吉林省长春市2017届高三质量监测数学文科试题（四）含答案

长春市普通高中 2017 届高三质量监测（四） 数学（ 文 科） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 虚数单位，则 234i i i i A. 0 B. i C. 2i D. 1 | 2 4x x x 或 ， 1| 2 8则 A. |4 B. |4 C. |2 D. |2 2 1=2 - 1 , x - 1 ，则函数 A. 1, B. 1, C. 1 ,2 . 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为 A. 图 1 B. 图 2 C. 图 3 D. 图 3 63 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 圆术”思想设计的一个程序框图 序 ， 则 输 出 的 n 的 值 为 ： （ 参 考 数 据 ：3 1 . 7 3 2 , s i n 1 5 0 . 2 5 8 8 , s i n 7 . 5 0 . 1 3 0 5 ） A. 48 B. 36 C. 30 D. 24 c o s 2 s i n 2f x x x的图象向左平移8个单位后得到函数 下列说法中正确的是 A. 小值为 B. 小值为 C. 小值为 2 D. 小值为 2 该几何体的四个面中最大面的面积为 A. 4 B. 22 C. 26 1x的大致图象为 前 n 项和201720161 ，则使得 0 的 n 的最大值为 A. 2016 B. 2017 C. 4031 D. 4033 10. 球 面 上 有 A,B,C 三 点 ， 球 心 O 到平面 距 离 是 球 半 径 的 13，且2 2 ,A B A C B C，则球 O 的表面积是 A. 81 B. 9 C. 814 22: 1 0 , 0a 的两个焦点， P 是双曲线 C 上的一点，若126P F P F a，且12最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 A. 20 B. 20 C. 20 D. 20 12. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 足 222 , 0 , 12 , 1 , 0 ，且 252, 2xf x f x g x x ，则方程 f x g x 在区间 6,2 上的所有实根之和为 A. B. C. D. 、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 数列 足2 2 4 62 , 1 4a a a a ，则6a. 14. 已知实数 , 2 01 ，则 2z y x 的最 小值为 . 15. 若非零向量 ,a b a b ，则向量 , . 16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是 m 月 老师把 m 告诉了甲，把 n 告诉了乙，然后张老师列出了如下 10 个日期供选择： 2 月5 日， 2 月 7 日， 2 月 9 日， 5 月 5 日， 5 月 8 日， 8 月 4 日， 8 月 7 日， 9 月 4 日， 9 月 6 日，9 月 9 日 说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后说，“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问：张老师的生日是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 算过程 . 17.（本题满分 12 分） 如 图 ， 在 四 边 形 ，5 , 7 , 8 , 6 , B C A C C D B C C D （ 1）求 的大小； （ 2）求四边形 面积； 18.（本题满分 12 分） 某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为 6 个月， 12 个月， 18个月， 24 个月， 36 个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴 200 元、 300 元、 300元、 400 元、 400 元，从 2016 年享受此项政策的自主创业人员中抽取了 100 人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表： （ 1）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过 300 元的概率；（以上表中各种贷款期限的频率作为 2017 年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）； （ 2）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得的补贴之和不超 过 600 元的概率 . 19.（本题满分 12 分） 如图，四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，底面 菱形，1面 E 为1 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若，1 1,B点 C 到平面 距离为 22，求三棱锥C 的体积 . 20.（本题满分 12 分） 如图，在矩形 ， 4 , 2 ,A B A D O为 中点， ,D ,上的点，且直线 交点在椭圆 2 22: 1 0xE y 上 . （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设 R 为椭圆 E 的右顶点， T 为椭圆 E 的上顶点， M 为椭圆 E 第一象限部分上一点， ,求梯形 面积的最大值 . 21.（本题满分 12 分） 已知函数 12 l n 2 .f x a x a （ 1）当 2a 时，求函数 （ 2）当 0a 时，讨论 （ 3）若对任意的 123 , 2 , , 1, 3a x x ，恒有 12l n 3 2 l n 3m a f x f x 成立，求实数 m 的取值范围 . 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分 . 22.（本题满分 10 分）选修 4坐标与参数方程 在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1线22 2 c o s:2 s i （ 为参数） . 的极坐标方程为，曲线（为参数） . （ 1）求曲线1 （ 2）极坐标系中两点 1 0 2 0, , , 2 都在曲线1221211 的值 . 23.（本题满分 10 分）选修 4等式选讲 （ 1 ） 已 知 函 数 10f x x x a a ， 若 不 等 式 5的 解 集 为 | 2 3x x x 或 ，求 a 的值； （ 2）已知实数 ,a b c R，且 a b c m ，求证： 1 1 1 9 b a c c b m 长春市普通高中 2017 届高三质量监测（四） 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ） 1. A 2. D 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D 8. A 9. C 10. B 11. A 12. B 简答与提示： 1. 【命题意图】 本题考查复数的基本概念及运算 . 【试题解析】 A 由 2 1i 可知，原式 1 1 0 . 故选 A. 2. 【命题意图】 本题考查集合交运算 . 【试题解析】 D 由 | 2 4 A x x x 或 ， | 4B x x， 故 | 2 A B x x . 故选 D. 3. 【命题意图】 本题考查分段函数的图像与性质 . 【试题解析】 B 根据分段函数的 ()函数的值域为 ( 1, ) . 故选 B. 4. 【命题意图】 本题考查统计学中残差图的概念 . 【试题解析】 A 根据残差图显示的分布情况即可看出图 1 显示的残差分布集中，拟合度较好，故选 A. 5. 【命题意图】 本题依据中华传统文 化算法割圆术考查程序框图 . 【试题解析】 D 运行算法可获得结果 24，故选 D. 6. 【命题意图】 本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质 . 【试题解析】 C 由 ( ) c o s 2 s i n 2 2 c o s ( 2 )4f x x x x ，则( ) 2 c o s ( 2 ( ) ) 2 c o s ( 2 ) 2 s i n 28 4 2F x x x x . 故选 C. 7. 【命题意图】 本题考查三视图 . 【试题解析】 D 最大面积为 42. 故选 D. 8. 【命题意图】 本题考查函数图像辨析问题 . 【试题解析】 A 由对数函数图像可知 . 故选 A. 9. 【命题意图】 本题主要考查等差数列的相关性质 . 【试题解析】 C 由题意知 0d ， 2016 0a ， 2 0 1 6 2 0 1 7 0， 因此4 0 3 1 4 0 3 20 , 0. 故选 C. 10. 【命题意图】 本题主要考查球内的几何体的相关性质 . 【试题解析】 B 由题可知 直径，令 球的半径为 R ，则2 2 2( ) ( 2 )3，可得 32R ，则球的表面积为 249. 故选 B. 11. 【命题意图】 本题考查双曲线的定义 . 【试题解析】 A 不妨设 12| | | |F ，则 12| | | | 2| | | | 6P F P F P F a，则 1| | 4PF a ，2| | 2PF a ，且 12| | 2FF c ，即 2|最小边，即 12 30，则 12直角三角形，且 2 2 3，即渐近线方程为 2 ， 故选 A. 12. 【命题意图】 本题是考查函数的图像及性质 . 【试题解析】 B 由函数的图像 与周期性可知，所有交点的横坐标之和为 7 ，故所有实根之和为 7 . 故选 B. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 8 14. 2 15. 1416. 8 月 4 日 简答与提示： 13. 【命题意图】 本题考 查等比数列问题 . 【试题解析】由等比数列基本量运算可知 2 2q ，因此 6 8a . 14. 【命题意图】 本题考查线性规划的相关知识 . 【试题解析】由题意可先画出 可行域，再由目标函数的几何意义， 判断最优解为 (1,0) ， 故 z 的最小值为 2 . 15. 【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义 . 【试题解析】 由题意 2 2 2 2| | | | | | | | 2 a a b a b a b，则 12 即 | | | | c o s a b a b，故 1. 16. 【命题意图】 本题考查学生的逻辑推理能力 . 【试题解析】根据 甲说 “ 我不知道，但你一定也不知道 ” ， 可排除 5 月 5 日、 5 月 6 日、 9 月 4 日、 9 月 6 日、 9 月 9 日； 乙听了甲的话后，说 “ 本来我不知道，但现在我知道了 ” ， 可排除 2 月 7 日、 8 月 7 日；甲接着说 “ 哦，现在我也 知道了 ” ， 现在可以得知张老师生日为 8 月 4 日 . 三、解答题 17. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题考查解三角形的相关知识 . 【试题解析】 （ ） 由题意，在 ， 2 2 2 1c o A C B B A C ， （ 4 分） 则3. （ 6 分） （ ） 在 ， 2 2 2 11s i n c o 4B C A C A D A C B B C A C ， （ 8 分） 则 1 1 3 2s i C C D A C D ， 1 s i n 1 0 32 B A C B A C . 综上四边形 面积为 132 10 37 . （ 12 分） 18. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力 . 【试题解析】 (1)由题意，所求概率为 2 0 4 0 2 0 0 . 8100P +=（ 4 分） (2)记 , , , ,a b c d e 分别为选择 6 个月、 12 个月、 18 个月、 24 个月、 36 个月贷款， （ 6 分） 由题意知小王和小李的所有选择有： , , , , , , , , , , , , , ,a a a b a c a d a e b a b b b c b d b e c a c b c c c d c e， , , , , , , , , ,d a d b d c d d d e e a e b e c e d e e，共 25 种， （ 8 分） 其中使得小王和小李获补贴之和不超过 600 的有 , , , , , , , ,a a a b a c a d a e b a b b b c, , ,ca cb 13 种， （ 10 分） 所以所求概率为 1325. （ 12 分） 19. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题 . 【试题解析】 （ ） 证明：连接 设 交点为 F ，连接 因为 E 为 1 F 为 点，所以 1/B ，所以 平面 又因为 平面 ，所以平面 平面 （ 6 分） （ ） 连接 1 11设 1点 G ，由四边形 11正方形 所以 22又因为点 C 到平面 距离为 22， 所以 1 平面 所以 1D ， （ 8 分） 又因为 1D ，所以 平面 11所以 D ， 所以菱形 正方形，由于 E 到平面 距离为 12， （ 10 分） 所以三棱锥 C 的体积 1 1 13 2 1 2V E F A D C D . （ 12 分） 20. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力 . 【试题解析】 （ ）设 点 C 为 ( , ) 1( 2, )， 1( ,2)由题可知， 1 1 112 2,2 4 2 2 2 4y x x x ， （ 4 分） 从而有 422，整理得 2 2 14x y，即为椭圆方程 . （ 6 分） （ ） (2,0)R ，设 00( , )M x y ，有 2001 42， （ 8 分） 从而所求四边形面积 2 2200 0 000 4 4112 1 22 2 2 2 2x x x xS y x ， （ 10 分） 当且仅当0022, 2取得最大值 . （ 12 分） 21. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力 . 【试题解析】 () 函数)()21( ) 4 fx x ， 令2( ) =0fx x ，得1 12x；2 12x （舍去） （ 2 分 ） 当 , ( )f x f x的取值情况如下： , )212( , ) 0 ()减 极小值 增 所以，函数) 42f ，无极大值 （ 4 分 ） () 222 1 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 a x x ax x x ， 令( ) 0 ，得1 12，2 1x a， （ 6 分） 当a时，( ) 0 ，函数)单调递增； （ 7 分 ） 当20a 时，在区间1(0, )2，1( , ) ，上( ) 0，)( 在区间11( , )2，上( ) 0，)( （ 8 分 ） 当2a时，在区间1(0, )a，1( , )2，上( ) 0 ，)( 在区间11( , )2a，上( ) 0 ，)( （ 9 分 ） () 由 () 知当( 3, 2)a 时，函数)(,3单调递减； 所以，当,3x时，m a x) (1) 1 2f x f a ， m ( ) ( 3 ) ( 2 ) l n 3 63f x f a a （ 10 分） 问题等价于：对任意的( 3, 2)a ， 恒