形 可知 由 45 , 90 可得出 S 1求出 而可得出 ，利用正方形的面积公式可得出结论 【例 4】 (2015庆阳 )如图，在正方形 线 ，交 且 当 2时，求 求证： 12999 数学网 12999 数学网 解题点拨 ：首先根据 B:C， 从而求得 12即可求得 S 取 ，连接 据已知及正方形的性质利用 而得到 【答案】 解： 2，点 1， C C, 即： 2： 1 1： 得： 12， S 1212 1 12 14； 证明：取 ，连接 1 90 ， 2 90 1 2 45 ,且 45 , 135 , 课堂训练 当堂检测 1若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是 ( ) A矩形 B等腰梯形 C对角线相等的四边形 D对角线互相垂直 【答案】 C 2已知四边形 四边形，再从 90 ， 两个作为补充条件后，使得四边形 有下列四种选法，其中错误的是 ( ) A选 B选 C选 D选 【答案】 B 3 (2016齐齐哈尔 )有一面积为 5 3的等腰三角形，它的一个内角是 30 ， 12999 数学网 12999 数学网 边的正方形的面积为 _ 【答案】 20 3和 20 4如图，在正方形 点 F ，连接 求证： 当 2时，求 【答案】 解：证明：如图，连接 在 t L), 45 2， 22 2 2 2 2 过点 H ，则 22 22 (2 2 2) 2 2， 2 (2 2) 2， 在 ( 2)2 (2 2)2 8 4 2. 12999 数学网 12999 数学网 中考达标 模拟自测 一、选择题 1正方形的一条对角线长为 4，则这个正方形的面积是 ( ) A 8 B 4 2 C 8 2 D 16 【答案】 A 2正方形 正方形 顺时针方向旋转 180后， ) A.(2,0) B.(3,0) C.(2， 1) D.(2,1) 【答案】 B 3 (2015崇左 )下列命题是假命题的是 ( ) A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B对角线互相垂直的矩形是正方形 C对角线相等的菱形是正方形 D对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】 D 4 (2016广东 )如图，正方形 l，则以相邻两边中点连接 正方形 ) A 2 B 2 2 C 2 1 D 2 2 1 【答案】 B 二、填空题 5如图， ，连接 BE， 12999 数学网 12999 数学网 _ 【答案】 45 6学校的一块菱形花园两对角线的长分别是 6m，则这个花园的面积为 _ 【答案】 24如图，在正方形 连接 3， 2则 答案】 5 三、解答题 8 (2016无锡 )已知，如图，正方形 F连接 证： 【答案】 证明：四边形 C 90 , 180 90 . 在 12999 数学网 12999 数学网 C 9 (2016哈尔滨 )已知 ： 如图 ， 在正方形 点 ， 求证： 在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 【答案】 解：正方形 90 ， 即 90 , 90 , Q,， 90 , 提高练习 10 (2015年深圳 )如图，已知正方形 2， 正方形边 F，延长 ，连接 在有如下 4个结论： 2 S 725 在以上 4个结论中，正确的有 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 12999 数学网 12999 数学网 【答案】 C (提示：由折叠和正 方形的性质可 知， C 90 ， A90 又 L)故结论正确正方形 2， 6设 x，则 x 6， 12 x，在 勾股定理，得 (x 6)2 62 (12 x)2，解得， x 4， 4， 8， 2结 论正确 6， 知 故结论错误 S 1212 6 8 24， S S 610 24 确综上所述， 4个结论中，正确的有三个故选 C ) 11 (2015河 南 )如图，正 方形 3，点 、 处，若 恰为等腰三角形，则 长为 _ 【答案】 16或 4 5 (提示：如答图 1，若 等腰三 角形，则 16；如答图 2，若 ，过点 B 作 ，交 ，则 8 3， 135由翻折可知 13，在 勾股定理可求 B N 12， B M 4，在B D B 42 82 4 5.如答图 3，若 时，点 重合，与已知不符综上所述，若 恰为等腰三角形，则 的长为 16或 4 5 ) 12 (2016广东 )如图， 2，边 通过平移得到的线段记为 接 过点 O 足为 O，连接 请直接写出线段 边形 请判断 加以证明； 在平移变换过程中，设 y S x(0 x 2)，求 y与 求出 12999 数学网 12999 数学网 【答案】 解：四边形 由如下： 四边形 45 , 45 ， 45 , 90 ， 如图，过 E 如