2012年长春市四模理科数学试题及答案.doc

2012年长春市高中毕业生第四次调研测试数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第卷22题24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 选择题必须用2b铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设集合,则为a. b. c. d. 2. 复数的共轭复数为a. b. c. d. 3. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是a. b. c. d.4. 等差数列的公差为3，若成等比数列，则=a. 8 b. 10c. 12 d. 165. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是a. 4b. 5c. 6d. 76. 二项式的展开式中的系数为a. b. c. d. 7. 函数的部分图像如图，则a. b. c. d. 8. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲不排在乙之后的概率为a. b. c.d. 9. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过点垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 a. b. c. d. 10. 在中，点满足 ，则的取值范围是 a. b. c. d. 11. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为 a. b. c. d. 12. 若函数没有零点，则的取值范围为 a. bc d第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若函数，则_.14. 为检查国家全民健身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间()，画出右边频率分布直方图，已知该社区共有成年居民1500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在内的人数约为_.15. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，米，并在测得塔顶的仰角为，则塔的高度_米.16. 圆内有一点，为过点但不与轴垂直的弦，o为坐标原点. 则的取值范围 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分） 等差数列的各项均为正数，其前项和为，满足，且.求数列的通项公式；设，求数列的最小值项.18. （本小题满分12分） 某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学生序号12345678910数 学1.312.325.736.750.367.749.052.040.034.3物 理2.39.731.022.340.058.039.060.763.342.7学生序号11121314151617181920数 学78.350.065.766.368.095.090.787.7103.786.7物 理49.746.783.359.750.0101.376.786.099.799.0 学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀.对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用表示这两名学生数学科得分的和，求的分布列和数学期望；根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀 与否和数学成绩优秀与否有关系？(下面的临界值表和公式可供参考：p(k2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 ，其中)19. （本小题满分12分） 如图，棱柱的所有棱长都等于， ，平面平面.证明：；求二面角的余弦值；在直线上是否存在点,使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.求椭圆方程；点在圆上，点在第一象限，过点作圆， 的切线交椭圆于、两点，问是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数.是否存在实数，使得在上为增函数，在上为减函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.如果当时，都有恒成立，试求的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在中，内角为钝角，点分别是边上的点，点分别是边上的点，且，.求证：四点共圆；若，求线段的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知曲线c的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数，).化曲线c的极坐标方程为直角坐标方程；若直线经过点(1,0)，求直线被曲线截得的线段的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.若不等式的解集为，求实数的值；在的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围2012年长春市高中毕业生第四次调研测试数学(理科)参考答案及评分细则一、 选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)题号123456789101112答案dbbcdaadddcc简答与提示：1. d ，. 故选d.2. b ，其共轭复数为. 故选b.3. b 四个函数中只有函数既是奇函数又是增函数. 故选b.4. c 令首项为，根据条件有，.故选c.5. d ，. 当时，；当时，. 即该程序输出的. 故选d.6. a ，令，从而的系数为 . 故选a.7. a 通过观察图像可知函数图像过和两个固定点，由可知：；由可知：.从而. 故选a.8. d . 故选d.9. d 由于是以为顶点的等腰三角形，所以为锐角三角形的充要条件是的锐角，即，解得，而，所以. 故选d.10. d 在中，根据余弦定理得.根据正弦定理得 从而有 .又，所以的取值范围是. 故选d.11. c 此几何体是底面边长为2，高为的正四棱锥，可算出其体积为，表面积为12. 令内切球的半径为，则，从而内切球的体积为 故选c.12. c 函数的定义域为，作出函数和的图像，前者是圆的上半圆，后者是一条折线段，观察图像很容易发现：当时，在上恒成立；当时，在上恒成立；当时，在上总有实数根. 故选c.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 14. 960 15. 16. 简答与提示:13. .14. (人).15. 在中，根据正弦定理得， . 在中，为所求. 16. 设直线ab的斜率为，则直线ab的方程为. 设，则由可以得.从而有.令，则.当时，；当时，. 由于(当时取等号)，所以但.综合可知为所求.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用.【试题解析】解：由，可得.又，可得. 数列是首项为1，公差为1的等差数列，. (4分)根据得，.由于函数在上单调递减，在上单调递增，而，且，所以当时，取得最小值，且最小值为.即数列的最小值项是. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容.【试题解析】解：根据条件的取值为2，3，4，而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有，.所以的分布列为234 (6分)数学期望. (8分)根据条件列出列联表如下：物理优秀物理不优秀合计数学优秀426数学不优秀21214合计61420所以.又，因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系. (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识.【试题解析】证明：由条件知四边形是菱形，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，又平面，因此. (3分)因为，是菱形，所以，而，所以是正三角形. 令，连结，则两两互相垂直.如图所示，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为.设是平面的法向量，则.令，则即.设二面角的平面角为，则是锐角，并且因此二面角的余弦值为. (8分)设这样的点存在，且，而，所以，又，所以，设是平面的法向量，则.令，则，即.要使平面当且仅当，所以.这说明题目要求的点存在，实际上，延长到点，使得即得到所求的点.(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：由右焦点为，可知.设左焦点为，则，又点在椭圆上，则，即椭圆方程为； (4分)设，则，.连结，由相切条件知：，显然，.同理.为定值. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容.【试题解析】解：存在，使得结论成立. 对函数求导得，.若，使在上递增，在上递减，则，这时，当时，递增；当时，递减. (5分)令，得 .若，即，则对恒成立，这时在上递减，符合题意.若，则当时，不可能恒小于等于0.若，则，不合题意.若，则，使.时，这时递增，不合题意.综上可得实数的取值范围是. (12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.【试题解析】解：连结，则因为，所以四边形为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故，四点共圆，同理，四点也共圆，从而四点，在由三点，所确定的圆上，因此这四点共圆； (5分) 连结，则由得，五点共圆，因为四边形为等腰梯形，所以.由可得，所以三角形和三角形全等，所以为所求. (10分)23. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.【试题解析】解：