轴对称提高练习及解析.docx

2017年04月19日6的初中数学组卷一解答题（共40小题）1阅读材料：我们曾经解决过如下问题：“如图，点M，N分别在直线AB同侧，如何在直线AB上找到一个点P，使得PM+PN最小？”我们可以经过如下步骤解决这个问题：（1）画草图（或目标图）分析思路：在直线AB上任取一点P，连接PM，PN，根据题目需要，作点M关于直线AB的对称点M，将PM+PN转化为PM+PN，“化曲为直”寻找PM+PN的最小值；（2）设计画图步骤；（3）回答结论并验证借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：已知三条线段h，m，c，求作ABC，使其BC边上的高AH=h，中线AD=m，AB=c（1）请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现目标图的大致作图步骤）；（2）完成尺规作图（不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可）2如图，ABC中AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由3如图，ADBC，BE平分ABC交AD于点E，若AB=4，求AE的长4已知：在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD（1）如图，若AOB=COD=60，求证：AC=BD APB=60（2）如图，若AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为，APB的大小为（直接写出结果，不证明）5如图，在ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2ab，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系（不要求证明）6已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD7在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，（1）请你量一量BFD的度数，并证明你的结论；（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论8等边ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边ADE，连接CE（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明9如图，D是等边ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DGAC于G点证明下列结论：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）SDGF=SADG+SECF10如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由11（1）已知ABC中，A=90，B=67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系12数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形为此，请你解答问题（1）（1）已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=36，直线BD平分ABC交AC于点D求证：ABD与DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图、也具有这种特性请你在图、图中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征13如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由14如图，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明画出将ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形；BAC=90（如图）附加题：如图，若以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系15如图1，RtABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明1、画出将BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（ACKN，如图2）附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由16如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角AON=30，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米（1）新开发区A到公路MN的距离为；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短此时PA+PB=（千米）17已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒当t0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O（1）设EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；（2）当t为何值时，ABGH；（3）请你证明GFH的面积为定值；（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点18如图，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE求证：EC=ED19已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM20如图，已知在ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DEBC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD=AF21已知：如图，边长为2的等边三角形ABC，延长BC到D，使CD=BC，延长CB到E，使BE=CB，求ADE的周长22如图，ABC中，ACB=（090），CD平分ACB，过C点作CD的垂线交AB的垂直平分线于M，连接AM，求BAM（用含的式子表示）23已知：在ABC中，AB=AC，CD是AB边上的高，点P是AC边上任意一点（不与点A、点C重合）过点P作PEBC，垂足为E，交CD于点F若AD=CD，探究线段PF、CE之间的数量关系，并证明你的结论24如图，在四边形ABCD中，B=C=90，AB=BC，点E在边BC上，ADE为等边三角形若CD=2求AD的长25如图，已知D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由26如图，已知BD平分ABC，AB=AD，DEAB，垂足为E（1）求证：ADBC；（2）若DE=6cm，求点D到BC的距离；当ABD=35，DAC=2ABD时，求BAC的度数27如图，在四边形ABCD中，B=90，DEAB交BC于E、交AC于F，CDE=ACB=30，BC=DE求证：FCD是等腰三角形28如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，且PDAB，PEAC，BC=5，求PDE的周长29如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE（1）如图1，若CAB=CBA=CDE=CED=50求证：AD=BE；求AEB的度数（2）如图2，若ACB=DCE=120，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN30在等边ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，求EF的长31如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DFAB于F求证：BDF=ADE32在ABC 中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E求证：CBE=CAD33如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE34如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB的面积35如图，ABC是等边三角形，BDAC于点D，E为BC的中点，连接DE求证：DE=DC36如图，在ABC中，BAC=90，C=30，AE为BC边上的中线求证：ABE是等边三角形37如图，等边ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF（1）证明：DEF是等边三角形；（2）在运动过程中，当CEF是直角三角形时，试求的值38如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F（1）若CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若MFN=70，求MCN的度数39在ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC（1）若BC=1Ocm，试求出PAO的周长（不用写过程，直接写出答案）（2）若AB=AC，BAC=110，试求PAO的度数（不用写过程，直接写出答案）（3）在（2）中，若无AB=AC的条件，你运能求出PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由40如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，（1）若CMN的周长为21cm，求AB的长；（2）若MCN=50，求ACB的度数2017年04月19日6的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共40小题）1（2016秋西城区期末）阅读材料：我们曾经解决过如下问题：“如图，点M，N分别在直线AB同侧，如何在直线AB上找到一个点P，使得PM+PN最小？”我们可以经过如下步骤解决这个问题：（1）画草图（或目标图）分析思路：在直线AB上任取一点P，连接PM，PN，根据题目需要，作点M关于直线AB的对称点M，将PM+PN转化为PM+PN，“化曲为直”寻找PM+PN的最小值；（2）设计画图步骤；（3）回答结论并验证借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：已知三条线段h，m，c，求作ABC，使其BC边上的高AH=h，中线AD=m，AB=c（1）请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现目标图的大致作图步骤）；（2）完成尺规作图（不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可）【分析】（1）根据BC边上的高AH=h，中线AD=m，AB=c进行作图即可；（2）先由长为h，m的两条线段作RtADH，再由线段c作边AB确定点B，再倍长BD确定点C即可【解答】解：（1）草图如图所示：作图思路：先由长为h，m的两条线段作RtADH，再由线段c作边AB确定点B，再倍长BD确定点C（2）如图所示，ABC即为所求【点评】本题主要考查了运用轴对称变换进行作图，解决问题的关键是先作出RtADH解题时时注意：解决此类题目需要熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作2（2013青羊区一模）如图，ABC中AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由【分析】（1）过点P做PF平行与AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC，根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP=PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ，在加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中点，PFAQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，求出CF，即可得出CD的长（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF，再又第一问的全等可知DF=CD，所以ED=，得出线段DE的长为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直线平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角ABC等于角PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同理可得PMD全等于QCD，得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换为BC加CM的一半，化简后得到值为定值【解答】解：（1）如图，过P点作PFAC交BC于F，点P和点Q同时出发，且速度相同，BP=CQ，PFAQ，PFB=ACB，DPF=CQD，又AB=AC，B=ACB，B=PFB，BP=PF，PF=CQ，又PDF=QDC，证得PFDQCD，DF=CD=CF，又因P是AB的中点，PFAQ，F是BC的中点，即FC=BC=3，CD=CF=；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段AB上，过点P作PFAC交BC于F，PBF为等腰三角形，PB=PF，BE=EF，PF=CQ，FD=DC，ED=，ED为定值，同理，如图，若P在BA的延长线上，作PMAC的延长线于M，PMC=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=PMC，PM=PB，根据三线合一得BE=EM，同理可得PMDQCD，所以CD=DM，综上所述，线段ED的长度保持不变【点评】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题3（2012长春模拟）如图，ADBC，BE平分ABC交AD于点E，若AB=4，求AE的长【分析】根据平行线的性质及角平分线的性质得到三角形ABE是等腰三角形即可得到AE的长【解答】解：ADBC，AEB=EBC，BE平分ABC，ABE=CBE，ABE=AEB，AB=AE，AB=4，AE=4【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定及平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质及角平分线的性质得到相等的角，然后判定等腰三角形4（2012饶平县校级模拟）已知：在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD（1）如图，若AOB=COD=60，求证：AC=BD APB=60（2）如图，若AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为AC=BD，APB的大小为（直接写出结果，不证明）【分析】（1）根据已知先证明AOC=BOD，再由SAS证明AOCBOD，所以AC=BD由AOCBOD，可得OAC=OBD，再结合图形，利用角的和差，可得APB=60（2）由（1）小题的证明可知，AC=BD，APB=【解答】解：（1）证明：AOB=COD=60，AOB+BOC=COD+BOC，AOC=BOD在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS），AC=BD；证明：AOCBOD，OAC=OBD，OAC+AOB=OBD+APB，OAC+60=OBD+APB，APB=60；（2）AC=BD，APB=【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确运用等边三角形的性质是解题的关键5（2011安徽模拟）如图，在ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2ab，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系（不要求证明）【分析】（1）因为D为BC的中点，还能推出DFBG，从而可知道DF是BG的中位线，从而可得解（2）作辅助线，延长FD到M点，使FM=BG，证明是矩形，和三角形全等就可以证明（3）可以得出BG=DEDF【解答】解：（1）DFAC，BGAC，DFBG，D是BC的中点，DF=BG=连接AD，DEAB，DFAC，DE=DF=DE+DF=DE+DF=BG（2）延长FD，使FM=BG，DFAC，BGAC，四边形BMFG是矩形，BG=MF，EDB+ABD=90，FDC+C=90，ABC=C，EDB=FDC，FDC=BDM，EDB=BDMBED=BMD，BD=BD，EBDMBD，ED=MDBG=DE+DF（3）BG=DEDF【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等以及全等三角形的判定和性质定理等知识点6（2011房山区一模）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD【分析】（1）AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由BPC=120，推出等边CPE，得到CP=PE=CE，PCE=60，根据已知等边ABC，推出AC=BC，ACP=BCE，根据三角形全等的判定推出ACPBCE，得出AP=BE即可求出结论；（2）在AD外侧作等边ABD，由（1）得PB=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PCCB，再证ABCADB，根据全等三角形的性质推出CB=BD即可【解答】猜想：AP=BP+PC，（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，BPC=120，CPE=60，又PE=PC，CPE为等边三角形，CP=PE=CE，PCE=60，ABC为等边三角形，AC=BC，BCA=60，ACB=PCE，ACB+BCP=PCE+BCP，即：ACP=BCE，ACPBCE（SAS），AP=BE，BE=BP+PE，AP=BP+PC（2）证明：在AD外侧作等边ABD，则点P在三角形ADB外，连接PB，BC，APD=120由（1）得PB=AP+PD，在PBC中，有PB+PCCB，PA+PD+PCCB，ABD、ABC是等边三角形，AC=AB，AB=AD，BAC=DAB=60，BAC+CAD=DAB+CAD，即：BAD=CAB，ABCADB，CB=BD，PA+PD+PCBD【点评】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度7（2011安徽模拟）在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，（1）请你量一量BFD的度数，并证明你的结论；（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论【分析】等边三角形的三条边都相等，三个角都是60，这样可证明三角形全等，从而用角的等量代换可求出角为60【解答】解：（1）BFD=60在等边三角形ABC与三角形CDA中，AB=AC，BAE=C=60，AE=CD，AEBCDAAEB=CDA，又DAC+ADC=180C=120，AEB+DAC=120，AFE=BFD=60（2）BAC=ACB=60，EAB=ACD=120，在ABE和ACD中，ABEACD，E=D，EAF=CAD，CAD+D=60，EAF+E=60，BFD=60【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，进行证明求解8（2011黑龙江模拟）等边ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边ADE，连接CE（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明【分析】（1）如图1，根据ADE与ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明CAEBAD，再根据全等三角形的性质可以证明题目的结论；（2）如图2，根据（1）可知D的位置对CAEBAD没有影响，所以结论仍然成立，证明方法完全相同【解答】证明：（1）如图1，ADE与ABC都是等边三角形，AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=60DAECAD=BACCAD即CAE=BAD在CAE和BAD中，CAEBAD（SAS）EC=DB（全等三角形的对应边相等）；CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；（2）CE+CD=AB；理由如下：如图2，ADE与ABC都是等边三角形，AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=60DAEBAE=BACBAE即CAE=BAD在CAE和BAD中，CAEBAD（SAS）EC=DB（全等三角形的对应边相等）；CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等边三角形的三条边相等、等边三角形的三个内角相等9（2011安徽模拟）如图，D是等边ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DGAC于G点证明下列结论：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）SDGF=SADG+SECF【分析】（1）由等边ABC，DGAC，可求得AGD=90，ADG=30，然后根据直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG=AD；（2）首先过点D作DHBC交AC于点H，易证得ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得DHFECF，继而可得DF=EF；（3）由ABC是等边三角形，DGAC，可得AG=GH，即可得SADG=SHDG，又由DHFECF，即可证得SDGF=SADG+SECF【解答】证明：（1）ABC是等边三角形，A=60，DGAC，AGD=90，ADG=30，AG=AD；（2）过点D作DHBC交AC于点H，ADH=B，AHD=ACB，FDH=E，ABC是等边三角形，B=ACB=A=60，A=ADH=AHD=60，ADH是等边三角形，DH=AD，AD=CE，DH=CE，在DHF和ECF中，DHFECF（AAS），DF=EF；（3）ABC是等边三角形，DGAC，AG=GH，SADG=SHDG，DHFECF，SDHF=SECF，SDGF=SDGH+SDHF=SADG+SECF【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用10（2010丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由【分析】（1）可通过全等三角形来证明EN与MF相等，如果连接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位线，可得出三角形ADE，BDF，DFE，FEC都是等边三角形，那么DEF=DFM=60，DE=DF，而MDN和FDE都是60加上一个NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）由此可得出EN=MF，DNE=DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM三角形DFN，因此DFN=DBM=120，因此DFN是三角形DFE的外角因此N，F，E在同一直线上（2）（3）证法同（1）都要证明三角形MDF和EDN全等，证明过程中都要作出三角形的三条中位线，然后根据三条中位线分成的小等边三角形的边和角相等来得出两三角形全等的条件，因此结论仍然成立【解答】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立连接DF，NF，证明DBM和DFN全等（AAS），ABC是等边三角形，AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点，EF=DF=BFBDM+MDF=60，FDN+MDF=60，BDM=FDN，在DBM和DFN中，DBMDFN，BM=FN，DFN=FDB=60，NFBD，E，F分别为边AC，BC的中点，EF是ABC的中位线，EFBD，F在直线NE上，BF=EF，MF=EN（3）如图，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）连接DF、DE，由（2）知DE=DF，NDE=FDM，DN=DM，在DNE和DMF中，DNEDMF，MF=NE【点评】本题主要考查了等边三角形的性质/三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识点，根据等边三角形的性质以及三角形中位线定理得出全等三角形的条件是解题的关键11（2007无锡）（1）已知ABC中，A=90，B=67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）（2）设ABC=y，C=x，过点B的直线交边AC于D在DBC中，若C是顶角，如图1，则CBD=CDB=90x，A=180xy而ADB90，此时只能有A=ABD，即180xy=y（90x）即3x+4y=540，即ABC=135C；若C是底角，第一种情况：如图2，当DB=DC时，则DBC=x，ABD中，ADB=2x，ABD=yx由AB=AD，得2x=yx，此时有y=3x，即ABC=3C由AB=BD，得180xy=2x，此时3x+y=180，即ABC=1803C由AD=BD，得180xy=yx，此时y=90，即ABC=90，C为小于45的任意锐角第二种情况，如图3，当BD=BC时，BDC=x，ADB=180x90，此时只能有AD=BD，从而A=ABD=CC，这与题设C是最小角矛盾当C是底角时，BD=BC不成立综上，ABC与C之间的关系是：ABC=135C或ABC=1803C或ABC=3C或ABC=90，C是小于45的任意角【点评】本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题12（2007太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形为此，请你解答问题（1）（1）已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=36，直线BD平分ABC交AC于点D求证：ABD与DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图、也具有这种特性请你在图、图中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得1=2=36，C=72，那么BDC=72则可得AD=BD=CBABD与DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108的角分为36和72即可；（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式【解答】（1）证明：在ABC中，AB=AC，ABC=C，A=36，ABC=C=（180A）=72，（1分）BD平分ABC，1=2=363=1+A=72，1=A，3=C，AD=BD，BD=BC，ABD与BDC都是等腰三角形（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角边不等）；特征二：2倍内角关系，在ABC中，A=2B，0B45，其中，B30；【点评】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论13（2006郴州）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由【分析】（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积三角形ACD的面积【解答】解：（1）DE+DF=CG证明：连接AD，则SABC=SABD+SACD，即ABCG=ABDE+ACDF，AB=AC，CG=DE+DF（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DEDF=CG理由：连接AD，则SABD=SABC+SACD，即ABDE=ABCG+ACDFAB=AC，DE=CG+DF，即DEDF=CG同理当D点在CB的延长线上时，则有DFDE=CG，说明方法同上【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用14（2006西岗区）如图，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明画出将ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形；BAC=90（如图）附加题：如图，若以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系【分析】（1）分三种情况讨论，当BAC=90，易得ABCAED；根据直角三角形的性质，可得ED=2AM；进而可以在BAC90与BAC90时，比较可得有ED=2AM的结论；（2）根据（1）的结论，选取易得答案【解答】解：（1）分三种情况；当BAC=90，M是BC的中点AM=BM=MC=EAD=BAC=90，AE=AB，AC=ADABCAEDED=BCED=2AM当BAC90，易得ED=2AM当BAC90，易得ED=2AM（2）已知（1）的结论，若BAC=90，可得ED=2AM附加：结合上题可得：2AM=DE延长CA到F使AF=AC，连接BF易证ABFADEBF=DE2AM=BF2AM=DE【点评】本题为探究性题目，要求学生能全面考查可能出现的情况，并依次求出其中的关系15（2006大连）如图1，RtABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明1、画出将BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（ACKN，如图2）附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由【分析】（1）要证DF=EF，就要证出FDE=FED，也就是BDA=NEC，观察这两个角，不能直接用角的大小关系或全等来得出相等，那么可通过构建全等三角形来得出一个和两个分别相等的中间值，以此来证出两角相等，那么可过C作CPAC，那么我们可通过证三角形ABD和APC全等来得出ADB=ACP，通过证三角形CPN和CEN全等来得出MEC=NPC先看第一对三角形，已知的条件有AB=AD，一组直角，而ABD和PAC都是ADB的余角，因此ABD=PAD，那么两三角形就全等，可得出AC=PC=CE，ADB=NPC，又知道了NCE=PCN=45，一条公共边CN，那么后面的一对三角形也全等，就能得出ADB=MEC=NPC，也就能得出FDE=FED了由此可得证（2）解题思路和（1）一样，也是先证三角形ABD和APC全等，后证三角形CPN和CEN全等，来得出结论【解答】解：DEF是等腰三角形证明：如图，过点C作CPAC，交AN延长线于点PRtABC中AB=ACBAC=90，ACB=45PCN=ACB，BAD=ACPAMBDABD+BAM=BAM+CAP=90ABD=CAPBADACPAD=CP，ADB=PAD=CECE=CPCN=CNCPNCENP=CENCEN=ADBFDE=FEDDEF是等腰三角形附加题：DEF为等腰三角形证明：过点C作CPAC，交AM的延长线于点PRtABC中AB=ACBAC=90，ACB=45PCN=ACB=ECNAMBDABD+BAM=BAM+CAP=90ABD=CAPBAD