四川省广元市2017届高考适应性统考(三诊)数学试题(理)含答案

广元市高 2014 级第三次高考适应性统考 数学试卷 (理工类 ) 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 04 2 ,若 ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A （ 0,4 B. )4,( C ),4 D ),4( 2. 欧拉公式 ix (i 为虚数单位 )是瑞士数学家欧拉发明的 ,将指数的定义域扩大到复数集 ,建立了三角函数和指数函数的联系 ,被誉为“数学中的天桥 ” 表示的复数的模为 ( ) A21B 1 C23D33. 已知某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积是 ( ) A 100 B 82 C. 96 D 112 4. 已知函数 )s )( A , , 为常数 , 0A , 0 , )的部分图像如图所示 ,则下列结论正确的是 ( ) A 函数 )(最小正周期为2B 直线12(象的一条对称轴 (区间 6,125 上单调递增 D. 将函数 )(图象向左平移3个单位 ,得到函数 )(图象 ,则 5. 对于四面体 ,有以下命题 :若 ,则 底面所成的角相等；若 , ,则点 A 在底面 的射影 是 的内心；四面体 的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体 的 6 条棱长都为 1,则它的内切球的表面积为6 ) A B C. D 6. 中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数， 三三数之余二 ，五五数之余三，问物几何？ ” 人们把此类题目称为 “ 中国剩余定理 ” ，若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ，则记为 )( ，例如 )3( 现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于 ( ) A 21 B 22 D 24 7. 若数列 . aa n 2，则n . ) A 2 2 B 2 C. 22 D )2(2 2 8. 某城市关系要好的 A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共 8 人， 分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一 辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 ( ) A 18 种 B 24 种 C. 36 种 D 48 种 9. 命题 p ：已知数列 满足 24 265 4，则22lo g 54 aa 题 q ：“ ， 1x ”的否定是“ ， 1x ” 、 、 、 中，正确命题的个数为 ( ) A 4 B 3 D 1 上的偶函数 )(满足 )()4( ，且 2,0x 时， s ，则方程 0 区间 0， 10上根的个数是（ ) A 20 B 19 D 17 11. 抛物线 )0(22 焦点为 F ，其准线经过双曲线 )0,0(12222 M 为这两条曲线的一个交点，且 ，则双曲线的离心率为 ( ) A 2 B 22 C. 2 12D 12 12. 已知函数 23 射线 l ： )1( 若射线 l 恒在函数)(图象的下方，则整数 k 的最大 值为 ( ) A 4 B 5 C. 6 D 7 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 6)12)(121( 的展开式中 x 的系数为 （用数字作答） x ， y 满足不等式组,03,01,0,0的最小值为 上随机抽取两个实数 a ， b ，则事件“直线 1圆 2)()( 22 生的概率为 点 A ， B ， C ， D 满足 2 0 动点 P ， M 满足 1 ，则 2 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 的对边，且 3)(3 222 . （）若 CB ，求 大小； （）若 2a ， 的面积22S且 ，求 b ， c . 18. 质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取 100 桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： （） 写出频率分布直方图（甲）中 a 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标的方差分别为 21S ， 22S ，试 比较 21S ， 22S 的大小（只要求写出答案）； （ ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一桶的质量指标大于 20； （ ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 Z 服从正态分布 ),( 2N 其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 22S ，设 X 表示从乙种食用油中随机抽取 10桶，其质量指标值位于（ 桶数，求 X 的 数 学期望 注： 同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 S 若 Z ),( 2N ，则 68 2( 19. 如图，四边形 梯形 矩形 面 90 ， ， M 是线段 的动点 . （）试确定点 M 的位置，使 /面 并说明理由； （）在（）的条件下，求平面 平面 成锐二面角的余弦值 . 20. 已知 中，角 A ， B ， C 所对的边 分别是 a ， b ， c ，且点 )01( ，A ， ）（ 0,1B ，动点 C 满足 c 为常数且 1 ），动点 C 的轨迹为曲线 E . （）试求曲线 E 的方程； （）当 3 时，过定点 ）（ 0,1B 的 直线与曲线 E 交于 P ， Q 两点， N 是曲线 E 上不同于 P ， Q 的动点，试求 面积的最大值 . 21. 已知函数 x c o ss ， co s)( ，其中 e 是自然常数 . （）判断函数 )(在 )2,0( 内零点的个数，并说明理由； （） 2,01 x， 2,02 x，使得不等式 )()( 21 成立，试求实数 m 的取值范围； （）若 1x ，求证： 0)()( 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 1C ： 是参数）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C ： 03 点 P 是曲线 1C 上的动点 . （）求点 P 到曲线 2C 的距离的最大值； （）若曲线3C：4交曲线 1C 于 A ， B 两点，求 1的面积 . 等式选讲 已知 )( ，其中 1a . （）当 2a 时，求不等式 44)( 解集； （）已知关于 x 的不等式 2)(2)2( 解集为 21 求 a 的值 . 数学 答案 （理） 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 15. 161116. 449三、解答题 ） 3)(3 222 ，312222 bc 31A，3 22A， CB ， co s2)s ， co 2 ， CC s ， 2C ； （） 面积22S，2223 2a ，由余弦定理可得3124 22 522 ，联立可得223b，22c. 18. 解：（） 015.0a ， 2221 . （）设事件 A ：在甲种食用油中随机抽取 1 桶，其质量指标不大于 20， 事件 B ：在乙种食用油中随机抽取 1 桶，其质量指标不大于 20， 事件 C ：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 桶，恰有一个桶的质量指标不大于 20，且另一个不大于 20， 则 )()()( )( （）计算得： x ，由条件得 )2, 从而 从乙种食用油中随机抽取 10 桶，其质量指标值位于（ 概率是 根据题意得 )0( 8 2 2 19. 解：（）当 M 是 段的中点时， /面 证明如下： 连接 交 N ，连接 由于 M 、 N 分别是 中点，所以 ， 由于 面 又 包含于平面 /面 （）方法一：过点 D 作平面 平面 交线 l ， /面 /AC l ， 过点 M 作 于 G ， 平面 面 ， 面 平面 面 面 过 G 作 于 ，连接 则直线 l 平面 ， 设 2则 1 G D s D A 121 则 531)52( 22 325352c o s G， 所求二面角的余弦值为32. 方法二： 平面 面 ， 面 可知 两垂直， 分别以 方向为 x ， y ， z 轴， 建立空间直角坐标系 . 设 2则 )101( ，M ， )240( ，F ， )101( ， )240( ， 设平面 法向量 ),(1 ， 则0011 0240 令 1y ，得平面 一个法向量 )2,1,2( n ， 取平面 法向量 )1,0,0(m ， 由321414 2,c o s 平面 平面 成锐二面角的余弦值为32. 20. 解：（）在 中，因为 2所以 2 定值），且 22 ， 所以动点 C 的轨迹 P 为椭圆（除去 A 、 B 与共线的两个点） . 设其标准方程为 )0(12222 以 12222 所以求曲线的轨迹方程为 112222 x ）， （）当 3 时，椭圆方程为 )3(12322 过定点 B 的直线与 x 轴重合时， 面积无最大值， 过定点 B 的直线不与 x 轴重合时 , 设 l 方程为： 1 ),( 11 ),( 22 若 0m ，因为 3x ，故此时 面积无最大值 . 根据椭圆的几何性质，不妨设 0m ， 联立方程组123122 去 x 整理得： 044)23(22 所以221221234234 2223 )1(34 . 因为当直线 l 与平行且与椭圆相切时，切点 N 到直线 l 的距离最大， 设切线 l ： )3( 联立12322 去 x 整理得 0624)23(222 nn m 由 3(4)4( 2)62)(2 22 解得 22 232 )3( n . 又点 N 到直线 l 的距离112 所以2223 )1(342121 P Q 222 23113211 ， 所以22222)23()1()1(12 2 23 代入得： )11()11(6 22 ， 令 )0,33(1 函数 )1)(1(6)( 22 ，则 )12()1(12)( 2 因为当 )21,33( 0)( 当 )0,21(0)( 所以 )( )21,33( 上是增函数，在 )0,21(上是减函数，所以881)21()(m a x 故212 面积最大值是429. 所以，当 l 的方程为 122 的面积最大，最大值为429. 21. 解：（）函数 )(在 )2,0( 上的零点的各数为 1， 理由如下： 因为 x c o ss ，所以 xx s o ss . 因为20 x，所以 0)( 所以函数 )( )2,0( 上是单调递增函数 . 因为 01)0( f ， 0)2( 2 根据函数零点存在性定理得 函数 )(在 )2,0( 上的零点的个数为 1. （）因为不等式 )()( 21 等价于 )()( 21 ， 所以 2,01 x， 2,02 x，使得不等式 )()( 21 成立，等价于 m a a )()( ，即m a a ()( . 当 2,0 0s o ss 故 )( 区间 2,0 上单调递增，所以 0x 时， )(得最小值 又 s s)( ，由于 1 x ， 0 22 所以 0)( 故 )(区间 2,0 上单调递增 . 因此， 0x 时， )(得最大值 2 . 所以 )2(1 m ，所以 12 m ， 所以实数 m 的取值范围是 21,( . （）当 0x 时，要证 0)()( 只要证 )()( ， 只要证 x ， 只要证 x co s)1()2(s ， 由于 02x ， 01x 只要证2 x . 下面证明 1x 时 ，不等式2 x 成立 . 令 )1(1)( 则22 )1()1()1()( 当 )0,1(x 时， 0)( )(单调递减； 当 ),0( x 时， 0)( )(单调递增 . 所以当且仅当 0x 时， )(得极小值也就是最小值为 1. 令2 其可看作点 )点 )0,2(B 连线的斜率， 所以直线 方程为： )2( 由于点 A 在圆 122 ，所以直线 圆 122 交或相切， 当直线 圆 122 切且切点在第二象限时， 当直线