高等数学测试题及详细解答.doc

高等数学单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编第一单元 函数与极限一、填空题1、已知，则 。 2、 。3、时，是的 阶无穷小。4、成立的为 。5、 。6、在处连续，则 。7、 。8、设的定义域是，则的定义域是_。9、函数的反函数为_。10、设是非零常数，则。11、已知当时，与是等价无穷小，则常数。12、函数的定义域是_。13、。14、设，则_。15、=_。二、选择题1、设是上的偶函数，是上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。（）；（）；（C）；（D）。2、，则当时有 。（）是比高阶的无穷小； （）是比低阶的无穷小；（C）与是同阶无穷小； （D）。3、函数在处连续，则 。（）； （）； （C）； （D）。4、数列极限 。（）； （）； （C）； （D）不存在但非。5、，则是的 。（）连续点；（）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。6、以下各项中和相同的是（ ）（），； （），；（C），；（D），。7、 = （ ）（） 1； （） -1； （C） 0； （D） 不存在。8、 （ ）（） 1； （） -1； （） ； （） 。9、在的某一去心邻域内有界是存在的（ ）（）充分必要条件；（） 充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件.10、 （ ）（） 1； （） 2； （C） ； （D） 0。11、设均为非负数列，且，则必有（ ）（A）对任意成立； （B）对任意成立；（C）极限不存在 ； （D）极限不存在。12、当时，函数的极限（ ）（）等于；（）等于；（）为；（）不存在但不为。三、计算解答1、计算下列极限（1）； （2） ； （3）； （4） ； （5）； （6）； （7）； （8）。、试确定之值，使。、利用极限存在准则求极限(1)。（2）设，且，证明存在，并求此极限值。5、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。6、设在上连续，且，证明在内至少有一点，使。第一单元 函数与极限测试题详细解答一、填空题1、 。 ， 。2、 。 。3、高阶 。 ，是的高阶无穷小。4、 。为有界函数，所以要使，只要，即。5、 。 。6、 。 ， ， 。7、 。8、 根据题意 要求，所以 。9、 ，的反函数为。10、 原式=。11、 由与，以及，可得 。12、 由反三角函数的定义域要求可得 解不等式组可得 ，的定义域为。13、 。14、 。15、2 。二、选择题1、选（） 令，由是上的偶函数，是 上的奇函数，。2、选（） 3、选（A） 4、选（） 5、选（） ， ， 6、选（） 在（A）中的定义域为，而的定义域为，故不正确在（B）的值域为，的值域为，故错在（C）中的定义域为R，的定义域为 ，故错7、选（） ，不存在8、选（） ， 9、选（） 由函数极限的局部有界性定理知，存在，则必有的某一去心邻域使有界，而在的某一去心邻域有界不一定有存在，例如，函数有界，但在点极限不存在10、选（） （11、选（D） （A）、（）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当充分大时”的情况，不可能得出“对任意成立”的性质。（）也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。12、选（D）当时函数没有极限，也不是。三、计算解答1、计算下列极限：（1）解：。（2）解：。（3）解：。（4）解：。（5）解：。（6）解：。（7）解：。（8）解：。、解：。、（1）.而 。（2）先证有界（数学归纳法）时，设时， 则 数列有下界，再证单调减， 且 即单调减，存在，设，则有 （舍）或，、解：先求极限 得 而 的连续区间为为跳跃间断点.。、解：令， 则 在 上连续而 由零点定理，使即 ，亦即 。第二单元 导数与微分一、填空题1、已知，则= 。2、存在，有，则= 。3、，则= 。4、二阶可导，则= ；= 。5、曲线在点 处切线与连接曲线上两点的弦平行。6、，则= 。7、，则= ，= 。8、若，则= 。9、曲线于点_处的切线斜率为2。10、设，则。11、设函数由方程确定，则。12、设则。二、单项选择1、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则=（ ）。（）； （）； （C）； （）。3、函数，且，则（ ）。（） ； （） ； （C） ； （）。4、已知为可导的偶函数，且，则曲线在 处切线的方程是 。（）；（）；（C）；（）。5、设可导，则= 。（） ； （） ； （C） ； （）。6、函数有任意阶导数，且，则= 。（）；（）；（C）；（）。7、若，则=（ ）（）； （）； （C）； （）。8、设函数在点处存在和，则是导数存在的（ ）（）必要非充分条件； （）充分非必要条件；（C）充分必要条件； （）既非充分又非必要条件。9、设则（ ）（）； （） ； （C）； （）。10、若可导，且，则有（ ）（）；（）；（C）；（）。11、设函数连续，且，则存在，使得（ ）（A）在内单调增加； （B）在内单调减少；（C）对任意的有；（D）对任意的有。12、设在处可导，则（ ）（A） ； （B）为任意常数；（C） ； （C）为任意常数。三、计算解答1、计算下列各题（1），求； （2），求；（3），； （4），求；（5），求；（6），求；（7），在处有连续的一阶导数，求；（8）设在处有连续的一阶导数，且，求。2、试确定常数之值，使函数处处可导。3、证明曲线与（为常数）在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数对任意实数有，且，证明。6、求曲线上过点处的切线方程和法线方程。第二单元 导数与微分测试题详细解答一、填空题1、 2、 3、 4、 ，5、 弦的斜率 ，当时，。6、7、， 8、 9、 ，由 ，在点处的切线斜率为210、 2 ，11、 方程两边对求导得 解得 。12、 由参数式求导公式得，再对求导，由复合函数求导法得。二、选择题1、 选（） 由 交点为 ， 3、 选（） 由得 4、 选（A） 由切线方程为：即 5、 选（） 6、 选（） 设，则 7、 选（） 又， 8、 选（） 在处可导的充分必要条件是在点的左导数和右导数都存在且相等。9、 选（） 另解：由定义，10、 选（） 11、由导数定义知，再由极限的保号性知 当时，从而 当时，因此C成立，应选C。12、由函数在处可导，知函数在处连续，所以。又，所以。应选C。三、计算解答1、计算下列各题（1）（2） ，（3）两边对求导：（4） 设则（5）两边取对数：两边求导： （6）利用定义：（7） 又注：因在处是否二阶可导不知，故只能用定义求。（8）2、易知当时，均可导，要使在处可导则 ， 且在处连续。即而 又 由3、证明：设交点坐标为，则 对两边求导：曲线在处切线斜率又由曲线在处切线斜率又两切线相互垂直。4、设分钟后气球上升了米，则 两边对求导：当m时， 当m时， （弧度/分）5、证明：6、解：由于，于是所求切线斜率为，从而所求切线方程为 ， 即 又法线斜率为 所以所求法线方程为 ，即 第三单元 微分中值定理与导数应用一、填空题1、_。2、函数在区间_单调增。3、函数的极大值是_。4、曲线在区间_是凸的。5、函数在处的阶泰勒多项式是_。6、曲线的拐点坐标是_。7、若在含的（其中）内恒有二阶负的导数，且_,则是在上的最大值。8、在内有_个零点。9、。10、。11、曲线的上凸区间是_。12、函数的单调增区间是_。二、单项选择1、函数有连续二阶导数且则（ ）（）不存在 ； （）0 ； （）-1 ； （）-2。2、设则在内曲线（ ）（）单调增凹的； （）单调减凹的；（）单调增凸的； （）单调减凸的。3、在内连续，则在 处（ ）（）取得极大值； （）取得极小值；（）一定有拐点； （）可能取得极值，也可能有拐点。4、设在上连续，在内可导，则：在内与：在 上之间关系是（ ）（）是的充分但非必要条件； （）是的必要但非充分条件；（）是的充分必要条件； （）不是的充分条件，也不是必要条件。5、设、在连续可导，且，则当时，则有（ ）（）； （）；（）； （）。6、方程在区间内（ ）（）无实根； （）有唯一实根；（）有两个实根； （）有三个实根。7、已知在的某个邻域内连续，且，则在点 处（ ）（）不可导； （）可导，且；（C）取得极大值； （）取得极小值。、设有二阶连续导数，且，则（）（）是的极大值；（）是的极小值；（）是曲线的拐点；（）不是的极值点。9、设为方程的二根，在上连续，在内可导，则在内（ ）（A）只有一实根； （B）至少有一实根； （C）没有实根； （D）至少有2个实根。10、在区间上满足罗尔定理条件的函数是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。11、函数在区间内可导，则在内是函数在内单调增加的（ ）（A）必要但非充分条件； （B）充分但非必要条件；（C）充分必要条件； （C）无关条件。12、设是满足微分方程的解，且，则在（ ）（A）的某个邻域单调增加； （B）的某个邻域单调减少；（）处取得极小值； （）处取得极大值。三、计算解答1、计算下列极限(1) ； (2)；(3) ； (4) ；(5) ； (6)。2、证明以下不等式(1)、设，证明。(2)、当时，有不等式。3、已知，利用泰勒公式求。4、试确定常数与的一组数，使得当时，与为等价无穷小。5、设在上可导，试证存在，使。6、作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小，并求出该体积最小值。7、若在上有三阶导数，且，设，试证：在 内至少存在一个，使。第三单元 微分中值定理与导数应用测试题详细解答一、填空题1、 2、 在上单调增3、20 令当时，；当时，极大值为 4、 ，当时，.当时，；当时，曲线在上是凸的5、6、 ，令，当时，；当时而当时，拐点为7、, 当时，单调增加；当时，单调减少8、1 ，在上单调增加又.在内有1个零点。9、 原式。10、 原式=。11、 令，当时，上凸，其它区间，上凹，故应填入。12、 函数的定义区间为，在定义区间内连续、可导，且，因为在内，所以函数在上单调增加。二、选择题1、选（） 2、选（） 当时，又 在上单调减且为凹的。3、选（） ，则，是的拐点；设，则，而是的极值点。4、选（）由在内的充分必要条件是在内（为常数），又因为在内连续，所以，即在 上。5、选（）由单调减少，.6、选（） 令，则；当时，单调增加，当时，单调减少当时，单调增加.而，在上有一实根，在上有一实根，在上有一实根。、选（） 利用极限的保号性可以判定的正负号：（在的某空心邻域）；由，有，即在取极小值。8、选（） 由极限的保号性：（在的某空心邻域）；由此（在的某空心邻域），单调增，又由，在由负变正，由极值第一充分条件，是的极小点 。9、选（B）由罗尔定理保证至少存在一点使。10、选（C），A选项在不连续，B选项在处不可导，D选项。11、选（B），如在单增，但，故非必要条件。12、选（），由有，所以在处取得极小值。三、计算解答1、计算极限（1）解： (2)解： 。(3)解： (4)解：(5)解： 。(6)解： 2、(1)证明：令 ，则在上连续 在上单调增加，得 ， 即(2)令在时 ，在上单调增 即3、解： 泰勒公式而对比 的导数有：4、解： ，5、即证： 令，则在上满足拉氏定理的条件，使即即 6、解： 设圆锥的高为，底面圆半径为，则有比例关系 令唯一驻点所以，当时，体积最小，此时7、解： 由题设可知在上存在，又，由罗尔定理，使，又，可知在上满足罗尔定理，于是，使，又，对在上再次利用罗尔定理，故有，使得。第四单元 不定积分一、填空题1、=_。2、=_。3、=_。4、=_。5、=_。6、=_。7、=_。8、=_。9、_。10、_。11、_。12、。二、单项选择1、对于不定积分，下列等式中（ ）是正确的.（A）； （B） ；（C） ； （D） 。2、函数在上连续，则等于（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D）。3、若和都是 的原函数，则（ ）（A） ； （B） ；（C）(常数)； （D）(常数)。4、若，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。5、设的一个原函数为，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。6、设，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。、（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。、若的导函数为，则的一个原函数是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。、为可导函数，且，又，则=（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。10、（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。11、=（ ）（A）；（B）；（） ； （D）。12、=（ ）（）；（）；（）；（）。三、计算解答1、计算下列各题(1)； (2)；(3)、； (4)；(5)、； (6)。2、设，当时求。3、 设为的原函数，当时有，且，求。4、 确定A、B使下式成立5、设的导数的图像为过原点和点的抛物线，开口向下，且的极小值为2，极大值为6，求。第四单元 不定积分测试题详细解答一、填空题1、。2、。3、。4、。5、。6、。7、。8、。9、 。10、11、令，则原式12、。二、选择题 1、选（）。由，知（A）、（B）、（）选项是错的，故应选。2、选（）。由微分的定义知。3、选（）。函数的任意两个原函数之间相差一个常数。4、选（B） 两边对微分得5、选（B） 原式6、选（C） 、选（D） 8、选（B）由题意知，的原函数为，取，故选B。9、选（C）由两边求导得，又，所以，所以，又因为，所以。10、选（）。11、选（B）。12、选（）。三、计算解答1、计算下列各题(1)解：；(2) 解：；(3) 解：；(4) 解： 令，则得 ；(5) 解：；(6) 解：。2、解： 3、解：对两边积分：由知又得4、解：由整理得由不定积分的定义：有即对此导数：，（也可直接两边求导求解）5、解：设 由，.由令驻点，又，为极小值点，为极大值点，而由第五单元 定积分一、填空题1、=_。2、=_。3、。4、。5、。6、。7、设在上连续，则 。8、设在上连续，且，则 。9、 。 10、 。11、 。12、_，_。13、_。二、单项选择1、（ ）（A） 0 ； （B） e ； （C） ln2 ； （D） 1 。2、若，则等于（ ）。（A） ； （B） ； （C） ； （D） 0 。3、定积分的值是（ ）。（A） 0 ； （B） 2 ； （C） 2e2+2； （D） 。4、设连续，已知，则n=（ ）（A） 1/4 ； （B） 1 ； （C） 2 ； （D） 4 。5、若连续函数满足关系式，则等于（ ）。（A）； （B） ； （C） ； （D） 。6、设，则有（ ）（A）； （B）；（C）；（D）。7、设则当时，是的（A）等价无穷小；（B）同阶但非等价无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。8、设是连续函数，且，则等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。9、设函数在闭区间上连续，且，则方程 在开区间内的根有（ ）（A）0个； （B）1个； （C）2个； （D）无穷多个。10、设连续，则（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。11、设是连续函数，且，则=（ ）（A）； （B）； （）； （D）。12、=（ ）（）；（）；（）；（）。三、计算解答1、计算下列各题(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)。2、 已知在的邻域内可导，且，求。3、设其中，求。4、证明方程在区间内有且仅有两个不同实根。5、已知在上连续，且，证明，其中。6、已知在上连续，定义，证明，并求。第五单元 定积分测试题详细解答一、填空题1、 。2、 。3、 。4、 。5、 。6、 7、 两边求导：，令 得8、2 9、 10、0 11、 ， 12、 原式二、选择题1、选（） 2、选（A）3、选（）4、选（） 令 得 5、选（）两边求导 6、选（D） 因为，7、选（B） 8、选（A） 。9、选（B） 因为，则有，又.可知是严格增的，由介值定理知存在唯一的一个，使。10、选（A）首先通过积分换元，把被积函数中的参变量“解脱”出来：由此， 原式=。11、选（A）设，则有恒等式。为求常数，两边取由到的积分得，解得。由此，。12、选（A） 三、计算解答1、计算下列各题(1) 解： 令 得(2) 解：(3) 解：(4) 解：(5) 解：。(6) 解：。2、解：3、解： 4、解：令 则 令 驻点 在内，单调增加.在内，单调减少又 而在内有且仅有一个零点，在内有且仅有一个零点即 方程在内有且仅有两个不同实根5、解：证：其中6、解：即 而 第六单元 定积分的应用一、填空题1、由曲线及轴所围成平面区域的面积是_ 。2、由曲线及直线所围成平面区域的面积是_。3、由曲线 所围成平面区域的面积是_ 。4、由曲线与直线所围成平面区域的面积是_ 。5、连续曲线直线，及轴所围图形绕轴旋转一周而成的立体的体积_，绕轴旋转一周而成的立体的体积_。6、抛物线及直线所围成的图形绕轴旋转而成的立体的体积_。7、渐伸线，上相应于从0变到的一段弧长为_。8、曲线与轴所围成的图形的面积。9、界于之间由曲线所围图形的面积_。10、对数螺线自到的弧长。11、心形线和直线围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积为_。二、选择题1、曲线及轴所围图形的面积（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。2、曲线所围面积（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。3、曲线及所围面积（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。4、曲线上一段弧长（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。5、双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。6、绕轴所产生的旋转体的体积为（）（）；（）；（）；（）。、曲线上相应于从到的一段弧的长度（ ）（）； （）；（）；（）。8、曲线的一个周期的弧长等于椭圆的周长的（ ）（）1倍；（）2倍；（）3倍；（）4倍。三、计算解答1、求抛物线及其在和处的切线所围成图形的面积。2、求双纽线所围图形的面积。3、求由平面图形绕轴旋转的旋转体体积。4、求摆线的一拱及绕轴旋转的旋转体的体积。5、求心形线的全长，其中是常数。6、求由曲线及所围图形的面积。7、计算底面是半径为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。第六单元 定积分的应用测试题详细解答一、填空题1、1 与及轴交点为，取微积分变量则2、 与交点为，取微积分变量则。3、 。4、 。5、由旋转体体积公式知：，。6、 。7、 。8、 ，零点为则。9、 10、 由极坐标弧长公式得所求的弧长11、 由得，时，由元素法。二、选择题1、选（C）。以为积分变量，以为积分变量。2、选（D）。由极坐标曲边扇形面积公式，知。3、选（D）。4、选（B）。5、选（A）。由方程可以看到双纽线关于轴、轴都对称，只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程比较复杂而极坐标方程较为简单：。其在第一象限部分的变化范围是：。再由对称性得。6、选（B）。绕轴旋转所得旋转体的体积。7、选（C）。从而弧长元素，所求弧长为。8、选（A）。设为曲线的一个周期的弧长，为椭圆的周长，显然，将椭圆化成参数方程则从而有=。三、计算解答1、解：切线方程分别为和，其交点坐标是，。2、解：由对称性。3、解：。4、解：。5、解：由极坐标系下的弧微分公式得，由于以为周期，因而的范围是。又由于，心形线关于极轴对称。由对称性，。6、解：由于在处取极小值所以可得所围图形面积为。7、解：取固定直径为轴，为积分变量且，过点且垂直于轴的立体截面面积为于是。第九单元 重积分一、填空题1、设为常数，则=_2、区域D由闭区域构成，则=_3、设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得=_4、计算=_，其中 D是由直线所围成的闭区域。5、设D是顶点分别为的直边梯形，计算=_6、改变下列二次积分的积分次序=_；=_；=_；=_；7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分=_；=_；=_()；8、二重积分=_，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。9、将下列三重积分化为三次积分=_，为曲面及平面所围成的闭区域；=_，为曲面及面所围成的闭区域；10、区域为三坐标面及平面所围成的闭区域，则三重积分=_.二、选择题1、分别为单位圆盘在一、二、三、四象限的部分，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D)0. 2、，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .3、由不等式确定：，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .4、为单位球：，则=（）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .5、由不等式确定：，则（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .6、设有空间闭区域，则有（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .7、设有平面闭区域，。则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 0.三、计算解答1、设区域，计算.2、计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.3、计算，其中D是由抛物线，及直线所围成的闭区域.4、计算，其中D是由所围成的闭区域.5、计算，其中D是由，直线，所围成的闭区域.6、求锥面被柱面所割下部分面积.7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积.8、计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.9、，其中是由与所围成的闭区域.10、计算三重积分，其中是与平面所围成的闭区域.11、计算三重积分，其中是与平面，所围成的闭区域.12、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域.13、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域.第九单元 重积分测试题详细解答一、填空题1、设为常数，则=2、区域D由闭区域构成，则=3、设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得=4、=，其中 D是由直线所围成的闭区域。分析：5、设D是顶点分别为的直边梯形，计算=分析：6、改变下列二次积分的积分次序；7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分；8、二重积分=，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。分析：原式=9、将下列三重积分化为三次积分，；，；10、区域为三坐标面及平面所围成的闭区域，则三重积分=_分析：二、选择题1、选(A)；解答：在第一象限和第二象限是对称的。所以在第一二象限的值相等。2、选(A)；3、选(D)；解答：与相交的部分可分为两部分时，为锥体时，为半球体4、选(B)解答：注意，计算时5、选(C)6、选(C)7、选(A) 三、计算解答1、设区域，计算.解：2、计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域。解：3、计算，其中D是由抛物线，及直线所围成的闭区域。解：4、计算，其中D是由所围成的闭区域。解：5、计算，其中D是由，直线，所围成的闭区域。解：6、求锥面被柱面所割下部分面积解：,投影区域D：; 所以面积7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。解： ,所以8、计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。解：9、，其中是由与所围成的闭区域。解：10、计算三重积分，其中是与平面所围成的闭区域。解：用柱面坐标变换,令11、计算三重积分，其中是与平面，所围成的闭区域。解：用柱面坐标变换,令12、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域。解：用球面坐标变换积分，令：13、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域。解：用球面坐标变换积分，令：第十章 曲线积分与曲面积分一、填空题1、设L是平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于_.2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，则=_.3、 设函数在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续偏导数，且，则曲线积分=_.4、设L是抛物线上点与点之间的一段弧=_.5、则=_。6、设L是从沿到的圆弧，则=_。7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则_.8、区域D由和所围成的闭区域，则区域D的面积为_.9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则=_.10、在面上，是某个函数的全微分，则这个函数是 _.11、设是由平面，及所围成的四面体的整个边界曲面，则= _.12、设是的外侧，则=_.13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为_.二、选择题1、设曲面是上半球面：，曲面是曲面在第一卦限中的部分，则有（ ）.(A) ；(B) ；(C) ；(D) .2、设曲线L:,其线密度，则曲线的质量为（ ）.(A) ；(B) ；(C) ；(D) .3、=（ ），其中L为圆周.(A) ；(B) ；(C) ；(D) .4、设是从到点的直线段，则与曲线积分不相等的积分是（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .5、设L为，方向按增大的方向，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ； (D) .6、用格林公式计算，其中L为沿逆时针绕一周，则得（ ）(A) ；(B) ；(C) ； (D) .7、L是圆域D: 的正向周界，则=（ ）(A) ；(B) 0；(C) ； (D) .8、设为在面上方部分的曲面，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ； (D) .9、设为球面，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ； (D) .10、设曲面：，方向向下，D为平面区域，则=（ ）(A) 1；(B) ；(C) ； (D) 0.11、设曲面：的上侧，则=（）(A) ；(B) ；(C) ；（D) 0.12、设曲面：的外侧，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；（D) .三、计算解答1、，其中C为以为顶点的三角形的边界。2、，其中为曲线上相应于从0到2的这段弧。3、计算，其中是抛物线从到的一段弧.4、，其中为有向闭折线，这里的依次为.5、，其中C为正向圆周。6、计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。7、利用曲线积分求星形线所围图形的面积。8、，为球面上的部分。9、，为球面的外侧。10、计算，为椭球面的外侧。第十单元 曲线积分与曲面积分测试题详细解答一、填空题1、设L是平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于分析：2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，则=_5_.分析：3、 设函数在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续偏导数，且，则曲线积分=4、设L是抛物线上点与点之间的一段弧=分析：5、则=_3_。分析：6、设L是从沿到的圆弧，则=。分析：令：7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则8、区域D由和所围成的闭区域，则区域D的面积为分析：令:面积9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则=_0_分析：10、在面上，是某个函数的全微分，则这个函数是 分析：设原函数为，则，则所以11、设是由平面，及所围成的四面体的整个边界曲面，则= 分析：在，三个坐标面上，积分值为0。则只求在面上的积分即可。，.所以12、设是的外侧，则=分析：把积分曲面分成和两部分，则它们在面上的投影区域都是的圆域。13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为二、选择题1、选(C)解答：在第一卦限，对三个坐标的曲面积分相等，即，而在一、二、三、四卦限中的积分值相等。所以2、选(A)解答：3、选(B)解答：4、选(D)解答：5、选(C)解答：6、选(B)解答：7、选(D)解答：8、选(D)解答：,9、选(D)解答：10、选(C)11、选(C)解答：12、选(B)三、计算解答1、，其中C为以为顶点的三角形的边界。解：2、，其中为曲线上相应于从0到2的这段弧。解：3、计算，其中是抛物线从到的一段弧。解：4、，其中为有向闭折线，这里的依次为.解：5、，其中C为正向圆周。解：6、计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。解：令，当时，有,记所围成闭区域为，当时，有当时，选取适当小的作为内的圆周。，记和所围成的闭区域为，其中方向为逆时针方向。7、利用曲线积分求星形线所围图形的面积。解：令，则8、，为球面上的部分。解：9、，为球面的外侧。解：10、计算，为椭球面的外侧。解：第十二单元 微分方程一、填空题1、方程是 阶微分方程。2、以函数为通解的微分方程是 。3、设曲线上任意一点的切线垂直于此点与原点的连线，则该曲线所满足的微分方程为 。4、连续函数满足关系式，则= 。5、微分方程的通解 。6、以为特征根的二阶常系数线性齐次微分方程是 。7、判断对错：（填“正确”或“错误”）（1）所有微分方程都存在通解。 （2）微分方程的通解包含了所有的解。 （3）设为某二阶微分方程的解，其中为任意常数，则此解是该方程的通解。 （4）若函数是一阶线性微分方程两个不相同的特解，则就是该方程的通解。 8、若是全微分方程，则函数应满足 。9、已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 。10、微分方程满足初始条件的特解 。11、求方程的通解时可令，则 。12、微分方程的通解为 。二、选择题1、下列方程中（ ）是常微分方程(A)；(B)；(C)；(D)。2、下列方程中（ ）二阶微分方程(A)； (B)；(C)； (D)。3、微分方程的通解是（ ），其中均为常数(A)； (B)；(C)； (D)。4、一曲线在其上任意一点处的切线斜率等于，这曲线是（ ）(A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆。5、下列微分方程：（1），（2），（3）中，线性微分方程是（ ）(A)（1）； (B)（2）； (C)（3）； (D)（1）、（2）、（3）均不是。6、曲线经过点，且满足微分方程，则当时，（ ）(A)0； (B)1； (C)2； (D)4。7、已知微分方程有一特解，则此方程通解为（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。8、设是方程的解，若，且，则在点（ ）(A)取得极大值； (B)取得极小值； (C)某邻域内单调增； (D)某邻域内单调减。9、若和是二阶齐次线性方程的两个特解，、为任意常数，则（ ）(A)是该方程的通解；(B)是该方程的特解；(C)是该方程的解；(D)不一定是该方程的解。10、曲线经过原点，且在原点处切线与直线平行，而满足方程，则曲线方程是（ ）(A)；(B)；(C) ；(D) 。11、微分方程的特解的形式为（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。12、微分方程的特解的形式为（ ）(A)； (B)； (C)； (D) 。三、计算解答1、验证由方程所确定的函数是微分方程的通解。2、求解下列微分方程：（1）；（2）；（3）；（4），；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。3、设，为可微函数，求。4、已知，曲线积分与路径无关，求函数。5、设都是方程的特解，且不恒等于常数，证明为方程的通解（其中为任意常数）。6、一质量为的质点作直线运动，从速度等于零时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系数为），试求此质点的速度和时间的关系。第十二单元 微分方程单元测试题详细解