2017年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1已知集合 A=x|x 1 0， B=x N|x 4，则（ B=（ ） A 0 B 1， 2， 3 C 1 D 1， 2 2已知复数 z（ 1+4i） =2i 5（ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ） A B i C D 3已知两个随机变量 x， y 之间的相关关系如表所示： x 4 2 1 2 4 y 5 3 1 根据上述数据得到的回归方程为 = x+ ，则大致可以判断（ ） A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 4已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 5），若（ 2 + ） ，则 的坐标可以是（ ） A（ 2， 3） B（ 2， 3） C（ 4， 4） D（ 4， 4） 5已知等差数列 前 n 项和为 2 2 =256，则 值为（ ） A 64 B 36 C 72 D 24 6执行如图所示的程序框图，则输出的 i 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 7某几何体的 三视图如图所示，该几何体的体积为 3，则 x 的值为（ ） A B C 1 D 8已知过点（ 2， 0）的直线与圆 O： x2+4x=0 相切与点 P（ P 在第一象限内），则过点 P 且与直线 x y=0 垂直的直线 l 的方程为（ ） A x+ y 2=0 B x+ y 4=0 C x+y 2=0 D x+ y 6=0 9已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的图象如图所示，其中 A（ ， 0）， B（ ， 0），则函数 f（ x）的单调增区间为（ ） A + + k Z） B + + k Z） C +2 +2 k Z） D +2 +2 k Z） 10如图所示，三棱锥 P ， 平面 ， A=2，则该几何体外接球的表面积为（ ） A 4 B 9 C 12 D 36 11已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 于双曲线 C 的一条渐近线的对称点 A 在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 12已知函数 f（ x） =（ m 2x） x， x （ 1， e有两个零点，则实数 m 的最大值为（ ） A 3 3e C 6 6e 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13如图所示，已知长方形 ， 为等边三角形， F、 H、 G 在 ， I、 E、 J 在 ，连接 D，则向长方形 投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为 14已知实数 x， y 满足 则 z=3x+y 的最大值为 15已知关于 x 的不等式 a 0 且 a 1）对任意的 x （ 1，100）恒成立，则实数 a 的取值范围为 16已知数列 足 （ 1） i+1 = ，则数列 通项公式 三、解答题 17（ 12 分）已知在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 a、 b、c 成等比数列， c= （ ）求 B 的大小； （ ）若 b=2 ，求 周长和面积 18（ 12 分）已知四棱锥 P 底面 平行四边形， 平面B=， ，点 E 是线段 靠近 B 点的三等分点，点F、 G 分别在线段 （ ）证明： （ ）若三棱锥 E 体积为 ，求 的值 19（ 12 分）每年的 4 月 23 日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各 20 人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图 男生年阅读量的频率分布表（年阅读量均在区间 0， 60内）： 本 /年 0， 10） 10，20） 20，30） 30，40） 40，50） 50，60 频数 3 1 8 4 2 2 （ ）根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数； （ ）在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在 20， 30）， 30， 40）的两组里抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求 30， 40）这一组中至少有1 人被抽中的概率； （ ）若年阅读量不小于 40 本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列 2 2 列联表，并判断是否有 99%的把握认为月底丰富与性别有关 性别 阅 读量 丰富 不丰富 合计 男 女 合计 P（ K2 ： ，其中 n=a+b+c+d 20（ 12 分）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过点（ 1，），椭圆 C 的右焦点为 A，点 B 的坐标为（ ， 0） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知纵坐标不同的两点 P， Q 为椭圆 C 上的两个点，且 B、 P、 Q 三点共线，线段 中点为 R，求直线 斜率的取值范围 21（ 12 分）已 知函数 f（ x） =+2x， x 2， e （ ）若 m= 1，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若对任意的 m 0， 1，关于 x 的不等式 f（ x） （ n+2） x 恒成立，求实数 n 的取值范围 选修 4坐标与参数方程 22（ 10 分）已知平面直角坐标系中，曲线 参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =2 （ ）求曲线 极坐标方程与曲线 直角坐标方程； （ ）若直线 = （ R）与曲线 于 P， Q 两点，求 |长度 选修 4等式选讲 23（ 10 分）已知函数 f（ x） =|3x 4| （ ）记函数 g（ x） =f（ x） +|x+2| 4，在下列坐标系中作出函数 g（ x）的图象，并根据图象求出函数 g（ x）的最小值； （ ）记不等式 f（ x） 5 的解集为 M，若 p， q M，且 |p+q+ ，求实数的取值范围 2017 年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1已知集合 A=x|x 1 0， B=x N|x 4，则（ B=（ ） A 0 B 1， 2， 3 C 1 D 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 先分别求出集合 A， B，由此求出 而能求出（ B 【解答】 解： 集合 A=x|x 1 0=x|x 1， B=x N|x 4=0， 1， 2， 3， x|x 1， （ B=1， 2， 3 故选： B 【点评】 本题考查交集、补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用 2已知复数 z（ 1+4i） =2i 5（ i 为虚数单位） ，则复数 z 的虚部为（ ） A B i C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： z（ 1+4i） =2i 5， ， 复数 z 的虚部为 故选： C 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3已知两个随机变量 x， y 之间的相关关系如表所示： x 4 2 1 2 4 y 5 3 1 根据上述数据得到的回归方程为 = x+ ，则大致可以判断（ ） A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 【考点】 线性回归方程 【分析】 利用公式求出 ， ，即可得出结论 【解答】 解：样本平均数 = = = = 0， = 0， 故选： C 【点评】 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题 4已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 5），若（ 2 + ） ，则 的坐标可以是（ ） A（ 2， 3） B（ 2， 3） C（ 4， 4） D（ 4， 4） 【考点】 数 量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 （ 2 + ） ，可得（ 2 + ） =0，即 x=y即可得出 【解答】 解： 2 + =（ 1， 1），设 =（ x， y）， （ 2 + ） ， （ 2 + ） = x+y=0，即 x=y 只有 D 满足上述条件 故选： D 【点评】 本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5已知等差数列 前 n 项和为 2 2 =256，则 值为（ ） A 64 B 36 C 72 D 24 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析 】 2 2 =256，可得 a2+由等差数列的性质可得： a1+a9=a2+利用求和公式即可得出 【解答】 解： 2 2 =256， a2+ 由等差数列的性质可得： a1+a9=a2+ 则 =9 4=36 故选： B 【点评】 本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6执行如图所示的程序框图，则输出的 i 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出 的 i 值 【解答】 解：模拟执行程序的运行过程，如下； S=1， i=1， S 30； S=2， i=2， S 30； S=4， i=3， S 30； S=8， i=4， S 30； S=16， i=5， S 30； S=32， i=6， S 30； 终止循环，输出 i=6 故选： B 【点评】 本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法 7某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 3，则 x 的值为（ ） A B C 1 D 【考点】 构成空间几何体的基本元素 【分析】 由题意，直观图为以 俯视图为底面的四棱锥，利用体积为 3，建立方程，即可求出 x 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 ， 直 观 图 为 以 俯 视 图 为 底 面 的 四 棱 锥 ， 体 积= =3， x= ， 故选： D 【点评】 本题考查三视图，考查体积的计算，正确求体积是关键 8已知过点（ 2， 0）的直线与圆 O： x2+4x=0 相切与点 P（ P 在第一象限内），则过点 P 且与直线 x y=0 垂直的直线 l 的方程为（ ） A x+ y 2=0 B x+ y 4=0 C x+y 2=0 D x+ y 6=0 【考点】 圆的切线方程 【分析】 求出 P 的坐标，设直线 l 的方程 为 x+ y+c=0，代入 P，求出 c，即可求出直线 l 的方程 【解答】 解：由题意，切线的倾斜角为 30， P（ 1， ） 设直线 l 的方程为 x+ y+c=0，代入 P，可得 c= 4， 直线 l 的方程为 x+ y 4=0， 故选 B 【点评】 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题 9已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的图象如图所示，其中 A（ ， 0）， B（ ， 0），则函数 f（ x）的单调增区间为（ ） A + + k Z） B + + k Z） C +2 +2 k Z） D +2 +2 k Z） 【考点】 正弦函数的单调性；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 通过图象，求解出 f（ x）的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； 【解答】 解：由图象可知，最高点为 2，最低点为 2，可得 A=2， 图象过 A（ ， 0）， B（ ， 0）， 接的距离是半个周期 T= ，即 T= =2 函数 f（ x）的 解析式为 f（ x） =22x+） 将 B 点代入，可得： 2+） =0 得： =k Z | = 或 ， 取 = ， 故得函数 f（ x）的解析式为 f（ x） =22x ） 由 2k 2x ， k Z 解得： x ， k Z 故选 A 【点评】 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，解得三角函数解析式是解决本题的关键属于基础题 10如图所示，三棱锥 P ， 平面 ， A=2，则该几 何体外接球的表面积为（ ） A 4 B 9 C 12 D 36 【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体 【分析】 根据题意，证出 平面 三棱锥 P 外接球直径利用勾股定理结合题中数据算出 外接球半径，从而得到所求外接球的表面积 【解答】 解： 平面 平面 得 ，在 得 取 中点 O，则 B=P= 三棱锥 P 外接球直径； 几何体外接球的表 面积 4 故选： B 【点评】 本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题 11已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 于双曲线 C 的一条渐近线的对称点 A 在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x，对称点为 F（ m， n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1， 求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x， 对称点为 F（ m， n）， 即有 = ， 且 n= ， 解得 m= ， n= ， 将 F（ ， ），即（ ， ）， 代入双曲线的方程可得 =1， 化简可得 4=1，即有 ， 解得 e= 故选： D 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题 12已 知函数 f（ x） =（ m 2x） x， x （ 1， e有两个零点，则实数 m 的最大值为（ ） A 3 3e C 6 6e 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 令 f（ x） =0 得 m 2x= ，借助函数图象得出 m 的最值 【解答】 解：令 f（ x） =0 得 m 2x= ， 令 g（ x） = （ 1 x e）， 则 g（ x） = 0， g（ x）在（ 1， e上单调递减， 作出 y=m 2x 和 y=g（ x）的函数图象，则两图象有 2 个交点， 当直线 y=m 2x 经过点（ e， e）时， m 取得最大值 3e 故选 B 【点 评】 本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13如图所示，已知长方形 ， 为等边三角形， F、 H、 G 在 ， I、 E、 J 在 ，连接 D，则向长方形 投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率计算公式，设 ， D=x， 根据勾股定理求出 x 的值，由对称性求出阴影面积， 计算所求的概率值 【解答】 解：长方形 ，设 ， D=x， 2x， 由勾股定理得（ 1 x） 2+12=（ 2 2x） 2， 解得 x=1 ， ； 由对称性知， S 阴影 = S 矩形 F= 1= ； 该点落在阴影区域内的概率为 P= = = 故答案为： 【点评】 本题考查了几何概型的概率计算问题，解题的关键是计算阴影部分的面积，是基础题 14已知实数 x， y 满足 则 z=3x+y 的最大值为 48 【考点】 简单线性规划 【分析】 根 据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值 【解答】 解：满足约束条件实数 x， y 满足 可行域如下图中阴影部分所示： 则 z=3x+y，经过 A 时，目标函数取得最大值， 由 ，解得 A（ 14， 6） 2+6=48， 故 Z=3x+y 的最大值是 48， 故答案为： 48 【点评】 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解 15已知关于 x 的不等式 a 0 且 a 1）对任意的 x （ 1，100）恒成立，则实数 a 的取值范围为 （ 0， 1） （ ， + ） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 问题转化为 ， x （ 1， 100），令 h（ x） =， x（ 1， 100），求出 h（ x）的值域，从而求出 a 的范围即可 【解答】 解： ， x （ 1， 100）， 令 h（ x） =， x （ 1， 100）， 则 0， 故 h（ x） 2 =4， 当且仅当 时 “=”成立， 而 h（ 100） =2， 而 x1 时， ， h（ x） + ， 故 h（ x） 4， + ）， 故 4， 0 a 1 时， 0，成立， a 1 时， 0， 只需 ，即 a 即可， 综上： a （ 0， 1） （ ， + ）， 故答案为：（ 0， 1） （ ， + ） 【点评】 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的性质，是一道中档题 16已知数列 足 （ 1） i+1 = ，则数列 通项公式 【考点】 数列 的求和 【分析】 n=1 时， = ，可得 n 2 时， （ 1） i+1 = ， （1） i = ，相减可得：（ 1） n = ，可得 【解答】 解： n=1 时， = ， n 2 时， （ 1） i+1 = ， （ 1） i = ，相减可得：（ 1）n = ，可得 1） n 故答案为： 【点评】 本题考查了等数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题 17（ 12 分）（ 2017内蒙古模拟）已知在 ，角 A， B， C 所对的边分别 是 a， b， c，且 a、 b、 c 成等比数列， c= （ ）求 B 的大小； （ ）若 b=2 ，求 周长和面积 【考点】 正弦定理；三角形中的几何计算 【分析】 （ ）根据题意，由正弦定理可得 而变形可得 1= 正弦的和差公式可得 1=2B ），即可得B 的值，计算可得 B 的值，即可得答案； （ ）由余弦定理可得（ a+c） 2 32，又由 a、 b、 c 成等比数列，进而可以变形为 12=（ a+c） 2 36，解可得 a+c=4 ，进而计算可得 周长 l=a+b+c，由面积公式 S 算可得 面积 【解答】 解：（ ）根据题意，若 c= 由正弦定理可得 又由 0，则有 1= 即 1=2B ）， 则有 B = 或 B = ，即 B= 或 （舍） 故 B= ； （ ）已知 b=2 ，则 b2=a2+2a2+ a+c） 2 32， 又由 a、 b、 c 成等比数列，即 b2= 则有 12=（ a+c） 2 36，解可得 a+c=4 ， 所以 周长 l=a+b+c=2 +4 =6 ， 面积 S 【点评】 本题考查正弦、余弦定理的应用，关键利用三角函数的恒等变形正确求出 B 的值 18（ 12 分）（ 2017汉中一模）已知四棱锥 P 底面 平行四边形， 平面 B=， ，点 E 是线段 靠近 F、 G 分别在线段 （ ）证明： （ ）若三棱锥 E 体积为 ，求 的值 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ ）推导出 而 平面 此能证明 （ ）设点 F 到平面 距离为 d，由 = ，能求出 d，由此能求出 的值 【解答】 证明：（ ） 棱锥 P 底面 平行四边形，B=， ， 平面 面 ， 平面 面 解：（ ）设点 F 到平面 距离为 d， ， 由 = ， 解得 d= ， = 【点评】 本题考查线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 19（ 12 分）（ 2017汉中一模）每年的 4 月 23 日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各 20 人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图 男生年阅读量的频率分布表（年阅读量均在区间 0， 60内）： 本 /年 0， 10） 10，20） 20，30） 30，40） 40，50） 50，60 频数 3 1 8 4 2 2 （ ）根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数； （ ）在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在 20， 30）， 30， 40）的两组里抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求 30， 40）这一组中至少有1 人被抽中的概率； （ ）若年阅读量不小于 40 本为阅读丰富， 否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列 2 2 列联表，并判断是否有 99%的把握认为月底丰富与性别有关 性别 阅读量 丰富 不丰富 合计 男 女 合计 P（ ： ，其中 n=a+b+c+d 【考点】 独立性检验 【分析】 （ ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数； （ ）确定基本事件的个数，即可求 30， 40）这一组中至少有 1 人被抽中的概率； （ ）根据所给数据得出 2 2 列联表，求出 可判断是否有 99%的把握认为月底丰富与性别有关 【解答】 解：（ ）前三组频率之和为 中位数位于第三组，设中位数为 a，则 = ， a=38， 估计该校女生年阅读量的中位数为 38； （ ）利用分层抽样的方法，从男生年与度量在 20， 30）， 30， 40）的两组里抽取 6 人，从这 6 人中随机抽取 2 人，共有方法 =15 种，各组分别为 4 人， 2人， 30， 40）这一组中至少有 1 人被抽中的概率 1 = ； （ ） 性别 阅读量 丰富 不丰富 合计 男 4 16 20 女 9 11 20 合计 13 27 40 没有 99%的把握认为月底丰富与性别有关 【点评】 本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017汉中一模）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过点（ 1， ），椭圆 C 的右焦点为 A，点 B 的坐标为（ ， 0） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知纵 坐标不同的两点 P， Q 为椭圆 C 上的两个点，且 B、 P、 Q 三点共线，线段 中点为 R，求直线 斜率的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由椭圆的离心率为 ，且过点（ 1， ），列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）依题意直线 点（ ， 0），且斜率不为 0，设其方程为 x=，联立 ，得 4（ 3） 245=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线 斜率的取值范围 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过点（1， ）， ，解得 a=2， b= ， 椭圆 C 的方程为 （ ）依题意直线 点（ ， 0），且斜率不为 0， 故可设其方程为 x=， 联立 ，消去 x，得 4（ 3） 245=0， 设点 P（ Q（ R（ 直线 斜率为 k， 故 ， ， ， k= ， 当 m=0 时， k=0， 当 m 0 时， k= ，故 |4m+ |=4|m|+ ， 0 ， 0 |k| ， ，且 k 0， 综上所述，直线 斜率的取值范 围是 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题 21（ 12 分）（ 2017汉中一模）已知函数 f（ x） =+2x， x 2， e （ ）若 m= 1，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若对任意的 m 0， 1，关于 x 的不等式 f（ x） （ n+2） x 恒成立，求实数 n 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单 调区间即可； （ ）问题转化为 0，令 g（ m） = 已知得只需 g（ 1） 0，得到 n + ，令 h（ x） = + ，（ x 2， e），根据函数的单调性求出 n 的范围即可 【解答】 解：（ ）由题意得： f（ x） = +2x， f（ x） = 0 在 2， e恒成立， 故函数 f（ x）在 2， e上递增，无递减区间； （ ）若 f（ x） （ n+2） x，则 +2x （ n+2） x，则 0， 令 g（ m） = 已知得只需 g（ 1） 0 即 0， 若对任意 x 2， e， 0 恒成立， 即 n + ， 令 h（ x） = + ，（ x 2， e），则 h（ x） = ， 设 m（ x） =x 2， x 2， e， 则 m（ x） =1（ 1+= 0， 故 m（ x）在 2， e递减， m（ x） m（ 2） = 20，即 h（ x） 0， h（ x）在 2， e递减， h（ x） h（ 2） =