四川省遂宁市2017届高三第三次诊断考试数学试题（理）含答案

遂 宁 市 高中 2017 届 三 诊考试 数学 （理科） 试题 本试卷分第 择题）和第 选择题）两部分。总分 150分。考试时间 120分钟。 第卷 （选择题，满分 60分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1若集合 2 03 2 则 为 A 20 B 2,1 C 20 D 2,1,0 2复数3s o s ，则 z （其中 z 为复数 z 的共轭复数）在复平面内对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知向量 a ， b 的夹角为3，且 )4,3( a ， 2b ，则 A 61 B 61 C 212 D 7 4我国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器 三视图如下图所示（单位：寸），若 取 3，且图中的 x 为 寸）则其体积为 A 立方寸 B 方寸 C 方寸 D 方寸 5已知直线 02 圆心为 C 的圆 2214x y a 相交于 , 等边三角形，则实数 a A 4 15 B 13C 1 或 7 D 61 6某教育局体育股计划将足球、篮球、乒乓球 3 个项目的比赛安排在 4 个不同的学校举办，每个项目的比赛只能安排在一个学校进行，则在同一个学校比赛的项目不超过 2个的安排方案共有 A 60 种 B 42 种 C 36 种 D 24 种 7函数 ) 2,0,0( 示，则其在区间 2,3 上的单调递减区间是 A ,3 和 2,611 B 65,3 和 611,34 C 65,3 和 2,611 D ,3 和 611,34 8某程序框图如图所示，若该程序运行后输 出的值是611，则 整数 a 的值为 A 3a B 4a C 5a D 6a 9. 已知 43c o s s i ， 且 ,2 ，则 3 的值是 A10 334 B10 334 C10 433 D10 433 10. 如图，点 P 等可能分布在菱形 ，则 241 的概率是 A 12B 14C 16D 1811如图，已知双曲线 )0,0(12222 ，它关于原点的对称点为 B ，点 F 为双曲线的右焦点，且满足 ，设 且 6,12 ， 则该双曲线离心率 e 的取值范围为 A 32,3 B 13,2 C 32,2 D 13,3 12. 已知函数 x a x ， 在 1 ,22x 上有三个不同的极值点（ e 为自然对数的底数） ， 则 实数 a 的取值范围是 A , B ,2 C 0,e D )2, 第卷 （非选择题，满分 90分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2 试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题至第 21题为必考题，每个试题考生都作答；第 22、 23题为选考题，考生根据要求作 答。 二、填空题： 本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 在 62 1的展开式中， 3x 的系数是 14 设变量 , 2 02 2 010 ，则 11ys x 的取值范围是 15 已知在 ， 3 s i n 4 c o s 6 , 4 s i n 3 c o s 1A B B A ，则角 C 的大小为 16 已知函数 x ,1 e 是自然对数的底数若存在 12, 1,1 ,使得 12 1f x f x e ,则实数 a 的取值范围是 （参考公式： a a ） 三、解答题： 本大题共 5 小题， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 等比数列 21 2 3 2 62 3 1 , 9a a a a a . （ 1）求数列 （ 2）设 3 1 3 2 3l o g l o g . . . . . . l o a a a ，求数列的前 n 项和 18（本小题满分 12 分） 某市拟定 2017 年城市建设 ,项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对 ,项重点工程竞标成功的概率分别为 a ， b ， 14 ()已知三项工程都竞标成功的概率为 124，至少有一项工程竞标成功的概率为 34 （ 1）求 a 与 b 的值； （ 2）公司准备对该公司参加 ,个项目的竞标团队进行奖励， A 项目竞标成功奖励 2 万元， B 项目竞标成功奖励 4 万元， C 项目竞标成功奖励 6 万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望 19.（本小题满分 12 分） 已知平行四边形 ， ， 0， ， D 的中点沿 翻 折到 ，使得平面 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 D 的余弦 值 20（本小题满分 12 分） 已知抛物线 ： 2 2 ( 0 )y p x p的焦点为 F 。若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 相 交 于 , 点 ， 又 面积为 22 （ 1）求抛物线 的方程； （ 2）若点 P 是抛物线 上的动点，点 ,y 轴上 ,圆 2211()内切于 ,求 的面积的最小值 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 )( . （ 1）讨论 () （ 2）若 )()( ，当 0)( 成立时，求 a 的取值范围； （ 3）若存在11 0 ，2 0x ，使得12( ) ( ) 0f x f x，判断 21 与 0 的大小关系，并说明理由。 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22（本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 直角坐标系 原点和极坐标系 极点重合， x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同在直角坐标系下，曲线 C 的参数方程为 ( 为常数， 为参数 ) (1)当 1，在极坐标系 下，此时曲线 C 与射线4和射线4 分别交于两点，求 的面积； (2)当 2,1 ，又在直角坐标系下，直线 l 的参数方程为133 t 为参数），求 此时曲线 C 与直线 l 的交点坐标 23（本小题满分 10 分） 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 )( ， 2)( . （ 1）当 3,2,1 ，解方程 40； （ 2）当 1,1 ，若对任意1都存在2使得21( ) ( )g x f x成立，求实数 a 的取值范围 遂 宁 市 高中 2017 届 三 诊考试 数学 （理科） 试题参考答案及评分意见 一、选择题 （ 12 5=60分 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C D A B C A D B B 二、填空题 （ 4 5=20 分） 13. 20 14. 1,2215. 616. ,e 三、 解答题： 本大题共 6 小题，共 70 分 17（本小题满分 12 分） 【解析】（ 1）设数列 q ，由 24236223 99 ，所以912 q，由条件可知 031q； 2分 由 132132 1121 所以31 a， 4 分 故数列 (31 6 分 （ 2）2 )1()21(l 2313 )111(21 9分 12)1113121211(2)1()1()1( 21 n 数列前 n 项和 2n n 12分 18（本小题满分 12 分） 解 ：（ 1） 由题意得114 2 4131 (1 ) (1 ) (1 )44 ， 因为 ， 解得1213 4分 （ 2）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量 X ，则 X 的值可以为 0， 2， 4， 6，8， 10， 12 5分 而41433221)0( 1 2 3 1( 2 )2 3 4 4 ； 1 1 3 1( 4 ) 2 3 4 8 ； 1 2 1 1 1 3 5( 6 ) 2 3 4 2 3 4 2 4 ； 1 2 1 1( 8 ) 2 3 4 1 2 ； 1 1 1 1( 1 0 ) 2 3 4 2 4 ； 1 1 1 1( 1 2 ) 2 3 4 2 4 9分 所以 X 的分布列为： 4 6 8 10 12 P 41 41 81245 121 241 241 于是 1 1 1 5 1 1 1( ) 0 2 4 6 8 1 0 1 24 4 8 2 4 1 2 2 4 2 4 =236 12 分 19（本小题满分 12 分） 解： （ 1） 由题意可知 6C D ， 10 ，即 2 2 2B C C D B D，故 C D 2分 因为平面 平面 平面 平面 平面 ，所以 平面 5分 （ 2） 由 （ 1） 知 平面 且 D ， 以 ,D 所在直线分别为 , 建立如图所示的空间直角坐标系 D ， 则 (0,0,0)D ， (8,6,0)A ，(8,0,0)B ， (0,0,6)C 由于 D 的中点，所以 (4,3,0)E ， ( 8 , 0 , 0 ) 在平面 中， ( 4 , 3, 0 ) ， ( 8 , 0 , 6 ) ， 设 平面 的法向量为 ( , , )x y zn ，则 00 4 3 08 6 0 ，令 3x ，得 4, 4， 所以平面 的一个法向量为 (3, 4, 4)n 9分 而平面 一个法向量为(0 , 0 , 6 ) 10分 故 4 4 1c o s ,41| | | | 由图易知二面角 D 的平面角为锐角，所以二面角 D 的余弦值为4 4141 12 分 20（本小题满分 12 分） 【解析】（ 1）由题意得 ( ,0)2过点 F 且斜率为 1 的直线方程为2 联立方程得222，消去 x 并整理得： 2220p ， 设 1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，则 122y ， 212y y p 3 分 所以21 2 1 2 1 2 1 21 ( ) 42 2 4 4M O N y y y y y y y y 222224 又22 12222 22 0p ，故 得 1p 所以抛物线 的方程为 2 2 5 分 （ 2）设 0 0 0( , ) ( 0 ) , ( 0 , ) , ( 0 , )P x y x B b C c ，不妨设 ， 直线 方程为 00b ，化简得 0 0 0( ) 0y b x x y x b ， 又圆心 (1,0)到直线 距离为 1，故 0022( 1()y b x by b x ， 即 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0( ( 2 ) )(y b x y b x b y b x b ， 故 20 0 0( 2 ) 2 0x b y b x ， 不难发现 0 2x . 同理有 20 0 0( 2 ) 2 0x c y c x ， 8 分 所以 ,t 的一元二次方程 20 0 0( 2 ) 2 0x t y t x 的两个实数根， 则 00002 ,22c b ， 所以 222 2 20 0 0 0 020 0 02 4 ( 2 )( ) 4 ( ) 4()()2 2 2y x x y xb c b c b cx x x , 因为点 00( , )P x y 是抛物线 上的点，所以 2002， 则 22 0204()()2 ，又 0 2x ，所以 002 2 10 分 所以 200 0 00 0 01 4 4( ) 2 4 2 ( 2 ) 4 82 2 2 2b c x x xx x x ，当且仅当 0 4x 时取等号，此时0 22y . 所以 的面积的最小值为 8 12 分 21（本小题满分 12 分） 【解析】 因为 )( ，所以 1( ) l n ( )f x x a 且 0a （ 1）易知 ()()a ， 21() 1 1x a a 1 分 又 0a ，在区间 1( 0)a ，上， ( ) 0 ；在区间 (0 )， 上， ( ) 0 . 所以 ()( 0)a ，上是增函数，在 (0 )， 上是减函数 3 分 （ 2） 因为 0a ， ( ) ( )h x ax f x ，则 1( ) 2 l n ( )h x a x ， 由于12 ( )1 2( ) 211ax ah x ， 5 分 所以 在区间 11()2，上， ( ) 0 ；在区间 1()2a ，上， ( ) 0 . 故 ()()2h a，所以只需 1( ) 02h a，即 1 1 12 ( ) l n ( ) 022a a a a ，即 12a ，解得 故 a 的取值范围 是 e( , )2 . 8 分 （ 3） 21 与 0 的大小关系是120。 构造函数 1( ) ( ) ( ) ( 0 )g x f x f x ， 则 11( ) l n ( l n ( ) 2g x x x a ，1()1gx 2212221 1 ， 因为 1 0 ，所以 2210 x a ，2201， 221 1 0 ，222 21a ，则222 201a ，即 ( ) 0 ，所以函数 ()区间 1( 0)a ，上为减函数 . 因为11 0 ， 所以1( ) ( 0 ) 0g x g， 于是11( ) ( ) 0f x f x ，又1( ) 0则1( ) 0 2() () (0 )， 上 为 减 函 数 可 知21，即120 12 分 请考生在第 22、 23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22（本小题满分 10 分） 【解