广西南宁市2017届高三第二次适应性考试数学理试卷含答案

2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷（理科） 一、选择题 1已知集合 | 3 1 0A x x ， 2| 6 1 0B x x x ,则 A. 11 , 32B. C. 1( , )3D. 132复数 11( R)a在复平面内对应的点在第一象限，则 a 的取值范围是 A. 0a B. 10 a C. 1a D. 1a 3若椭圆 C： 12222 0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A. 21B. 33C. 22D. 424在 中，53B， 65 ，则角 C 的正弦值为 A. 2524B. 2516C. 259D. 2575如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A. 31B. 32C. 1 D. 436已知向量 ），（ 01a ， ），（ 21b ，向量 c 在 a 方向上的投影为 2. 若 c /b ，则 c 的大小为 A. 2 B. 5 C. 4 D. 52 7执行如图的程序框图，输出的 S 的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 8若以函数 0s 图像中相邻三个最值点为 顶点的 三角形是面积为 1的直角三角形，则 的值为 B. 2 C. D. 2 开始 A=1， S=0 A 9 输出 S A=A+1 结束 S=S+A 是 否 第 7 题图 9已知底面是边长为 2的正方形的四棱锥 中，四棱锥的侧棱长都为 4,E 是 异面直线 成角的余弦值为 A. 64B. ,m i n , , ,a a a b 设 2 1( ) = m i n , f x 由函数 ()图像与 x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为 A. 712B. 512C. 1+1+数11( ) 33是 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 12设实数 , 同时满足关系 : ,8 1622222 则实数 e 的最大值为 B. 516C. 3 D. 25【 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分 . 把答案填答题卷相应题中横线上 . 13设变量 满足约束条件 22344 ,则目标函数 2z y x 的最大值是 14若锐角 , 满足54，32) ，则 15. 过动点 M 作圆 : 222 2 1 （ ） （ ）的切线 其中 N 为切点，若| (O 为坐标原点 )，则 |最小值是 . 16定义在 R 上的函数 ()如果存在函数 ()g x ax b， (,常数），使得( ) ( )f x g x 对一切实数 x 都成立，则称 ()函数 ()给出如下命题 : 函数 ( ) 2 是函数 l n , 0 ,()1 , 0 的一个承托函数 ; 函数 ( ) 1g x x是函数 ( ) s x x x 的一个承托函数 ; 若函数 ()g x 是函数 ()一个承托函数 ,则 a 的取值范围是 0,e ; 值域是 R 的函数 () 其中正确的命题的个数为 . 三解答题：本大题共 6小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知数列n 项和 *2 ,2 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）记数列11的前 n 项和为证： 16. 18 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店 1 月份中 5 天的日销售量 y （单位：千克）与该地当日最低气温 x （单位： C ）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （ 1）求出 y 与 x 的回归方程 y b x a ； （ 2） 判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关；若该地 1月份某天的最低气温为 6C ，请用所求回归方程预测该店当日的 销售量 ； （ 3）设该地 1 月份的日最低气温 X 2( , )N ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s ，求 ( 3 3 . 附 : 回归方程 y b x a 中 , 1221()()y n x n x,a y b x . 10 若 X 2( , )N ,则 ( ) 0 . 6 8 2 6 , ( 2 2 ) 0 . 9 5 4 4 . 19 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱 1111- ，= =1D ， ,3 0， 31 （ 1）若 的点且满足 1 , 求证 : 平面 平面 （ 2）求二面角1C C D 20. (本小题满分 12分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知椭圆11,0)F ,1过点(4,0)M 的直线 l 与抛物线 2C 分别相交于 ,中点 A 在第四象限内） . (1)若 | | 4 | |M B ,求直线 l 的方程 ; (2)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线2直线 l 与椭圆1求椭圆1 21. (本小题满分 12分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） ， 1)(. （ 1）讨论函数 )()()( 的单调性； （ 2）若 0)()( 定义域内恒成立，求实数 a 的取值范围 . 22. （本小题满 分 10 分） 选修 4标系与参数方程 已知圆 ，以极点为原点、极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中 0 ， 0, 2 ) 4且经过坐标原点的直线 相交于点 A(.(1)求点 (2)设直线 m 过线段 ,且直线 m 交圆 ,求 | | | |M B M C 的最大值 . 23. （本小题满分 10 分） 选修 4等式选讲 （ 1）解不等式 4|3|1| （ 2）若 满足 （ 1）中不等式，求证： 2 | | | 2 2 |a b a b a b . 2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷（理科） 答案与 评分标准 一、选择题 1 B 2 A 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 C 9 A 11 D 12 B 解： 将题设条件变形为 22222 16,8 ， 代入由柯西不等式得如下不等式2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( )a b c d a b c d 有 )16(4)8( 22 ，解这个一元二次不等式，得 56 数 e 取得最大值 空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分 . 把答案填答题卷相应题中横线上 . 13 14 1417615. 82716 2 三解答题：本大题共 6小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 解：（ 1） 第一类解法： 当 n=1时，1 3a. 当 2n 时1 .222 ( 1 ) 2 ( 1 )n n n n . 21n.而1 3a也满足21. 数列2 .第二类解法： 1 .222 ( 1 ) 2 ( 1 )n n n n . 21n. 数列 . 第三类解法： 113. 2 2 1a S S=-. 12 .共 3分 第四类解法： 由 2可知.且1 3a，2 1 2 1 32d a a S S= - = - - =. 数列 .（ 2） 12 111( 2 1 ) ( 2 3 )a n n .1 1 1()2 2 1 2 3. 则 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) . . . . . . . ( ) 2 3 5 5 7 2 1 2 3nT . 1 1 1()2 3 2 3n .116 4 6n . 18 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 附 : 回归方程 y b x a 中 , 1221()()y n x n x,a y b x . 10 若 X 2( , )N ,则 ( ) 0 . 6 8 2 6 , ( 2 2 ) 0 . 9 5 4 4 . 解： 【提示：本题第（ 1）、（ 2）问与第（ 3）问没有太多关系，考生第（ 1）、（ 2）问做不对，第（ 3）问也可能做对，请老师们留意】 (1) 令5n ,11 3 5 7,5 11 4 5 95 ,.【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给 1分】 1( ) 2 8 7 5 7 9 2 8 .n y n x y .2 2 21( ) 2 9 5 5 7 5 0 .n n x . 28 0 50b .【说明： 2分至 4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给 1分】 9 ( 0 . 5 6 ) 7 1 2 . 9 2 .a y b x （或者：32325 ） . 所求的回归方程是0 . 5 6 1 2 . 9 2 .(2) 由 b 知 y 与 x 之间是负相关， . 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这 1分】 将 6x 代入 回归方程可预测该店当日的 销售量 0 . 5 6 6 1 2 . 9 2 9 . 5 6y (千克 ) （或者： 23925） . 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这 1 分】 (3)由 (1)知 7x ，又由2 2 21 ( 2 7 )5s 22( 5 7 ) ( 8 7 ) 22( 9 7 ) (1 1 7 ) 10, 得 .【说明：此处要求考生算对方差才能给这 1分】 从而( 3 . 8 1 3 . 4 ) ( 2 ) .() ( 2 ) 1 ()2 1 ( 2 2 )2 . 【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这 1分】 .【说明：此处是结论分 1分，必须正确才给】 19 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 解 :(1) 解法 (一 ): 60, ,3,1 90, 2. .有这一步扣一分） 以 D 为原点， x 轴， y 轴， 1 z 轴，建立空间直角坐标系 . .设 连接1.C 平面 ,3 11C D C B. D 的中点 ,1.），（ 430,1E , 33( , , 0)44M , )33,0(1 ，C , 13 3 3( , , 3 )44 , 3(1, 0 , )4 . . . 13 3 3 31 0 3 04 4 4M C D E , 1 .（证得1 行） 交于 D, 1 平面 1 , 平面 平面 . 解法 (二 ): 设 D 的中点 ,连接 C ., ,C 线 . 1 平面 C 平面 1 的平面角 .60, ,3,1 90, 13,22M A M C=.正确计算出才给这 1分 ) 1 , 31 17 2 1, C M4 分 (至少算出一个 ) 191,4. 2 2 211C E C M E M,即 1 二面角 1 的平面角为直角 . 平面 平面.解法 (三 ): 60, ,3,1 90, 2 以 D 为原点， x 轴， y 轴， 1 z 轴，建立空间直角坐标系 . .设 连接 C , ,C 线 . .平面 C 平面 1 1二面角 1 的平面角 .则 ），（430,1E， )33,0(1 ，C , 33( , , 0)44M.至少正 确写出一个点的坐标 ) 1 3 3( , , )4 4 4,13 3 3( , , 3 )44 . 11 3 3 3 3 3( ) ( ) 3 04 4 4 4 4M E M C . 1 1 90 , 二面角 1 的平面角为直角 ,平面 平面 .解法四 : 连结 111点为 O 和 N ，如图 . 60, ,3,1 90, 2以 O 为原点， x 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 . . 则 O 是 中点 . C 平面 ,3 是 11C D C B . O 是 中点 , 1 . 13, 24E （ 0，） , 3( , 0 0)2B ， ,1 3(0, 3)2C ，1 3( 0 , , 3 )2,3 1 3( , , )2 2 4 . 13 3 1 30 ( ) 3 02 2 2 4O C B E , 1 . 交于 O, 1 平面 1 , 平面 平面.(2) 解法一 : (若第 1问已经建系 ) (1,0,0)A ， 平面 1 (1, 0, 0)是平面 1一个法向量 .33,22B（ ， 0）,1 (0, 3 3)C ， 33( , , 0 )22，1 ( 0 , 3 3 ) ，设平面 法向量是 ( , , )m x y z ,则10,0m C ， 330223 3 0 ， 取 1,x 得 3 , 3 法量(1 , 3 , 3 )m .【另解：由（ 1）知当1 3A E ， 平面 则平面 法向量是 1 3 3( , , )4 4 4】 c o s , | | | |D A m D A m .77 由图可知二面角 1C C D .解法二 : (第 1问未建系 ) 60, ,3,1 90, 2以 D 为原点， x 轴， y 轴， 1 z 轴，建立空间直角坐标系 . . (1,0,0)A , 平面 1 (1, 0, 0)是平面 1法向量 .33,22B（ ， 0）,1 (0, 3 3)C ， 33( , , 0 )22，1 ( 0 , 3 3 ) ，, 设平面 法向量是 ( , , )m x y z ,则10,0m C ， 330223 3 0 ， 取 1,x 得 3 , 3 法量(1 , 3 , 3 )m . c o s , | | | |D A m D A m .77 . 由图可知二面角 1C C D . 解法三 : (几何法 ) 设 过 F F,连接 图 .60, ,3 侧面 底面 侧面 . C C D .依题意可得 32, 64, 424. 二面角 1C C D .20. (本小题满分 12分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 解：（ 1）解法一 :由题意得抛物线方程为2 4.设直线 l 的方程为4x .令 211( , ),422( , ),4 0y | 4 | |M B ,得214.联立 2 4,4,可得 2 4 1 6 0y m y , 1221121 6 ,4,4y m 解得y ,2 8y ,. 32m. 直线 l 的方程为2 3 8 0 .解法二 : 由题意得抛物线方程为2 4.设直线 l 的方程为( 4)y k x.令 211( , ),422( , ),4 0y | 4 | |M B ,得214.联立 2 4,( 4)k x 可得 2 4 1 6 0k y y k ,1221124,4,16 解得1 2y ,2 8y ,. 23k. 直线 l 的方程为2 3 8 0 .解法三 : 由题意得抛物线方程为2 4.设直线 l 的方程为( 4)y k x.令11( , ),A x y 22( , ),B x , 由 | | 4 | |M B , 得212 0 4 , 0x x k .联立 2 4,( 4)k x 可得 2 2 2 2( 8 4 ) 1 6 0k x k x k ,212 2211284,2 0 4 ,16 解得1 1x,2 16x ,. . 直线 l 的方程为2 3 8 0 . 第一问得分点分析：（ 1）求出抛物线方程，得 1分。 （ 2）设出直线 l 方程，得 1分 （ 3）求出 A， 12 420 ）或纵坐标关系（214），得 1分 （ 4）联立方程组，求出纵坐标（1 2y ，2 8y ）或横坐标（1 1x 2 16x ），得 1分 （ 5）求出待定的字母，得 1分 （ 6）下结论，写对直线 l 方程，得 1分。（若学生得两种结果，不得分） (2)设00( , )P x y,直线 : 4,l x 点 P 在抛物线2 直线 l 的斜率存在 , 7 分 ,O P 关于直线 :4l x 对称 ,所以00004,221 1, 0 28 ,18 ,1 .故2288( , )11mP 代入抛物线 2C : 2 4,可得1 1,m 2 1m .直线 l 的方程为 4 或4 .设椭圆 为 2211,( 1) . 联立直线和椭圆 ,消去 x 整理得 22( 2 1 ) 8 ( 1 ) 1 7 1 6 0 0, 226 4 ( 1 ) 4 ( 2 1 ) ( 1 7 1 6 ) 0 . 解得172 .则 2 17,2a 即 342a. 椭圆1.第二问得分点分析： （ 1）点 2分，若点 过程，过程无论对错，得 1分 （ 2）利用对称关系，得到点 1分。、 （ 3）将点 出待定字母，得 1分。 （ 4）写出直线方程，得 1分。 （ 5）由直线与椭圆有公共点，得椭圆方程中待定字母的范围，得 1分 （ 6）求出长轴长的最小值，得 1分 (另外 :若设直线方程为 ( 4)y k x,则 22288( , )11代入抛物线 2C : 2 4,得1,k 直线 l 的方程为 ( 4) 21. (本小题满分 12分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 解：（ 1） 1)()(,( 0)x . 211()F x - +. 若 0a 时， 0)( 则 )()()( 在 ），（ 0 上是增函数 . 若 0a 时，则 )()()( 在 ），（a 110 上是增函数 . )()()( 在 ），（ a 11 上是减函数 .（说明：（ 1） )(),( 别求导正确没 有作差也给 1分求导分， （ 2）忘记讨论 0a 且 0a 单调性正确，不扣分，这 1分也给。） （ 2）若 0)()( 定义域内恒成立 ,考虑以下情形 : 当 0)( 0)( 时恒成立时， 由x ，恒成立 .得：1. 由 01,0)( a . 1. 当 0)( 0)( 时恒成立时， a 不存在； . 当 0a 时， 为增函数， 1)(为减函数 , .若它们有共同零点，则 0)()( 成立 . 由 0 01)( 立方程组解得： .综上： 1 .22. （本小题满分 10 分） 选修 4标系与参数