2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷含答案解析

2017 年上海市嘉定区高考数学二模试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1 6 题每题 4 分，第 7 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1函数 y=22x） 1 的最小正周期是 2设 i 为虚数单位，复数 ，则 |z|= 3设 f 1（ x）为 的反函数，则 f 1（ 1） = 4 = 5若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是 6设等差数列 前 n 项和为 = ，则 = 7直线 （ t 为参数）与曲线 （ 为 参数）的公共点的个数是 8已知双曲线 双曲线 焦点重合， 方程为 ，若 一条渐近线的倾斜角是 一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 方程为 9若 ，则满足 f（ x） 0 的 x 的取值范围是 10某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 11设等差数列 各项都是正数，前 n 项和为 差为 d若数列也是公差为 d 的等差数列，则 通项公式为 12设 x R，用 x表示不超过 x 的最大整数（如 2， 5），对于给定的 n N*，定义 C = ，其中 x 1， + ），则当时，函数 f（ x） =C 的值域是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13命题 “若 x=1，则 3x+2=0”的逆否命题是（ ） A若 x 1，则 3x+2 0 B若 3x+2=0，则 x=1 C若 3x+2=0，则 x 1 D若 3x+2 0，则 x 1 14如图，在正方体 ， M、 E 是 三等分点， G、 N 是三等分点， F、 H 分别是 中点，则四棱锥 左视图是（ ） A B C D 15已知 边长为 4 的等边三角形， D、 P 是 部两点，且满足， ，则 面积为（ ） A B C D 16已知 f（ x）是偶函数，且 f（ x）在 0， + ）上是增函数，若 f（ ） f（ x 2）在 上恒成立，则 实数 a 的取值范围是（ ） A 2， 1 B 2， 0 C 1， 1 D 1， 0 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a b=2， c=4， （ ）求 面积； （ ）求 2A B） 18如图，在长方体 ， ， ， ，平面 截长方体得到一个矩形 1F=2， G=5 （ 1）求截面 该长方体分成的两部分体积之比； （ 2）求直线 平面 所成角的正弦值 19如图，已知椭圆 C： （ a b 0）过点 ，两个焦点为 1， 0）和 1， 0）圆 O 的方程为 x2+y2= （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过 斜率为 k（ k 0）的动直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，与圆 O 交于 P、 Q 两点（点 A、 P 在 x 轴上方），当 | | |等差数列时，求弦 长 20如果函数 y=f（ x）的定义域为 R，且存在实常数 a，使得对于定义域内任意x，都有 f（ x+a） =f（ x）成立，则称此函数 f（ x）具有 “P（ a）性质 ” （ 1）判断函数 y=否具有 “P（ a）性质 ”，若具有 “P（ a）性质 ”，求出所有a 的值的集合；若不具有 “P（ a）性质 ”，请说明理由； （ 2）已知函数 y=f（ x）具有 “P（ 0）性质 ”，且当 x 0 时， f（ x） =（ x+m） 2，求函数 y=f（ x）在区间 0， 1上的值域； （ 3）已知函数 y=g（ x）既具有 “P（ 0）性质 ”，又具有 “P（ 2）性质 ”，且当 1 x 1 时， g（ x） =|x|，若函数 y=g（ x）的图象与直线 y= 2017 个公 共点，求实数 p 的值 21给定数列 若满足 a1=a（ a 0 且 a 1），对于任意的 n， m N*，都有an+m=an称数列 指数数列 （ 1）已知数列 通项公式分别为 ， ，试判断 不是指数数列（需说明理由）； （ 2）若数列 足： ， ， =3 2明： 指数数列； （ 3）若数列 指数数列， （ t N*），证明：数列 任意三项都不能构成等差数列 2017 年上海市嘉定区高考数学 二模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1 6 题每题 4 分，第 7 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1函数 y=22x） 1 的最小正周期是 【考点】 角函数的周期性及其求法 【分析】 利用二倍角公式基本公式将函数化为 y=x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期， 【解答】 解：函数 y=22x） 1， 化简可得： y=1 1= 最小正周期 T= 故答案为 2设 i 为虚 数单位，复数 ，则 |z|= 1 【考点】 数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解：复数 = = = i， 则 |z|=1 故答案为： 1 3设 f 1（ x）为 的反函数，则 f 1（ 1） = 1 【考点】 4R：反函数 【分析】 根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解 【解答】 解： 的反函数， 其反函数 f 1（ x）， 反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即 可得： x=1， f 1（ x） =1 故答案为 1 4 = 3 【 考点】 8J：数列的极限 【分析】 通过分子分母同除 3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可 【解答】 解： = = =3 故答案为： 3 5若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是 30 【考点】 线与平面所成的角 【分析】 根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得 l=2R，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可 【解答】 解：设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l，则： 其底面积： S 底面积 = 其侧面积： S 侧面积 = 2 圆锥的侧面 积是其底面积的 2 倍， l=2R， 故该圆锥的母线与底面所成的角 有， = ， =60， 母线与轴所成角的大小是： 30 故答案为： 30 6设等差数列 前 n 项和为 = ，则 = 【考点】 85：等差数列的前 n 项和 【分析】 = ，可得 3（ d） =5（ d），化为： a1=d再利用等差数列的求和公式即可得出 【解答】 解： = ， 3（ d） =5（ d），化为： a1=d 则 = = 故答案为： 7直线 （ t 为参数） 与曲线 （ 为参数）的公共点的个数是 1 【考点】 的参数方程； 线的参数方程 【分析】 根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（ 3， 5），半径 r= ，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有 1 个公共点，即可得答案 【解答】 解：根据题意，直线的参数方程为 ，则其普通方程为 x+y 6=0， 曲线的参数方程为 ，则其普通方程为（ x 3） 2+（ y 5） 2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（ 3， 5），半径 r= ， 圆心到直线 x+y 6=0 的距离 d= = =r， 则圆（ x 3） 2+（ y 5） 2=2 与直线 x+y 6=0 相切，有 1 个公共点； 故答案为： 1 8已知双曲线 双曲线 焦点重合， 方程为 ，若 一条渐近线的倾斜角是 一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 方程为 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可 【解答】 解：双曲线 双曲线 焦点重合， 方程为 ，焦点坐标（ 2， 0） 双曲线 一条渐近 线为： y= ，倾斜角为 30， 一条渐近线的倾斜角是 一条渐近线的倾斜角的 2 倍，可得 渐近线y= 可得 ， c=2，解得 a=1， b= ， 所求双曲线方程为： 故答案为： 9若 ，则满足 f（ x） 0 的 x 的取值范围是 （ 1， + ） 【考点】 7E：其他不等式的解法 【分析】 由已知得到关于 x 的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之 【解答】 解：由 f（ x） 0 得到 即 ，所以 ，解得 x 1； 故 x 的取值范围为（ 1， + ）； 故答案为：（ 1， + ）； 10某企业有甲、 乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 【考点】 互独立事件的概率乘法公式 【分析】 利用对立事件的概率公式，计算即可， 【解答】 解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 事件 B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 和 则 P（ B） =（ 1 ）（ 1 ） = ， 再根据对立事件的概率之间的公式可得 P（ A） =1 P（ B） = ， 故至少有一种新产品研发成功的概率 故答案为 11设等差数列 各项都是正数，前 n 项和为 差为 d若数列也是公差为 d 的等差数列，则 通项公式为 【考点】 84：等差数列的通项公式 【分析】 由题意可得： Sn=d 0. = +（ n 1） d，化简 n 1 时可得： n 1） d d分别令 n=2， 3，解出即可得出 【解答】 解：由题意可得： Sn=d 0 = +（ n 1） d，可得： Sn= n 1） 2 （ n 1） d d= n 1） 2 （ n 1） d n 1 时可得： n 1） d d 分别令 n=2， 3，可得： a1= d d， d d 解得 ， d= + （ n 1） = 故答案为： 12设 x R，用 x表示不超过 x 的最大整数（如 2， 5），对于给定的 n N*，定义 C = ，其中 x 1， + ），则当时，函数 f（ x） =C 的值域是 【考点】 57：函数与方程的综合运 用 【分析】 分类讨论，根据定义化简 出 表达式，再利用函数的单调性求出 值域 【解答】 解：当 x ， 2）时， x=1， f（ x） =C = ， 当 x ， 2）时， f（ x）是减函数， f（ x） （ 5， ）； 当 x 2， 3）时， x=2， f（ x） =C = ， 当 x 2， 3）时， f（ x）是减函数， f（ x） （ 15， 45； 当 时，函数 f（ x） =C 的值域是 ， 故答案为： 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题 纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13命题 “若 x=1，则 3x+2=0”的逆否命题是（ ） A若 x 1，则 3x+2 0 B若 3x+2=0，则 x=1 C若 3x+2=0，则 x 1 D若 3x+2 0，则 x 1 【考点】 25：四种命题间的逆否关系 【分析】 根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】 解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若 3x+2 0，则 x 1 故选： D 14如图，在正方体 ， M、 E 是 三等分点， G、 N 是三等分点， F、 H 分别是 中点，则四棱锥 左视图是（ ） A B C D 【考点】 单空间图形的三视图 【分析】 确定 5 个顶点在面 的投影，即可得出结论 【解答】 解： 面 的投影为点 E 在面 投影为点 G，F 在面 的投影为点 C， H 在面 的投影为点 N，因此侧视图为选项 C 的图形 故选 C 15已知 边长为 4 的等边三角形， D、 P 是 部两点，且满足， ，则 面积为（ ） A B C D 【考点】 9V：向量在几何中的应用 【分析】 以 A 为原点，以 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系由于等边三角形 的边长为 4，可得 B， C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得 ， ，利用 面积公式即可得出 【解答】 解：以 A 为原点，以 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 等边三角形 的边长为 4， B（ 2， 2 ）， C（ 2， 2 ）， 由足 = （ 2， 2 ） +（ 2， 2 ） =（ 0， ）， =（ 0， ） + （ 4， 0） =（ ， ）， 面积为 S= | | |= = ， 故选： A 16已知 f（ x）是偶函数，且 f（ x）在 0， + ）上是增函数，若 f（ ） f（ x 2）在 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2， 1 B 2， 0 C 1， 1 D 1， 0 【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合 【分析】 因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中 f（ x）是偶函数，且f（ x）在（ 0， + ）上是增函数，易得 f（ x）在（ ， 0）上为减函数，又由若 时，不等式 f（ ） f（ x 2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出 时 f（ x 2）的最小值，从而可以构造一个关于 a 的不等式，解不等式即可得到实数 a 的取值范围 【解答】 解： f（ x）是偶函数，且 f（ x）在（ 0， + ）上是增函数， f（ x）在（ ， 0）上为减函数， 当 时， x 2 ， 1， 故 f（ x 2） f（ 1） =f（ 1）， 若 时，不等式 f（ ） f（ x 2）恒成立， 则当 时， | 1 恒成立， 1 1， a 0， 2 a 0， 故选 B 三、解答题（本大 题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a b=2， c=4， （ ）求 面积； （ ）求 2A B） 【考点】 角函数中的恒等变换应用 【分析】 解法一：（ I）由已知及正弦定理可求 a， b 的值，由余弦定理可求 而可求 可由三角形面积公式求解 （ 余弦定理可得 而可求 两角差的正弦公式即可求 2A B）的值 解法二：（ I）由已知及正弦定理可求 a， b 的值，又 c=4，可知 等腰三角形，作 D，可求 = ，即可求三角形面积 （ 余弦定理可得 可求 （ I）知 A=C2A B= 2B从而 2A B） = 2B） =入即可求值 【解答】 解： 解法一：（ I）由 a=2b 又 a b=2， a=4， b=2 = = = = S = （ = = = = 2A B） = = 解法二：（ I）由 a=2b 又 a b=2， a=4， b=2 又 c=4，可知 等腰三角形 作 D，则 = = S = （ = = = = 由（ I）知 A=C2A B= 2B 2A B） = 2B） =2 =2 = 18如图，在长方体 ， ， ， ，平面 截长方体得到一个矩形 1F=2， G=5 （ 1）求截面 该长方体分成的两部分体积之比； （ 2）求直线 平面 所成角的正弦值 【考点】 线与平面所成的角； 柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）由题意，平面 把长方体分成两个高为 5 的直四棱柱，转化求解体积 推出结果即可 （ 2）解法一：作 足为 M，证明 出 平面 过计算求出 直线 平面 所成角为 ，求解即可 解法二：以 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 一个法向量，利用直线 平面 所成角为 ，通过空间向量的数量积求解即可 【解答】 （本题满分，第 1 小题满分，第 2 小题满分 8 分） 解：（ 1）由题意，平面 把长方体分成两个高为 5 的直四棱柱， ， ， 所以， （ 2）解法一：作 足为 M，由题意， 平面 M， 所以 平面 因为 ， ，所以 S 0，） 因为 ，所以 又 ， 设直线 平面 所成角为 ，则 所以，直线 平面 所成角的正弦值为 解法二：以 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 则 A（ 5， 0， 0）， H（ 5， 5， 0）， E（ 5， 2， 4）， F（ 0， 2， 4）， 故 ， ， 设平面 一个法向量为 ，则 即 所以可取 设直线 平面 所成角为 ，则 所以，直线 平面 所成角的正弦值为 19如图，已知椭圆 C： （ a b 0）过点 ，两个焦点为 1， 0）和 1， 0）圆 O 的方程为 x2+y2= （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过 斜率为 k（ k 0）的动直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，与圆 O 交于 P、 Q 两点（点 A、 P 在 x 轴上方），当 | | |等差数列时，求弦 长 【考点】 线与圆锥曲线的综合问题； 圆的标准方程； 线与椭圆的位 置关系 【分析】 （ 1）求出 c=1，设椭圆 C 的方程为 ，将点 代入，解得 ，然后求解椭圆 C 的方程 （ 2）由椭圆定义， |4， |4，通过 | | |等差数列，推出 设 B（ 通过 解得 B，然后求解直线方程，推出弦 长即可 【解答】 （本题满分，第 1 小题满分，第 2 小题满分 8 分） 解：（ 1）由题意， c=1， 设椭圆 C 的方程为 ，将点 代入 ， 解得 （ 舍去）， 所以，椭圆 C 的方程为 （ 2 ） 由 椭 圆 定 义 ， |4 ， |4 ，两式相加，得|8， 因为 | | |等差数列，所以 |2| 于是 3|8，即 设 B（ 由 解得 ， （或设 ，则 ，解得 ，所以 ） 所以， ，直线 l 的方程为 ，即 ， 圆 O 的方程为 x2+，圆心 O 到直线 l 的距离 ， 此时，弦 长 20如果函数 y=f（ x）的定义域为 R，且存在实常数 a，使得对于定义域内任意x，都有 f（ x+a） =f（ x）成立，则称此函数 f（ x）具有 “P（ a）性质 ” （ 1）判断函数 y=否具有 “P（ a）性质 ”，若具有 “P（ a）性质 ”，求出所有a 的值的集合；若不具有 “P（ a）性质 ”，请说明理由； （ 2）已知函数 y=f（ x）具有 “P（ 0）性质 ”，且当 x 0 时， f（ x） =（ x+m） 2，求函数 y=f（ x）在区间 0， 1上的值域； （ 3）已知函数 y=g（ x）既具有 “P（ 0）性质 ”，又具有 “P（ 2）性质 ”，且当 1 x 1 时， g（ x） =|x|，若函数 y=g（ x）的图象与直线 y= 2017 个公 共点，求实数 p 的值 【考点】 57：函数与方程的综合运用 【分析】 （ 1）根据题意可知 x+a） = x） =而 a=2k Z； （ 2）由新定义可推出 f（ x）为偶函数，从而求出 f（ x）在 0， 1上的解析式，讨论 m 与 0， 1的关系判断 f（ x）的单调性得出 f（ x）的最值； （ 3）根据新定义可知 g（ x）为周期为 2 的偶函数，作出 g（ x）的函数图象，根据函数图象得出 p 的值 【解答】 解：（ 1）假设 y=有 “P（ a）性质 ”，则 x+a） = x） = x+2= 函数 y=有 “P（ a）性质 ”，且所有 a 的值的集合为 a|a=2k Z （ 2）因为函数 y=f（ x）具有 “P（ 0）性质 ”，所以 f（ x） =f（ x）恒成立， y=f（ x）是偶函数 设 0 x 1，则 x 0， f（ x） =f（ x） =（ x+m） 2=（ x m） 2 当 m 0 时，函数 y=f（ x）在 0， 1上递增，值域为 1 m） 2 当 时，函数 y=f（ x）在 0， m上递减，在 m， 1上递增， f（ m） =0， ，值域为 0，（ 1 m） 2 当 时， f（ m） =0， ，值域为 0， m 1 时，函数 y=f（ x）在 0， 1上递减，值域为 （ 1 m） 2， （ 3） y=g（ x）既具有 “P（ 0）性质 ”，即 g（ x） =g（ x）， 函数 y=g（ x）偶函数， 又 y=g（ x）既具有 “P（ 2）性质 ”，即 g（ x+2） =g（ x） =g（ x）， 函数 y=g（ x）是以 2 为周期的函数 作出函数 y=g（ x）的图象如图所示： 由图象可知，当 p=0 时，函数 y=g（ x）与直线 y=于点（ 2k， 0）（ k Z），即有无数个交点，不合题意 当 p 0 时，在区间 0， 2016上，函数 y=g（ x）有 1008