四川省资阳市2017届高考数学模拟试卷(理科)(4月)含答案解析

2017 年四川省资阳市高考数学模拟试卷（理科）（ 4 月份） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=R，集合 A=x|2x 3 0， B=x|x 1 0，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A x|x 1 或 x 3 B x|x 1 或 x 3 C x|x 1 D x|x 1 2已知等差数列 前项和为 0，则 ） A 6 B 7 C 8 D 9 3已知 i 为虚数单位， 若复数 z=1+（ 1+a） i（其中 a R）为纯虚数，则 =（ ） A B C D 4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为 2 的正方形；俯视图是边长为 2 的正方形及其外接圆则该几何体的体积为（ ） A B C D 5双曲线 E： =1（ a 0， b 0）的一个焦点 F 到 E 的渐近线的距离为 ，则 E 的离心率是（ ） A B C 2 D 3 6将编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六个小球放入编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ） A 40 B 60 C 80 D 100 7已知 数是一个求余函数，记 m， n）表示 m 除以 n 的余数，例如 8， 3） =2如图是某个算法的程序框图，若输入 m 的值为 48 时，则输出 i 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 8已知函数 ，其中 0若 对 x R 恒成立，则 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 10 D 16 9已知 0 c 1， a b 1，下列不等式成立的 是（ ） A C 0正方形 等边三角形 公共边 20，则 平面 成角的大小为（ ） A B C D 11过抛物线 x 的焦点 F 作互相垂直的弦 点 A， B， C， D 所构成四边形的面积的最小值为（ ） A 16 B 32 C 48 D 64 12如图，在直角梯形 ， ， C=1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 ，且 点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动若 =x +y ，其中 x， y R，则 4x y 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式 的展开式中，常数项是 14已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），且 P（ 0 X 2） = P（ X 4） = 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？ ”意思 是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 日（结果保留一位小数，参考数据： 16已知函数 f（ x） =（ x 2） +k 是常数， e 是自然对数的底数，e=）在区间（ 0， 2）内存在两个极值点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 （ ） 求角 A 的大小； （ ） 若 b+c=2，求 a 的取值范围 18（ 12 分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托 “互联网 +”，符合 “低碳出行 ”的理念，已越来越多地引起了人们的关注某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100 人根据其满意度评分值（百分制）按照 50， 60）， 60， 70）， ， 90，100分成 5 组，制成如图所示频率分直方图 （ ） 求图中 x 的值； （ ） 已知满意度评分值在 90， 100内的男生数与女生数的比为 2： 1，若在满意度评分值为 90， 100的人中随机抽取 4 人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 19（ 12 分）如图，在三棱柱 ，底面 等边三角形，侧面 正方形，且 平面 D 为线段 的一点 （ ） 若 平面 定 D 的位置，并说明理由； （ ） 在（ ）的条件下，求二面角 C 余弦值 20（ 12 分）如图，在平面直角坐标系 ，椭圆 ：的离心率为 ，直线 l： y=2 上的点和椭圆 上的点的距离的最小值为 1 （ ） 求椭圆 的方程； （ ） 已知椭圆 的上顶点为 A，点 B， C 是 上的不同于 A 的两点，且点 B，C 关于原点对称，直线 别交直线 l 于点 E， F记直线 斜率分别为 求证： k1定值； 求 面积的最小值 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =x+1） +中 a R （ ） 当 a= 1 时，求证： f（ x） 0； （ ） 对任意 0 ， 存 在 x （ 1 ， + ），使成立，求 a 的取值范围（其中 e 是自然对数的底数， e=） 请考生在 22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4标系与参数方程 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ 10 分）已知在平面直角坐标系中，曲线 参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 =2 （ ） 求曲线 点的平面直角坐标； （ ） 点 A， B 分别在曲线 ，当 |大时，求 面积（ 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23已知函数 f（ x） =|x+1| （ ） 解不等式 f（ x+8） 10 f（ x）； （ ） 若 |x| 1， |y| 1，求证： f（ y） |x|f（ ） 2017 年四川省资阳市高考数学模拟试卷（理科）（ 4 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=R，集合 A=x|2x 3 0， B=x|x 1 0，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A x|x 1 或 x 3 B x|x 1 或 x 3 C x|x 1 D x|x 1 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 由阴影部分表示的集合为 U（ A B），然后根据集合的运算即可 【解答】 解：由图象可知阴影部分对应的集合为 U（ A B）， 由 2x 3 0 得 1 x 3， 即 A=（ 1， 3）， B=x|x 1， A B=（ 1， + ）， 则 U（ A B） =（ ， 1， 故选 D 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，利用 确定集合的关系是解决 本题的关键 2已知等差数列 前项和为 0，则 ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的前 n 项和公式及其性质即可得出 【解答】 解：由等差数列的前 n 项和公式及其性质可得： 0= =5 解得 故选： A 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 3已知 i 为虚数单位，若复数 z=1+（ 1+a） i（其中 a R）为纯虚数，则 =（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知求得 a 值，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： z=1+（ 1+a） i 为纯虚数， ，解得： a=1 z=2i， 则 = = 故选： B 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为 2 的正方形；俯视图是边长为 2 的正方形及其外接圆则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为 的半球，由此计算体积 【解答】 解：由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为 的半球， 所以几何体的体积为 2 2 2+ =8+ 故选 C 【点评】 本题考查了组合体的三视图以及体积的计算；关键是明确几何体的形状，由体积公式计算 5双曲线 E： =1（ a 0， b 0）的一个焦点 F 到 E 的渐近线的距离为 ，则 E 的离心率是（ ） A B C 2 D 3 【考点 】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点 F 到渐近线 的距离为 b，结合题意可得 b= ，由双曲线的几何性质可得 c= =2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案 【解答】 解：根据题意，双曲线 E： =1 的焦点在 x 轴上，则其渐近线方程为 y= x，即 ， 设 F（ c， 0）， F 到渐近线 的距离 d= = =b， 又由双曲线 E： =1 的一个焦点 F 到 E 的渐近线的距离为 ， 则 b= ， c= =2a， 故双曲线的离心 率 e= =2； 故选： C 【点评】 本题考查双曲线的几何性质，注意 “双曲线的焦点到其渐近线的距离为b” 6将编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六个小球放入编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ） A 40 B 60 C 80 D 100 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，分 2 步进行分析： 、在六个盒子中任选 3 个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目， 、假设剩下的 3 个盒子的编号为4、 5、 6，依次分析 4、 5、 6 号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同， 在六个盒子中任选 3 个，放入与其编号相同的小球，有 0 种选法， 剩下的 3 个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这 3 个盒子的编号为 4、5、 6， 则 4 号小球可以放进 5、 6 号盒子，有 2 种选法， 剩下的 2 个小球放进剩下的 2 个盒子，有 1 种情况， 则不同的放法总数是 20 2 1=40； 故选： A 【点评】 本题考查排列、组合的综合应用，关键是编号与放入的小球编号不相 同的情况数目的分析 7已知 数是一个求余函数，记 m， n）表示 m 除以 n 的余数，例如 8， 3） =2如图是某个算法的程序框图，若输入 m 的值为 48 时，则输出 i 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，根据题意，依次计算 m， n）的值，由题意 N*，从而得解 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得： n=2， i=0， m=48， 满足条件 n 48，满足条件 48， 2） =0， i=1， n=3， 满足条件 n 48，满足条件 48， 3） =0， i=2， n=4， 满足条件 n 48，满足条件 48， 4） =0， i=3， n=5， 满足条件 n 48，不满足条件 48， 5） =0， n=6， N*，可得： 2， 3， 4， 6， 8， 12， 16， 24， 48， 共要循环 9 次，故 i=9 故选： C 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的m， n）的值是解题的关键 8已知函数 ，其中 0若 对 x R 恒成立，则 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 10 D 16 【考点】 正弦函数的图 象 【分析】 由题意根据正弦函数的最大值，正弦函数的图象的对称性，可得 + =2， k Z，由此求得 的最小值 【解答】 解： 函数 ，其中 0若 对 x + =2， k Z，即 =24k+4，故 的最小值为 4， 故选： B 【点评】 本题主要考查正弦函数的最大值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题 9已知 0 c 1， a b 1，下列不等式成立的是（ ） A C 考点】 命题的真假判断与应用；不等式 的基本性质 【分析】 根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得结论 【解答】 解： 0 c 1， a b 1， 故 A 不成立； 故 b（ a c） a（ b c），即 ，故 B 不成立； 1 1， 0，故 C 不成立； 0，故 D 成立， 故选： D 【点评】 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，指数函数，对数函数，幂函数的单 调性，难度中档 10正方形 等边三角形 公共边 20，则 平面 成角的大小为（ ） A B C D 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 如图所示， 平面 平面 成角，设 a，求出 a，即可求出 平面 成角 【解答】 解：如图所示， 平面 则 平面 成角， 设 a，则 a， OF=a， a， ， 0 ， 故选 C 【点评】 本题考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键 11过抛物线 x 的焦点 F 作互相垂直的弦 点 A， B， C， D 所构成四边形的面积的最小值为（ ） A 16 B 32 C 48 D 64 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线 方程为 y=k（ x 1），由 ，消去 y 得 2）x+ ， 由 弦 长 公 式 得 |， 以 换 k 得 |， 故 所 求 面 积 为S= |8（ +2）即可求最值 【解答】 解：设直线 斜率为 k（ k 0），则直线 斜率为 ， 直线 方程为 y=k（ x 1）， 由 ，消去 y 得 2） x+， ， 由 弦 长 公 式 得 | = = ， 以 换 k 得 |4， 相垂直 故所求面积为 S= |8（ +2） 8（ 2 ） 32（当 时取等号）， 即面积的最小值为 32故选： B 【点评】 题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查弦长的表达式的求 法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用，属于中档题 12如图，在直角梯形 ， ， C=1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 ，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动若 =x +y ，其中 x， y R，则 4x y 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 建立直角坐标系，写出点的坐标与圆的方程； 设出点 P 的坐标，求出三个向量坐标，将 P 的坐标代入圆的方程求出 4x y 的取值范围 【解答】 解：以 A 为坐标原点， x 轴， y 轴建立平面直角坐标系则 A（ 0， 0）， D（ 0， 1）， C（ 1， 1）， B（ 2， 0） 直线 方程为 x+2y 2=0， C 到 距离 d= ； 以点 C 为圆心，以 为半径的圆方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2= ， 设 P（ m， n）则 =（ m， n）， =（ 2， 0）， =（ 1， 1）； （ m， n） =（ 2x y， y） m=2x y， n=y， P 在圆内或圆上 （ 2x y 1） 2+（ y 1） 2 ， 设 4x y=t，则 y=4x t，代入上式整理得 80 48t+32） x+8 0， 设 f（ x） =80 48t+32） x+8， x ， ， 则 ， 解得 2 t 3+ ， 4x y 的取值范围是 2， 3+ 故选： B 【点评】 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数形结合应用问题，是综合题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式 的展开式中，常数项是 28 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用通项公式即可得出 【解答】 解：通项公式 = r =（ 1） r ， 令 8 =0，解得 r=6 常数项 = =28 故答案为： 28 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），且 P（ 0 X 2） = P（ X 4） = 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据随机变量 X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 P（ X 4） 【解答】 解： 随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 正态曲线的对称轴是 x=2 P（ 0 X 2） = P（ X 4） = 故答案为 【点评】 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？ ”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 （结果保留一位小数，参考数据： 【考点】 数列的应用 【分析】 设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 其 ，公比为 ，其前 n 项和为 （植物名）的长度组成等比数列 其 ，公比为 2，其前 n 项和为 用等比数列的前 n 项和公式及其对数的运算性质即可得出 【解答】 解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 其 ，公比为 ，其前 n 项和为 莞（植物名）的长度组成等比数列 其 ，公比为 2， 其前 n 项和为 ， ， 由题意可得： = ，化为： 2n+ =7， 解得 2n=6， 2n=1（舍去） n= =1+ 估计 蒲、莞长度相等， 故答案为： 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16已知函数 f（ x） =（ x 2） +k 是常数， e 是自然对数的底数，e=）在区间（ 0， 2）内存在两个极值点，则实数 k 的取值范围是 （ 1，e） （ e， 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 求出函数的导数，问题转化为 k=（ 0， 2）的交点问题，求出 k 的范围即可 【解答】 解： f（ x） =（ x 1） k（ x 1） =（ x 1）（ k）， 若 f（ x）在（ 0， 2）内存在两个极值点， 则 f（ x） =0 在（ 0， 2）有 2 个解， 令 f（ x） =0，解得： x=1 或 k= 而 y=0 x 2）的值域是（ 1， 故 k （ 1， e） （ e， 故答案为：（ 1， e） （ e， 【点评】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）（ 2017资阳模拟）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a，b， c，已知 （ ） 求角 A 的大小； （ ） 若 b+c=2，求 a 的取值范围 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得 ，由0 B+C ，可求 ，进而可求 A 的值 （ ）根据余弦定理，得 b 1） 2+3，又 b+c=2，可求范围 0 b 2，进而可求 a 的取值范围 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）由已知得 ，（ 2 分） 化简得 ， 整理得 ，即 ，（ 4 分） 由于 0 B+C ，则 ， 所以 （ 6 分） （ ）根据余弦 定理，得 （ 8 分） =b2+c2+ 2 b） 2+b（ 2 b） =2b+4 =（ b 1） 2+3（ 10 分） 又由 b+c=2，知 0 b 2，可得 3 4， 所以 a 的取值范围是 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017资阳模拟）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托 “互联网 +”，符合 “低碳出行 ”的理念，已越来越多地 引起了人们的关注某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分制）按照 50， 60）， 60，70）， ， 90， 100分成 5 组，制成如图所示频率分直方图 （ ） 求图中 x 的值； （ ） 已知满意度评分值在 90， 100内的男生数与女生数的比为 2： 1，若在满意度评分值为 90， 100的人中随机抽取 4 人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差； 频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）利用频率分布直方图的性质即可得出 （ 用超几何分布列的概率与数学期望计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）由（ x） 10=1，解得 x= 4分） （ ）满意度评分值在 90， 100内有 100 10=9 人， 其中男生 6 人，女生 3 人 则 X 的值可以为 0， 1， 2， 3. ， ， （ 9 分） 则 X 分布列如下： X 0 1 2 3 P （ 10 分） 所以 X 的期望 （ 12 分） 【点评】 本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017资阳模拟）如图，在三棱柱 ，底面 面 正方形，且 平面 D 为线段 的一点 （ ） 若 平面 定 D 的位置，并说明理由； （ ） 在（ ）的条件下，求二面角 C 余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ） D 为 中点，理由如下：连接 点 E，可知 中点，连接 用线面平行的性质定理、三角形中平行线的性质即可得出 （ ）不妨设 ，分别取 中点 O， 接 知两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系 O 用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系可得：平面 法向量 ，又平面 一个法向量 =（ 0， 0， 1），利用向量夹角公式即可得出 【解答】 解：（ ） D 为 中点，理由如下： 连接 点 E，可 知 E 为 中点，连接 因为 平面 平面 平面 E， 所以 故 D 为 中点（ 4 分） （ ）不妨设 ，分别取 中点 O， 接 知两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系 O 知 ， 则 ， ， 设面 法向量 m=（ x， y， z）， 由 得 令 x=1，得 一个法向量为 ， 又平面 一个法向量 n=（ 0， 0， 1）， 设二面角 C 平面角为 ， 则 即该二面 角的余弦值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查了线面垂直与平行的判定与性质定理、向量垂直与数量积的关系、平面法向量的应用、向量夹角公式、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017资阳模拟）如图，在平面直角坐标系 ，椭圆 ：的离心率为 ，直线 l： y=2 上的点和椭圆 上的点的距离的最小值为 1 （ ） 求椭圆 的方程； （ ） 已知椭圆 的上顶点为 A，点 B， C 是 上的不同于 A 的两点，且点 B，C 关于原点对称，直线 别交直线 l 于点 E， F记直线 斜率分别为 求证： k1定值； 求 面积的最小值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由题知 b=1，由 ， b=1，联立解出即可得出 （ ） 证法一：设 B（ 0），则 ，因为点 B， C 关于原点对称，则 C（ 利用斜率计算公式即可得出 证法二：直线 方程为 y=，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出 直线 方程为 y=，直线 方程为 y=，不妨设 0，则 0 ，令 y=2 ，得 ，可得 面积 【解答】 解：（ ）由题知 b=1，由 ， 所以 ， 故椭圆的方程为 （ 3 分） （ ） 证法一：设 B（ 0），则 ， 因为点 B， C 关于原点对称，则 C（ 所以 （ 6 分） 证法二：直线 方程为 y=， 由 得 ， 解得 ，同理 ， 因为 B， O， C 三点共线，则由 ， 整理得（ k1+ 2） =0， 所以 （ 6 分） 直线 方程为 y=，直线 方程为 y=，不妨设 0，则 0， 令 y=2，得 ， 而 ， 所以， 面积 = = （ 8 分） 由 得 ， 则 S ，当且仅当 取得等号， 所以 面积的最小值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、项斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21（ 12 分）（ 2017资阳模拟）已知函数 f（ x） =x+1） +中 a R （ ） 当 a= 1 时，求证： f（ x） 0； （ ） 对任意 0 ， 存 在 x （ 1 ， + ），使成立，求 a 的取值范围（其中 e 是自然对数的底数， e=） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可； （ ）令 ， 问 题 转 化 为 ，设，根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ ）证明：当 a= 1 时， f（ x） =x+1） x（ x 1）， 则 ，令 f（ x） =0，得 x=0 当 1 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）单调递增； 当 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）单调递减 故当 x=0 时，函数 f（ x）取得极大值，也为最大值， 所以 f（ x） f（ 0） =0， 所以， f（ x） 0，得证 （ ）不等式 ， 即为 而 = 令 故对任意 t e，存在 x （ 1， + ），使 恒成立， 所以 ， 设 ，则 ， 设 u（ t） =t 1 对于 t e 恒成立， 则 u（ t） =t 1 e， + ）上的增函数， 于是 u（ t） =t 1 u（ e） =e 2 0， 即 对于 t e 恒成立， 所以 为 e， + ）上的增函数， 所以 ； 设 p（ x） = f（ x） a，即 p（ x） = x+1） a， 当 a 0 时， p（ x）为