湖北省襄阳市2017届高三第二次适应性考试(5月)数学试卷(理)含答案

2017 届襄阳高三年级第二次适应性考试 数学（理）试 题 命题人：李冲 审题人：肖计雄、张华齐 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1 设集合 1, 2, 3, 4U ， 2 | 5 4 0 A x N x x ，则 ） A 1,2 B 1,4 C 2,3 D 3,4 2 设 i 是虚数单位，复数1为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A B 1 C D 2 3 把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人分得一张，事件 “甲分得红牌 ”与 “乙分得红牌 ”是 ( ） A对立事件 B 互斥但不对立事件 C不可能事件 D以上均不对 4 设命题 :0, )x ，0 01 3x x；命题 q ： (2, )x ， 2 2 ，则下列命题为真的是（ ） A () B () C D () 5 已知等比数列 且3 5 412a , a , 则3546的值是 A 352B. 512 C. 512 D. 352 6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( ) A 10 C 7 已知椭圆 C： 1(a b 0)的离心率为32 。双曲线 1 的渐近线与椭圆 这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 ) 1 1 1 1 8 执行如图所示的程序框图，若输入 20x ，则输出的 y 的值为（ ） A 2 B C. 134D 529 若实数 ,| | 1，则 222x y x的最小值为（ ） A 12B 12C. 22D 2 12 10 将 5 名学生分到 A、 B、 C 三个宿舍，每个宿舍至少 1 人至多 2 人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（ ） A. 18 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 60 种 11 已知函数 的图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，且在 时取得最大值 2，若 ，且 ，则的值为（ ） A B2512C D252412 已知 , l x e g x x，若 f t g s ，则 取得最小值时， ) A () B 1( ,C 11( , )3 11( , )2空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 在角,知60 , 4 , 2 3b S ，则 a. 14 在 5(1 ) (1 2 ) 的展开式中， 4x 的系数为 （用数字作答） . 15 己 知三棱锥 A 所有顶点都在球 O 的球面上， 球 O 的直径，若该三棱锥的体积为 3 。 ， 3 ， 0，则球 O 的体积为 _. 16 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美 够将圆 O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 O 的一个 “太极函数 ” 对圆 22:1O x y的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； 函数 f x x是圆 22: 1 1O x y 的一个太极函数； 存在圆 O ，使得 11e 是圆 O 的太极函数； 直线 1 2 1 1 0m x m y 所对应的函数一定是圆 22 2: 2 1 0O x y R R 的太极函数； 所有正确说法的序号是 . 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 （ 12 分） 已知数列 n 项和为对任意正整数 n ，都有 3 24成立记2 （ 1）求数列 （ 2）设11n ，数列 n 项和为证： 1115 6 18 （ 12 分 ） 某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10 天两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70 元，且每卖出一件产品厂家再返利 2 元；乙厂家无固定返利，卖出 40 件以内（含 40 件）的产品，每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下： 甲 乙 8 9 9 8 9 9 3 8 9 9 2 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0 （ ）现从甲厂家试销的 10 天中抽取两天，求这两天的销售量都大于 40 的概率； （ ）若将频率视作概率，回答以下问题： （ ）记乙厂家的日返利额为 X（单位：元），求 （ ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由 19 （ 12 分） 如图 1，已知在菱形 ， 120B ， E 为 中点，现将四边形 起至 如图 2. （ 1）求证： （ 2）若二面角 的大小为32，求平面 平面 成锐二面角的余弦值 . 20 （ 12 分）已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的右焦点 ( 6,0)F ，过点 F 作平行于 所得的弦长为 2 。 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）过点 (1,0) 的直线 l 交椭圆 C 于 P、 Q 两点， N 点在直线 1x 上，若 是等边三角形，求直线 l 的方程。 21 （ 12分）已知函数 ),)( . （ 1）若 不存在极值点，求 的取值范围； （ 2）若 ，证明： 1s x . 请 考生在 22、 23 两题选一题作答 选修 4标系与参数方程 22 （ 10 分） 在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为22c o s 4 s i n 4 . （ 1）若4，求直线 l 的极坐标方程以及曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点，且 12，求直线 l 的斜率 . 选修 4等式选讲 23 （ 10 分） 已知 ( ) | 1 | | 2 |f x x x . （ 1）若不等式 2()f x a 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值的集合 T ； （ 2）设 , ，证明： 3 | | | 3 |m n m n . 第二次适应性考试数学（理科）参考答案 2 160 323 17、 （ 1）在 3 24中，令 1n 得1 8a. 因为对任意正整数 n ，都有 3 24成立， 2n 时，113 24， 得，1134n n na a a，所以1 4， 又1 0a，所以数列 a为首项， 4 为公比的等比数列，即 1 2 18 4 2 ，所以 212l o g 2 2 1 . . （ 2）由题意及（ 1）知 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 1 2 3nc n n n n ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 3 ( 2 3 )n nT n n n n . 由于，则1111 5 6 故1115 6 . 18、 解：（ ）记 “抽取的两天销售量都大于 40”为事件 A， 则 222101()45 . （ ）（ ）设乙产品的日销售量为 a，则 当 38a 时， 3 8 4 1 5 2X ； 当 39a 时， 3 9 4 1 5 6X ； 当 40a 时， 4 0 4 1 6 0X ； 当 41a 时， 4 0 4 1 6 1 6 6X ； 当 42a 时， 4 0 4 2 6 1 7 2X ； X 的所有可能取值为： 152,156,160,166,172， X 的分布列为 X 152 156 160 166 172 p 110151525110 . 1 1 1 2 11 5 2 1 5 6 1 6 0 1 6 6 1 7 2 1 6 21 0 5 5 5 1 0 .（ ）依题意，甲厂家的日平均销售量为： 3 8 0 . 2 3 9 0 . 4 4 0 0 . 2 4 1 0 . 1 4 2 0 . 1 3 9 . 5 ， 甲厂家的日平均返利额为： 7 0 3 9 1 4 9 元， 由（ ）得乙 厂家的日平均返利额为 162 元（ 149 元）， 推荐该商场选择乙厂家长期销售 . 19 证明： (1) 四边形 菱形 ,且 0120B ， 为正三角形， E 为 中点 ,D E A E D E B E D E 面 . （ 2）以点 E 为坐标原点，分别以线段 在直线为 x， y 轴，再以过点 E 且垂直于平面 向上的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示 . D E 面 ， 为二面角 一个平面角， 23 .设 =1 130 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , , , 3 , 0 , 022E A B D来源 :学 |科 |网 由 2B 得 3 , 1, 3H 330 , , , 3 , 2 , 322A B A H 设平 面 法向量为 ,n x y z ，则 33 0223 2 3 0y z 令 3y 得 1, 3 , 3n 一个法向量为 0, 0,1m 设平面 平面 成锐二面 角的大小为 ,则 3 1 3 3 1 3c o 1 3 . 所以平面 平 面 成锐二面角的 余弦值为 3 1313 . 20、 解： ( ) 设椭圆 c，则 c= 6 ，于是 由 12222 理得 y2=22a = 24得 y=， 22 2 2，解得 ，或 23（舍去），进而 ， 椭圆 2822 . ( )设 直线 1 )()( 2211 ， 联立直线与椭圆方程：，112822x 得： 072)4( 22 y1+22 t t， 72 t 于是482)( 22121 故线段 444( 22 t 设 )1( 0 ， 由 ，则 1 即 4414220 ，整理得4320 t )431( 2 t .又 等边三角形， 即 2243 ， . 即 474)42)(1(43)44()144( 22222222 tt 整理得22222 )4(8424)144( 即222222)4(8424)48( 解得102 t ， 10t ， 直线 l 的方程是 0110 .21 【解析】（ 1） 的定义域为 ，且 ， 设 ，则 . 当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增； 又 ， ，即 ， 所以 在 上恰有一个零点 ， 且当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 是 的极小值点，不合题意 . . . 当 ，即 时， ， 所以 ，所以 在 上恰有一个零点 ， 且当 时， ；当 时， ； 即 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 是 的极小值点，不合题意 的取值范围是 ； . （ 2）因为 ， ，所以 ， 要证明 ，只需证明 ， 当 时，因为 ，所以 成立； . 当 时，设 ，则 ， 设 ，则 ，因为 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，所以 ，即 ， 所以 在 上单调递增，所以 ，即， 综上，若 ，则 . 22、 解析】（ 1）依题意，直线 l ：2 ,22 ,2 ，可知直线 l 是过原点的直 线，故其极坐标方程为 ()42c o s 4 s i n 4 ，所以2 44. . （ 2）依题意，直线 ) R ； 设 M、 ，将 () R 代入曲线 C 的极坐标可得 22c o s 4 s i n 4 0 ，所以12 24 s o s ，12 24c o s ， 所以 21 2 1 2 1 2 244 c o ，故24 12 ，则2 1 ， 故直线 l 的斜率为 2 . . 23（ 1）由绝对值不等式的性质知， | 1 | | 2 | | ( 1 ) (