2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）含答案

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1设命题 p： x 0， 2x+3，则 ） A x 0， 2x+3 B x 0， 2x+3 C x 0， 2x+3 D x 0， 2x+3 2已知复数 m=4 n=3+2i，若复数 R，则实数 ） A 6 B 6 C D 3已知双曲线 + =1，焦点 在 焦距为 4，则 ） A B 5 C 7 D 4已知 ，则 的值等于（ ） A B C D 5设集合 A= 1， 0， 1， i=1， 2， 3， 4，那么集合 A 中满足条件 “x 12+3” 的元素个数为（ ） A 60 B 65 C 80 D 81 6如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ） A B C D 7设实数 x， 则 2 ） A 25 B 49 C 12 D 24 8已知等比数列 且 a6+，则 a6+值为（ ） A 2 B 4 2 C 8 2 D 16 2 9若实数 a、 b、 c R+，且 ab+ac+ ，则 2a+b+ ） A B C D 10椭圆 + =1 的左焦点为 F，直线 x=、 N，当 ） A B C D 11四面体 A D=10， D=2 ， C=2 ，则四面 体 A ） A 50 B 100 C 200 D 300 12设函数 f（ x）满足 2x） + x） =f（ 2） = ，则 x ，求函数 h（ x）的最小值； （ 2）对任意 x = +2 ） = + ） = = ，解得： + ） = ， = 故选： B 5设集合 A= 1， 0， 1， i=1， 2， 3， 4，那么集合 A 中满足条件 “x 12+3” 的元素个数为（ ） A 60 B 65 C 80 D 81 【考点】 1A：集合中元素个数的最值 【分析】将 M=0， N= 1， 1， 个取值为 0， 2个取值为 0，个取值为 0， 4 个取值为 0，进行分类讨论，由此能求出集合 A 中满足条件“x 12+3” 的元素个数 【解答】解：集合 A= 1， 0， 1， i=1， 2， 3， 4， 集合 x 12+3” ， 设 M=0， N= 1， 1， 个取值为 0，另外 3个从 法总数有： =32， 个取值为 0，另外 2个从 法总数有： =24， 个取值为 0，另外 1个从 法总数有： =8， 个取值为 0，取法总数有： =1， 集合 x 12+3” 的元素个数为： 32+24+8+1=65 故选： B 6如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ） A B C D 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分 析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体 【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体 这个几何体体积 V= + （ ） 2 2=2+ 故选： A 7设实数 x， 则 2 ） A 25 B 49 C 12 D 24 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知 y 10 2x， 则 22x（ 10 2x） =4x（ 5 x） 4（ ） 2=25， 当且仅当 x= ， y=5时，取等号， 经检验（ ， 5）在可行域内， 故 25， 故选： A 8已知等比数列 且 a6+，则 a6+值为（ ） A 2 B 4 2 C 8 2 D 16 2 【考点】 67：定积分 【分析】先根据定积分的几何意义求出 a6+=4 ，再根据等比数列的性质即可求出 【解答】解： 表示以原点为圆心以 4为半径的圆的面积的四分之一， 故 a6+=4 ， a6+= a6+2=16 2 故选： D 9若实数 a、 b、 c R+，且 ab+ac+ ，则 2a+b+ ） A B C D 【考点】 般形式的柯西不等式 【分析】因为（ 2a+b+c） 2=4a2+b2+已知等式比较发现，只要利用均值不等式 b2+2 【解答】解： ab+ac+ ， a2+ab+ac+ 2 （ 6 2 ） 4=（ a2+ab+ac+ 4=44ab+b2+ 2a+b+c）2， 所以 2a+b+c 2 2， 故选 D 10椭圆 + =1 的左焦点为 F，直线 x=、 N，当 ） A B C D 【考点】 圆的简单性质 【分析】设右焦点为 F ，连接 ， ，由于 |+| |可得当直线 x= c= =1把 c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得 y，即可得出此时 【解答】解：设右焦点为 F ，连接 ， ， |+| | 当直线 x= 由椭圆的定义可得： 4a=4 c= =1 把 c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得 y= 此时 = = 故选： C 11四面体 A D=10， D=2 ， C=2 ，则四面体 A ） A 50 B 100 C 200 D 300 【考点】 柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体 四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以 10， 2 ， 2 为三边的三角形作为底面，且以分别为 x， y， z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为 x， y， 此能求出球的半径，进而求出球的表面积 【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体 所以可在其每个面补上一个以 10， 2 ， 2 为三边的三角形作为底面， 且以分别为 x， y， z， 长、两两垂直的侧棱的三棱锥， 从而可得到一个长、宽、高分别为 x， y， 并且 x2+00， x2+36， y2+64， 设球半径为 R，则有（ 2R） 2=x2+y2+00， 400， 球的表面积为 S=4R 2=200 故选 C 12设函数 f（ x）满足 2x） + x） =f（ 2） = ，则 x = （ x2）， 当 x 【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义 【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为 r，对 =p +q 两边平方，建立 p、 用基本不等式求出 p+ 【解答】解：如图所示， A= ， ； 设 | =r，则 O 为 =p +q ， = = 即 p2+， （ p+q） 2=3； 又 0 p 1， 0 q 1， p+q 2 ， = ， 1 （ p+q） 2 （ p+q） 2+1， 解得 1 （ p+q） 2 4， 1 p+q 2； 即 p+ 故答案为： 三、解答题（本大题共 7小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17在 A、 B、 a、 b、 c，已知 m R），且4 （ 1）当 a=2， 时，求 b、 （ 2）若角 【考点】 弦定理 【分析】（ 1） m R），利用正弦定理可得： b+c= 4 a=2，时，代入解出即可得出 （ 2）利用余弦定理、不等 式的解法即可得出 【解答】解：（ 1）由题意得 b+c=4 当 时， ， 解得 （ 2） ，又由 b+c=m 0，所以 18为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标 x）、推理（能力指标 y）、建模（能力指标 z）的相关性，并将它们各自量化为 1、 2、 3三个等级，再用综合指标 w=x+y+ w 7，则数学核心素养为一级；若 5 w 6，则数学核心素养为二级；若 3 w 4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随 机访问了某校 10名学生，得到如下结果： 学生编号 2 4 6 8 10 （ x， （ 2， （ 3， （ 3， （ 1， （ 2， （ 2， （ 2， （ 2， （ 2， （ 2，y， z） 2， 3） 2， 3） 3， 3） 2， 2） 3， 2） 3， 3） 2， 2） 3， 3） 1， 1） 2， 2） （ 1）在这 10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率； （ 2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为 a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为 b，记随机变量 X=a b，求随机 变量 【考点】 散型随机变量的期望与方差； 散型随机变量及其分布列 【分析】（ 1）由题可知：建模能力一级的学生是 模能力二级的学生是 10；建模能力三级的学生是 “ 所取的两人的建模能力指标相同 ” 为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出， P（ A） （ 2）由题可知，数学核心素养一级： 学核心素养不是一级的：， 2， 3， 4， 5利用相互独 立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出 P（ X=k）及其分布列与数学期望 【解答】解：（ 1）由题可知：建模能力一级的学生是 模能力二级的学生是 7， 模能力三级的学生是 记 “ 所取的两人的建模能力指标相同 ” 为事件 A， 则 （ 2）由题可知，数学核心素养一级： 学核心素养不是一级的：X 的可能取值为 1， 2， 3， 4， 5. ； ； ； 随机变量 X 1 2 3 4 5 P = 19如图，在四边形 ，四边形 平面 D=C= （ 1）求证： 平面 （ 2）点 点 面 求此时二面角的余弦值 【考点】 面角的平面角及求法； 线与平面垂直的判定 【分析】（ 1）在梯形 D=，由题意求得 ，再由余弦定理求得 ，满足 则 由 平面 线面垂直的判定可得 平面 一步得到 平面 （ 2）分别以直线 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设D=F=1，令 （ ），得到 C， A， B， 出平面 题意可得平面 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当 =0时， 最小值为 ，此时点 重合 【解答】（ 1）证明：在梯形 D=， 又 ， ， 2C3 平面 面 ， 平面 平面 （ 2）解：分别以直线 设 D=F=1，令 （ ）， 则 C（ 0， 0， 0）， A（ ， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， M（ ， 0， 1）， =（ ， 1， 0）， =（ ， 1， 1）， 设 =（ x， y， z）为平面 一个法向量， 由 得 ，取 x=1，则 =（ 1， ， ）， =（ 1， 0， 0）是平面 一个法向量， = = ， 当 =0 时， 最小值为 ， 点 重合时，平面 时二面角的余弦值为 20已知圆 x2+y2=r 0）与直线 y= 相切，点 A 为圆 ，且动点 设动点 （ 1）求动点 的方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 P、 Q 且满足以 直径的圆过坐标原点 O，求线段 度的取值范围 【考点】 锥曲线的范围问题； 迹方程； 线与椭圆的位置关系 【分析】（ 1）设动点 M（ x， y）， A（ 由于 推出 N（ 0）通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线 （ 2） 假设直线 其方程为 y=kx+m，设 P（ Q（ 联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过 ，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围 若直线 y=x，类似 求解即可 【解答】解：（ I）设动点 M（ x， y）， A（ 由于 N（ 0） 又圆 与 直 线 即 相 切 ， 圆 由题意， ，得 ， ， 即 将 代入 x2+，得曲线 （ 1）假设直线 其方程为 y=kx+m，设 P（ Q（ 联立 ，可得（ 1+28=0 由求根公式得 （ *） 以 直径的圆过坐标原点 O， 即 即 m）（ m） =0 化简可得， 将（ *）代入可得 ，即 388=0 即 ，又 将 代 入 ， 可 得= 当 且 仅 当 ，即 时 等 号 成 立 又 由 ， ， （ 2）若直线 l 的斜率不存在，因以 直径的圆过坐标原点 O，故可设 在直线方程为 y=x， 联立 解得 ，同理求得 ， 故 综上，得 21已知函数 f（ x） =（ x+a） x+a）， g（ x） = + （ 1）函数 h（ x） =f（ a） +g（ x ，求函数 h（ x）的最小值； （ 2）对任意 x 上 h（ x） 0， h（ x）递增， h（ x）的最小值为 当 1 a 1 1 即 0 a 2 时，在 x 上 h（ x） 0， h（ x）为减函数，在在 x 上 h（ x） 0， h（ x）为增函数 h（ x）的最小值为 h（ a 1） = 1+a 当 a 1 1 即 a 2 时，在上 h（ x） 0， h（ x）递减， h（ x）的最小值为 h（ 1） =（ 1 a） e+a 综上所述，当 a 0时 h（ x）的最小值为 ，当 0 a 2时 h（ x）的最小值为 1+a，当 a 2时， h（ x）最小值 为（ 1 a） e+a （ ， F（ x） =x 1） +1+a（ x 1）（ x 2） 当 a 0 时，在 x 2， + ）上 F（ x） 0， F（ x）在 x 2， + ）递增， F（ x）的最小值为 F（ 2） =0，不可能有 f（ x a 1） g（ x） 0 当 a 1时，令 ，解得： ，此时 F（ x）在 2， + ）上递减 F（ x）的最大值为 F（ 2） =a+1 0， F（ x）递减 F（ x）的最大值为 F（ 2） =0， 即 f（ x a 1） g（ x） 0成立 当 1 a 0时，此时 ，当 时， F（ x） 0， F（ x）递增，当时， F（ x） 0， F（ x）递减 = a） 0，又由于 F（ 2） =a+1 0， 在 上 F（ x） 0， F（ x）递增， 又 F（ 2） =0，所以在 上 F（ x） 0，显然不合题意 综上所述： a 1 22以直角坐标系的原点 在两种