2014届越秀区高三摸底考试数学（文科）试卷及答案.doc

第 1 页 共 12 页 20142014 届越秀区高三摸底考试试卷届越秀区高三摸底考试试卷 数数 学（文科）学（文科） 本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2121 小题，满分小题，满分 150150 分考试用时分考试用时 120120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必用答卷前，考生务必用 2b2b 铅笔在铅笔在“考生号、座号考生号、座号”处填涂考生处填涂考生 号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班 级，以及自己的姓名填写在答题卷上级，以及自己的姓名填写在答题卷上 2 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2b2b 铅笔把答题卷上对应题目选铅笔把答题卷上对应题目选 项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案，答案不能答在试卷上其他答案，答案不能答在试卷上 3 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写 在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划 掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液不按以上要求作答的答案无效液不按以上要求作答的答案无效 4 4作答选做题时，请先用作答选做题时，请先用 2b2b 铅笔填涂选做题的题号对应的信息铅笔填涂选做题的题号对应的信息 点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效 5 5考生必须保持答题卷的整洁考试结束后，将试卷和答题卷考生必须保持答题卷的整洁考试结束后，将试卷和答题卷 一并交回一并交回 参考公式：参考公式： 圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式srl，其中，其中r是圆锥的底面半径，是圆锥的底面半径，l是圆锥是圆锥 的母线长的母线长. . 第 2 页 共 12 页 锥体的体积公式锥体的体积公式 1 3 vsh，其中，其中s是锥体的底面积，是锥体的底面积，h是锥体的高是锥体的高. . 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分在每小分在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.1.已知全集已知全集1,2,3,4 5u ，集合，集合1,2a ，2,3b ，则，则 ua b （）（ ）. . a.a.3 b.b.4,5 c.c.1,2,3 d.d.2,3,4,5 2.2.已知已知 3 ( )logf xx，则，则( 3)f（ ）. . a.a. 1 2 b.b. 1 3 c.c.3 d.d.3 3.3.下列函数为偶函数的是（下列函数为偶函数的是（ ）. . a.a. 2 (1)yx b.b. 3 yx c.c. 1 yx x d.d. sinyxx 4.4.设设ar，则，则“1a ”是是“直线直线 2 1ya x与直线与直线1yx平行平行”的（的（ ）. . a.a.充分不必要条件充分不必要条件 b.b.必要不充分条件必要不充分条件 c.c.充要条件充要条件 d.d.既不充分也不必要既不充分也不必要 条件条件 5.5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长 为为 6 6、腰长为、腰长为 5 5 的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为（的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为（ ）. . a.a.4 b.b.5 c.c.12 d.d.15 6.6.某校高二年级某校高二年级 100100 名学生期中考名学生期中考 试数学成绩的频率分布直方图如试数学成绩的频率分布直方图如 图所示，其中成绩分组区间是：图所示，其中成绩分组区间是： 第 3 页 共 12 页 50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，则这，则这 100100 名学生数学名学生数学 成绩在成绩在70,100分数段内的人数为（分数段内的人数为（ ）. . a.45a.45 b.50b.50 c.55c.55 d.60d.60 7.7.在在abcabc中，中， 4 cos 5 a ，8ab ac ， 则则abcabc的面积为（的面积为（ ）. . a.a. 6 5 b.3b.3 c.c. 12 5 d.6d.6 8.8.已知已知0,0ab，则，则 1 4ab ab 的最小值是（的最小值是（ ）. . a.2a.2 b.b.2 2 c.4c.4 d.5d.5 9.9.若函数若函数( )f x的零点与的零点与( )43 x g xex的零点之差的绝对值不超过的零点之差的绝对值不超过 0.250.25，则，则( )f x可以是（可以是（ ）. . a.a.( )21f xx b.b.( )21f xx c.c.( )21 x f x d.d.( )lg(2)f xx 10.10.若过点若过点(2,0)的直线与曲线的直线与曲线 3 yx和和 2 74yaxx都相切，则都相切，则a的值的值 为（为（ ）. . a.2a.2 b.b. 5 16 c.2c.2 或或 49 16 d.3d.3 或或 5 16 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，考生作答小题，考生作答 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分，满 分分 2020 分分 （一）必做题（一）必做题（11111313 题）题） 11.11.在复平面内，复数在复平面内，复数 2i i z 对应的点的坐标对应的点的坐标 是是 . . 12.12.执行如图所示的程序框图，则输出的执行如图所示的程序框图，则输出的s s的的 值是值是 . . 第 4 页 共 12 页 13.13.在区域在区域 0, 0, 60 a b ab 内随机取一个点内随机取一个点( , )a b，则关于，则关于x的二次函数的二次函数 2 1yaxbx在区间在区间 ), 1上是增函数的概率是上是增函数的概率是 . . （二）选做题（二）选做题（14141515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题） 1414 （几何证明选讲选做题）（几何证明选讲选做题） 如图，如图，abab为为o o的直径，弦的直径，弦acac、bdbd相交于点相交于点p p，若，若3ab ， 1cd ，则，则cosbpc的值为的值为 . . 1515 （坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线已知曲线c c的参数方程是的参数方程是 cos 1 sin x y （为参数）为参数） ，以直角坐标系，以直角坐标系 的原点为极点，的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极 坐标系，则曲线坐标系，则曲线c c的极坐标方程是的极坐标方程是 . . 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分8080分解答须写出文字说明、证分解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤明过程和演算步骤 16.16.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知函数已知函数( )sin()(0,0,0)f xaxa，xr的最大值是的最大值是 1 1，最小正周期是，最小正周期是2，其图像经过点，其图像经过点(0,1)m （1 1）求）求( )f x的解析式；的解析式； （2 2）设）设a、b、c为为abcabc的三个内角，且的三个内角，且 3 ( ) 5 f a ， 5 ( ) 13 f b ，求，求( )f c的值的值 第 5 页 共 12 页 17.17.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位 a a、b b、c c的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见 下表（单位：人）：下表（单位：人）： 科研单位科研单位相关人数相关人数抽取人数抽取人数 a a1616x b b12123 3 c c8 8 y （1 1）确定）确定x与与y的值；的值； （2 2）若从科研单位）若从科研单位a a、c c抽取的人中选抽取的人中选 2 2 人作专题发言，求这人作专题发言，求这 2 2 人都来自科研单位人都来自科研单位a a的概率的概率. . 18.18.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 如图，菱形如图，菱形abcd的边长为的边长为 4 4，60bad ， ，acbdo. .将菱形将菱形 abcd沿对角线沿对角线ac折起，得到三棱锥折起，得到三棱锥bacd，点，点m是棱是棱bc的中的中 点，点，2 2dm . . （1 1）求求证证：/om平平面面abd； （2 2）求求证证：平平面面dom平平面面abc； （3 3）求求三三棱棱锥锥bdom的的体体积积 . . 第 6 页 共 12 页 1919 （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和项和 2* 2() n snkn k n，且，且 n s的最大值为的最大值为 4.4. （1 1）确定常数）确定常数k k的值，并求数列的值，并求数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n； （2 2）令）令 5 3 n n n a b ，数列，数列 b bn n 的前的前n n项和为项和为t tn n，试比较，试比较t tn n与与 3 2 的的 大小大小. . 20.(20.(本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 已知双曲线已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy cab ab 经过点经过点(4, 15)p，且双曲线，且双曲线c的的 渐近线与圆渐近线与圆 22 (3)4xy相切相切. . （1 1）求双曲线）求双曲线c的方程；的方程； （2 2）设）设( ,0)f c是双曲线是双曲线c的右焦点，的右焦点， 00 (,)m xy是双曲线是双曲线c的右支的右支 上的任意一点，试判断以上的任意一点，试判断以mf为直径的圆与以双曲线实轴为为直径的圆与以双曲线实轴为 直径的圆的位置关系，并说明理由直径的圆的位置关系，并说明理由. . 2121 （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 第 7 页 共 12 页 已知函数已知函数( )1 ln(02) 2 x f xx x . . （1 1）试问）试问( )(2)f xfx的值是否为定值？若是，求出该定值；的值是否为定值？若是，求出该定值； 若不是，请说明理由；若不是，请说明理由； （2 2）定义）定义 21 1 1221 ( )( )( )() n n i in sffff nnnn ，其中，其中 * nn，求，求 2013 s； （3 3）在（）在（2 2）的条件下，令）的条件下，令12 nn sa . .若不等式若不等式2()1 n am n a对对 * n n且且2n 恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围. . 20142014 届越秀区高三摸底考试数学（文科）参考答案届越秀区高三摸底考试数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1010小题，每小题小题，每小题5 5分，满分分，满分5050分分 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 答案答案 d da ad da ad dc cb bc cb bc c 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，考生作答小题，考生作答 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分，满 分分 2020 分分 11.11.(1, 2) 12.12.200 13.13. 2 3 14.14. 1 3 15.15. 2sin 第 8 页 共 12 页 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分8080分分 16.16.（1 1）因为函数）因为函数( )f x的最大值是的最大值是 1 1，且，且0a ，所以，所以1a . . 因为函数因为函数( )f x的最小正周期是的最小正周期是2，且，且0，所以，所以 2 2t ， 解得解得1. . 所以所以( )sin()f xx. .因为函数因为函数( )f x的图像经过点的图像经过点(0,1)m，所以，所以 sin1. . 因为因为0，所以，所以 2 . .所以所以( )sin()cos 2 f xxx . . （2 2）由（）由（1 1）得）得( )cosf xx，所以，所以 3 ( )cos 5 f aa， 5 ( )cos 13 f bb. . 因为因为,(0, )a b，所以，所以 2 4 sin1 cos 5 aa， 2 12 sin1 cos 13 bb. . 因为因为, ,a b c为为abcabc的三个内角，所以的三个内角，所以 coscos()cos()cabab . . 所以所以( )coscos()(coscossinsin)f ccababab 35412 () 513513 33 65 . . 17.17.（1 1）依题意得，）依题意得， 3 16128 xy ，解得，解得4x ，2y . . （2 2）记从科研单位）记从科研单位a a抽取的抽取的 4 4 人为人为 1234 ,a a a a，从科研单位，从科研单位c c抽取的抽取的 2 2 人为人为 12 ,c c，则从科研单位，则从科研单位a a、c c抽取的抽取的 6 6 人中选人中选 2 2 人作专题发人作专题发 言的基本事件有：言的基本事件有： 1213141112 , , , , , ,a aa aa aa ca c 23242122 , ,a aa aa ca c 343132414212 , , , ,a aa ca ca ca cc c共共 1515 种种. . 记记“选中的选中的 2 2 人都来自科研单位人都来自科研单位a a”为事件为事件m，则事件，则事件m包含包含 第 9 页 共 12 页 的基本事件有：的基本事件有： 121314232434 , , ,a aa aa aa aa aa a共共 6 6 种种. . 则则 62 () 155 p m . .所以选中的所以选中的 2 2 人都来自科研单位人都来自科研单位a a的概率为的概率为 2 5 . . 18.18.（1 1）因为）因为o o为为acac的中点，的中点，m m为为bcbc的中点，所以的中点，所以/ /omab. . 因为因为om 平平面面a ab bd d，ab 平面平面a ab bd d，所以，所以 /om 平面平面abd. . （2 2）因为在菱形）因为在菱形abcdabcd中，中，od ac ，所以在三棱锥，所以在三棱锥b acd 中，中， odac . . 在菱形在菱形abcdabcd中，中，ababadad4 4， 60bad ，所以，所以bdbd4.4.因为因为o o 为为bdbd的中点，的中点， 所以所以 1 2 2 odbd . .因为因为o o为为acac的中点，的中点，m m为为bcbc的中点，所以的中点，所以 1 2 2 omab . . 因为因为 222 8odomdm ，所以，所以 90dom ，即，即od om . . 因为因为ac 平面平面a ab bc c，om 平面平面a ab bc c， acomo ，所以，所以 od 平面 平面a ab bc c. . 因为因为od 平面平面domdom，所以平面，所以平面dom平面平面abc. . （3 3）由（）由（2 2）得，）得，od 平面平面b bo om m，所以，所以od是三棱锥是三棱锥d bom 的高的高. . 因为因为 2od ， 113 sin602 23 222 bom sobbm ， 所以所以 112 3 32 333 b domd bombom vvsod . . 19.19.（1 1）因为）因为 22* ()() n snkkk n，所以当，所以当nk时，时， n s取得最大值取得最大值 2 k. . 依题意得依题意得 2 4k ，又，又 * kn，所以，所以2k . .从而从而 2 4 n snn . . 当当2n时，时， 22 1 (4 ) (1)4(1)52 nnn assnnnnn . . 第 10 页 共 12 页 又又 11 3as也适合上式，所以也适合上式，所以 * 52 () n an nn. . （2 2）由（）由（1 1）得）得52 n an，所以，所以 52 33 n n nn an b . . 所以所以 123 2462 3333 n n n t ， 2341 12462 33333 n n n t . 由由得，得， 1231 222222 333333 n nn n t ， 所以所以 121 1 1 111323 3 1 1 3333322 3 1 3 n n nnnn nnn t . . 因为因为 323 0 22 3 n n n t ，所以，所以 3 2 n t . . 20.20.（1 1）因为双曲线）因为双曲线 22 22 :1 xy c ab 经过点经过点(4, 15)p，所以，所以 22 1615 1 ab . 因为双曲线因为双曲线c的的渐近线的的渐近线0bxay与圆与圆 22 (3)4xy相切，相切， 所以圆心所以圆心(0,3)到直线到直线0bxay的距离等于的距离等于2 2， 即即 22 3 2 a ba ，整理得，整理得 22 54ab. 联立联立与与，解得，解得 2 2 4, 5. a b 所以双曲线所以双曲线c的方程为的方程为 22 1 45 xy （2 2）由（）由（1 1）得，）得， 22 3cab，所以双曲线，所以双曲线c的右焦点为的右焦点为(3,0)f. . 设双曲线设双曲线c的左焦点为的左焦点为( 3,0)f ，因为点，因为点m在双曲线在双曲线c的右支上，的右支上， 所以所以4mfmf ，即，即 2222 0000 (3)(3)4xyxy， 所以所以 2222 0000 (3)4(3)xyxy. . 因为以双曲线因为以双曲线c的实轴为直径的圆的圆心为的实轴为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为，半径为 1 2r ； 以以mf为直径的圆的圆心为为直径的圆的圆心为 00 3 , 22 xy ，半径为，半径为 22 200 1 (3) 2 rxy， 第 11 页 共 12 页 所以两圆圆心之间的距离为所以两圆圆心之间的距离为 22 22 00 00 31 (3) 222 xy dxy . . 因为因为 222222 00000012 111 (3)4(3)2(3) 222 dxyxyxyrr ， 所以以所以以mf为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切. . 21.21.（1