数学与应用数学本科毕业论文-Lorenz混沌系统的自适应同步控制.doc

2015年度本科生毕业论文（设计）Lorenz混沌系统的自适应同步控制院 系: 数学学院 数学与应用数学系 专 业: 数学与应用数学 年 级: 2011级 学生姓名: 木 三 刀 学 号: 201105050141 导师及职称: 李 达 （ 教 授） 2015年5月2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate Synchronization of Lorenz system by adaptive controlDepartment: College of MathematicsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2011Students Name: Mu SadaoStudent No.:201105050141Tutor:Li Da（Professor）Finished by June, 2015毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 李 雪毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主席（组长）摘要 本文考虑Lorenz混沌系统的自适应同步问题。通过设计一个适当的自适应控制器，利用Lyapunov函数的稳定性理论并通过严格的数学证明得到自适应同步的充分条件。最后应用数值仿真，表明所设计的混沌控制器的可行性。关键词: Lorenz混沌系统；Lyapunov函数；自适应同步ABSTRACTThis paper deals with adaptive synchronization of Lorenz chaotic systems. By designing an appropriate adaptive controller and using the Lyapunov stability theorem, sufficient conditions for the adaptive synchronization are derived through rigorous mathematical proof. Finally, numerical simulations are offered to show the feasibility of the obtained results.Keywords: Lorenz chaotic system; Lyapunov function; Adaptive control目录 符号和注记第一章 引言1 1.1 混沌系统的研究现状 1.1.1 国外混沌学的发展 1.1.2 国内混沌学的发展1.2 混沌的特性4 1.2.1 混沌的产生81.2.2 混沌的定义101.3 混沌同步的概念4 1.3.1 同步的存在81.3.2 混沌同步的概念10 1.3.3 混沌同步的方法 1.4 混沌同步的应用 1.5 混沌同步控制 1.6 随机因素对混沌同步的影响 1.7 鲁棒性介绍第二章 准备工作第三章 主要结果4第四章 举例14第五章 总结与展望20参考文献21致谢符 号 和 注 记 实数域；非负实数域；矩阵的转置；单位矩阵；矩阵的最大特征值；向量的范数，；向量的范数，；函数对的导数。第一章 引言1.1 混沌系统的研究现状所谓混沌是指确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是非线性科学的重要成果之一。广泛存在于自然界，诸如物理、化学、生物学、社会科学等科学领域。数理混沌理论认为，非线性是混沌系统之所以不稳定或出现混沌现象的根本原因。所以我们把一个存在难以预料因果关系的非线性系统就称为混沌系统。1.1.1 国外混沌学的发展混沌同步的理论研究始于上个世纪80年代中期，理论和实验研究则从上个世纪90年代初开始，进而出现混沌同步的研究热潮，是近年来非线性科学领域中一个热点问题。1903 年, 美国数学家Poincare J . H.在科学与方法中提出了Poincare 猜想。该猜想将动力学系统与拓扑学两大领域结合, 指出混沌存在的可能性。1963 年,美国气象学家LorenzE1,2,3用一台原始的计算机研究气候的变化时 发现确定性方程中出现混沌现象，并在大气科学上发表了“决定性非周流”一文, 清楚地描述了“对初始条件的敏感性”这一混沌的基本性态,即著名的“蝴蝶效应”，并以无限平板间流体对流运动简化模型为基础提出了Lorenz方程2。1970 年美国科学史家Kuhn T. S. 的科学革命的结构一书, 对混沌理论的发展起到推波助澜的作用。特别是1975 年, 马里兰大学的中国学者李天岩和美国数学家Yorke J . 在美国数学上发表了“周期三意味着混沌”一文, 深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。随之, 1976 年美国生物学家May R. 在自然杂志上发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型”一文, 它向人们表明了混沌理论的惊人信息, 简单的确定的数学模型竟然也可以产生看似随机的行为。1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌学的诞生4。1978 年美国物理学家Feigenbaum M. J . 在统计物理杂志上发表“一类线性变换的定量普适性” , 轰动世界。他的普适性的研究使混沌确定了其固定的地位。1980 年，美国数学家Mandelbrot B. 用计算机绘出第一张Mandeibrot 集图像。这是一张五彩缤纷、绚丽无比的混沌图像，后来德国的Richter P. 和Peitgen H. 共同研究分形流域的边界，做出了精美绝伦的混沌图像，使之成为精致的艺术品。这拓展了又一重要的应用领域, 从此Mandelbrot 集成了混沌的一种公认标志。虽然20 世纪60 年代人们就开始注意混沌现象，但直到1978 年Feigenbaum从计算机实验中发现一些简单的单变量非线性映象的分岔点结构具有若干普遍规律,出现一些普适常数以后，混沌才引起了大家的极大兴趣。1990 年,佩考拉（L. M. Pecora）和卡罗尔（J. L. Carroll）为了阐明在实验中观察到的混沌同步现象,利用混沌动力学的特殊属性，构成优良的混沌扩频序列，对响应系统的稳定性以及同步原理进行了分析,导出了混沌同步的驱动响应同步原理（即p-c同步5原理）。从而拉开了混沌同步方法研究的序幕。1992 年Oppenheim 等报道了有关混沌开关和混沌加密调制的实际应用,特别地在文中阐明了怎样把混沌同步的概念应用于信息加密。同时指出混沌同步在一定的条件下具有较强的鲁棒性5。1999年，陈观荣7在混沌系统反控制中发现了一个与Lorenz系统并不拓扑等价的新混沌吸引子Chen系统；2002年吕金虎和Chen8又通过混沌反控制思想发现了系统。2004年,刘崇等又提出一种新的三维自治混沌系统，这个系统亦属于Lorenz系统。1.1.2 国内混沌学的发展1986年中国第一界混沌会议在桂林召开,中国科学家徐京华在全世界第一个提出三种神经细胞的复合网络,并证明它存在混沌,指出人脑可看成是复杂的多层次混沌动力系统,脑功能的物理基础是混沌性质的过程。2006年王杰等在Lorenz系统、Chen系统和Lu系统的基础上提出了一个新的系统，并证明了该系统的混沌特性。1.2 混沌的特性1.2.1 混沌的产生所谓混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象。飘动的旗帜、奔腾的小溪、飘浮的云彩、闪电的路径、血管的微观网络、飞机的起飞降落、船舶在激流险滩中穿行、石油在管道中的流动、大气和海洋的异常变化、宇宙中的星团乃至经济的波动和人口的增长等等。这些看似杂乱无章的表面现象下却有着它惊人的运动规律，如上升的烟雾会突然卷起漩涡；风朝一个一个方向吹动，旗帜却有规律地两边摆动；山涧激流而下，在其下的石缝里突然形成转动的漩涡，而且渐渐增大，旋转着顺流而下；奔流不息的小溪中大漩涡里有小漩涡，使之加速；而小漩涡里由有小漩涡，以至沾滞等等。可以说，混沌表示某种混乱的，不清楚的或不规则的现象，表现了系统内部的复杂性，随机性和无序性。而混沌运动是指在确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动，是在确定性系统中出现的无规则性或随机性（是系统内在的随机性，也称之为伪随机性），所谓高度不稳定是指相邻的轨道随时间的发展会产生指数分离。混沌运动在相空间的轨迹具有复杂的拉伸、折叠和收缩的结构，但每一根轨迹不自我重复又不自我交替，且局限于有限集合，把此称之为奇怪吸引因子。然而产生混沌的机制往往又是简单的非线性，是丝毫不带随机因素的固定规则。由混沌所表示的无序和不规则状态指出了在确定性系统中的随机现象，由事物的混沌现象又揭示了在自然界和人类社会中普遍存在着确定性和随机性的统一、有序和无序的统一，正是这种确定性和随机性之间的由此及彼的桥梁作用，使得混沌学被誉称为20世纪科学家发展的第三个里程碑。著名物理学家 Ford.J曾说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程牛顿式的梦；而混沌则彻底消除了拉普拉斯关于决定论式可测性的幻想”。 混沌是非线性动力学系统在一定条件下所表现的一种运动形式，是系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为，因此非线性是产生混沌的必要条件，但并非任何非线性系统都会产生混沌，一般认为当系统具有下列数值特征时则发生了混沌：（1）系统的运动轨迹为奇怪吸引子现象；（2）系统运动的功率谱具有连续谱上叠加有尖峰的特点；（3）系统中至少有一个李雅普诺夫（Lyapunov）指数。从混沌的类型上，大体可以分为四大类：第一类为时间混沌，第二类为空间混沌，第三类为时空混沌，第四类为功能混沌。目前还注意集中在时间混沌的研究上，其他类型的混沌控制尚待展开。混沌是一种非常普遍的非线性现象，在大量的动力系统中都发现存在混沌行为，例如纯数学、时空理论、湍流、浅水波的强迫振动、非线性振荡电路、量子力学、光学、声学、等离子体物理、超导理论、位错理论、非线性振动、相变理论、微波理论、固体物理、统计物理、天文学、广义相对论、地磁场理论、化学、气象学、工程模型、协同学、生态学、群体动力学、生物学、医学、经济学、社会学生物工程、信息过程、信息保密通信 ，以及进行经济预测和工程管理等。1.2.2 混沌的定义 混沌一词首先是由美国数学家李天岩（Li T. Y.）和约克（J. A. Yorke）1975年“周期三意味着混沌”一文中提出的，文中给出了有关混沌的一种数学定义 现称为LiYorke定义： 设连续映射,是中的一个子区间。如果存在不可数集合满足：(1) S不包含周期点。(2) 任给， 有， 这里表示t重函数关系。 (3) 任给有 则称f在S上混沌的。 此定义中，由于前两个极限说明子集的点，相当分散而又相当集中；第三个极限说明子集不会趋近于任意周期点，所以这个定理本身只预言有非周期轨道存在，既不涉及这些非周期点的集合是否具有非零测度，也不涉及哪个周期是稳定的。因此Li-Yorke定义的缺陷在于集合S的勒贝格测度有可能为零，即这时混沌是不可观测的，而人们感兴趣的则是可观测的情行，即此时S有一个正的测度。根据Li-Yorke定义，1983年Day认为一个混沌系统应具有如下三种性质：第一，存在所有阶的周期轨道；第二，存在一个不可数集合，该集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道布趋向于任一周期轨道，即该集合不存在渐近周期轨道；第三，混沌轨道具有高度的不稳定性。1989年Devaney R L给出了混沌的又一种定义：设X是一个度量空间。一个连续映射称为X上的混沌，如果：(1) 是拓扑传递; 这说明混沌系统不能被细分或不能被分解为两个在下相互影响的子系统，其轨道具有规律性的成分。(2) 是周期点在X中的稠密；这说明混沌的映射具有不可分解性，也就是混沌行为具有稠密的周期轨道，其运动最终要落在混沌吸引子之中，使其呈现出多种看似混乱无序却又颇具规则的自相似图像。混沌吸引子中的运动能在一定的范围内按其自身的规律遍历每一条轨道，既不自我重复又不自我交叉。(3) 具有对初始条件的敏感依赖性。这说明混沌的预测具有不可预测性，如果初值具有一极微小的变化，在短时间内的结果还可以预测，但通过长时间的演化后，它的状态根本无法确定，即差之毫厘、失之千里，这就是著名的“蝴蝶效应”。除上述对混沌的定义之外，还有诸如Smale马蹄、横截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义。从事不同领域研究的科学家都是基于各自对混沌的理解进行研究并谋求各自的应用。不管对混沌的各种定义有何区别，但混沌系统所具有的本质特征是相同的，下面我们介绍几种常用的性质： (1) 混沌具有内在随机性，是确定系统内部随机性的反映，它不同于外在的随机性，系统是由完全确定性的的方程描述，无需附加任何随机因素，但系统仍会表现出类似随机性的行为。(2) 混沌具有分形的性质，各种奇怪吸引子都具有分形结构，由分维数来描述其特征。(3) 混沌具有标度不变性，它是一种无周期的有序，在由分叉导致混沌的过程中，遵循费根包姆常数系。这一常数是倍周期分叉走向混沌的普适性数值特征。(4) 对初始条件的敏感依赖性 对初始条件的敏感依赖性或对小扰动的极端敏感性又称为蝴蝶效应，是混沌系统的典型特征。意思是系统的演化对初始条件十分敏感。初值不同，同一系统的轨道毫不相干。 (5) 极为有限的可预测性 混沌现象是确定性系统的一种内在随机性, 它的确定性是因为它内在的原因, 而非受外界干扰而产生的; 随机性是指不规则的, 不能预测的行为, 称这种混沌为非平衡混沌,; 系统处于平衡状态时所呈现的杂乱无章的混乱状态, 称为平衡态混沌,。无论哪种状态, 当系统进入混沌过程后, 系统或表现为整体的不可预测性或表现为局部的不可预测性, 最终的结果都是不确定的、随机的。(6) 系统内部的有序性任何混沌系统其内部的结构都是有序的。这种有序性表现为, 第一, 混沌内部有结构, 而且在不同层次上结构具有相似性, 即所谓的自相似性。第二, 不同系统之间跨尺度的相似值, 即所谓的普适性, 普适性具体表现为复杂形状尺度变换现象, 即物体在不同尺度观察时, 它们所持有的不规则性(即分维) 是完全不变的。1.3 混沌同步的概念1.3.1 同步的存在 在人们的日常生活中，同步现象比比皆是，相当普遍。例如，萤火虫的同步发光，夏日夜晚的青蛙齐鸣，心肌细胞和大脑神经网络的同步，演出结束后观众节奏趋于同步等等。如今，同步现象在激光系统，超导材料和通信系统等领域都起着重要的作用10-12。 1.3.2 混沌同步的定义混沌同步即是有两个混沌系统，其中一个叫做驱动系统，也叫做主系统。从驱动系统发出的信号被另一个混沌系统接收，接收信号的混沌系统叫做响应系统，也叫做从系统。驱动系统不受响应系统的影响。响应系统利用接收到的信号来驱动自己，使自己的状态与驱动系统的状态一致。1.3.3 混沌同步的方法混沌同步是现在各学科领域中的一个热门课题，各种混沌同步方法的提出与实现，使混沌同步在物理、保密通信、生物学、信息科学、化学反应等领域有了广泛的应用情景。混沌同步的一个重要用途是保密通讯。它的基本原理是这样的。有两个混沌系统，其中一个叫做驱动系统，也叫做主系统。从驱动系统发出的信号被另一个混沌系统接收，接收信号的混沌系统叫做响应系统，也叫做从系统。混沌同步的种类有：完全同步（恒同同步）、部分同步、广义同步、反同步、滞后同步等等。下面介绍完全同步。所谓主从同步，就是由两个混沌方程组成。其中一个叫做驱动系统，也叫做主系统；另一个叫做响应系统，也叫做从系统。驱动系统产生的混沌信号被响应系统接收。而响应系统利用接收到的信号来驱动，使自己的状态与驱动系统的状态趋于一致，达到同步状态。混沌同步问题的研究日益受到人们的重视,混沌同步的方法不断涌现，提出了若干有效的设计方法,如OGY 方法 、自适应控制方法13-19、反馈控制方法、驱动响应同步原理（即p-c同步原理）20、状态反馈控制方法、基于逆系统方法、脉冲同步、滑膜同步控制、模糊同步21、参数调节法、相互耦合同步法、变结构控制法、线性和非线性反馈控制方法22、主动-被动分拆同步法（APD方法）、反馈控制方法、延迟反馈控制方法等。(1) 变量反馈微扰同步方法。变量反馈微扰同步法的基本思想是在与驱动系统具有相同形式的复制系统中增加一反馈项作为响应系统,通过选择合适的反馈项使驱动和响应系统同步。反馈控制项可以是线性或非线性的,并且可以用不同的方法来确定。一种方法就是用经典的控制方法来确定反馈控制量23。还有一种方法是称为反向单步设计的方法24,是通过构造Lyapunov 函数和控制量的设计交替进行的一种递归方法。随着近几年对变结构控制的热门研究,也可以用变结构控制的方法来进行控制量的设计25。变结构控制策略的设计涉及滑动面和控制的选取。为了实现混沌系统同步,首先要找到一个合适的滑动面,然后设计有效非线性控制驱使误差状态到达该滑动面上,并使误差在滑动面上到达平衡点。(2) 自适应同步方法。在实际系统中,系统参数总存在一定的摄动,另外,系统不可避免地会受到外界干扰的影响,考虑到混沌系统对参量极端敏感,参量的微小变化就会导致系统动态行为的巨大变化. 因此如何对存在参量摄动或外界扰动的混沌系统进行有效的同步,对混沌同步走向应用至关重要。近几年,提出了一些参数不确定混沌系统的自适应同步控制方法26,27。1.4 混沌同步的应用 混沌同步是现在各学科领域中的一个热门课题，各种混沌同步方法的提出与实现，使混沌同步在物理、保密通信、生物学、信息科学、化学反应等领域有了广泛的应用情景。其中混沌同步的一个重要用途是保密通讯。利用混沌同步实现秘密通讯成为近年来竞争最激烈的应用研究领域。Car-roll和Pecoea所在的研究组正在加紧研究中，已经发现一种混沌系统就象一个锁相环路一样，能与其它装置一起改变调频机，跟踪发射信号的变化。混沌通信具有许多优点: (1) 保密性强。因为具有宽带特性,特别是可利用时空混沌增强抗破译、抗干扰(鲁棒性) 能力; (2) 具有高容量的动态存储能力; (3) 具有低功率和低观察性; (4) 设备成本低等。因此,混沌通信在21世纪大有发展前景的高新科技领域。混沌同步应用于通信主要为3大保密技术:混沌遮掩、混沌调制和混沌开关技术。(1) 混沌遮掩。混沌遮掩又称混沌掩盖或混沌隐藏。基本思想是利用具有逼近与高斯白噪声统计特性的混沌信号作为一种载体来隐藏信号或遮掩所要传送的信息,在收端则利用同步后的混沌信号进行去掩盖,从而恢复出有用信息。遮掩方式主要有相乘、相加或加乘结合这几种方式。以相加为例,设为发送机的输出信号(传输信号) , 要传送的信息信号,则混沌掩盖后, 为新的传输号,接收端与同步的输出为,即可恢复信息信号(去掩盖) 。最早提出的驱动响应同步法与变型及随后的主动- 被动法都属于混沌遮掩方案,其他的有串联法混沌掩盖方案及改进方案和单向耦合法混沌掩盖方案等。近几年研究得较多的是基于状态观测器的混沌同步及混沌掩盖28。(2) 混沌调制。混沌调制的基本思想是将一个信息信号加密后注入到发送机,由此改变了原混沌系统的动态特性,因而信息信号被调制。在接收端用相应的解调和解密方法恢复信息信号。该方法有几个优点:首先它把混沌信号谱的整个范围都用来隐藏信息;其次,它增加了对参数变化的敏感性,从而增强了保密性。随着混沌调制技术研究的进一步深入,学者们把信息信号与混沌信号相乘的直接混沌频谱扩展技术也作为混沌调制技术,所以,混沌调制又叫宽谱发射。从理论上讲,混沌序列是非周期序列,具有逼近于高斯白噪声的统计特性,并且混沌序列数目众多,更适合于作扩频通信的扩频码。近几年,人们对混沌调制也作了不少研究,提出了一些新的方法29。(3) 混沌开关技术。混沌开关技术又称混沌键控或混沌参数调制。它是把混沌系统用于密码发射的最简单技术。其基本思想是根据在不同的系统参数下具有不同的吸引子来编制二进制信息代码 ,如用“1”表示参数下所对应的一个吸引子,用“0”表示下所对应的另一个混沌吸引子 ,混沌系统的行为在与之间转换,应用欧氏空间距离来检测重构的混沌吸引子和接收到的混沌吸引子的差别,由参数变化来调制系统的响应时间。现已提出的混沌开关数字通信制式主要包括:CSK(Chaos Shift Keying) ,COOK(Chaotic On - Off - Keying) ,DCSK(Differential Chaos Shift Keying) 和FM - DCSK(Frequency Modulation Differential Chaos Shift Keying) 。各种开关技术的区别表现在所选择的混沌系统,是同步开关还是非同步开关,是相关检测还是非相关检测。这几年,已提出了一些混沌同步开关方法30。1.5 混沌同步与控制31-35混沌的控制与同步可能在今后高新科技领域中有重要的应用前景，并将在国际上出现竞争的发展趋势。例如，利用简单非线性系统的时间混沌，特别是时空混沌，可以作为大量的信息源，从而可以研制超高容量的动态信息存储器，用于信息识别、记忆及处理等目的。据悉，日本已经利用混沌特性研制了新的功能元件，它可作为大容量动态信息存储器及高速数据处理系统。利用混沌编码及解码技术，可能大大地扩展通讯量及加强保密性等，因此该技术早就列入美国国防的研究计划，正在加紧秘密研究之中。从当前发展的趋势，我们可以预言，混沌控制与同步人信息科学中的非线性技术在未来信息科技领域将发挥难以预料的重要作用，从而加速国际上现代社会信息化的进程。(1) 改善和提高激光器的性能应用混沌控制来改善和提高激光器的性能，特别是提高功率等，是当前一个热点。例如，美国海军研究实验室的一个研究小组利用跟踪控制法，在激光装置上不仅在很宽的功率范围维持激光稳定运行，而且惊人地把激光输出功率提高到15倍。这是因为原来不加控制时由于混沌的缘故只能在有限的功率范围内维持稳定，跟踪控制加上去后，可以自动补偿系统时间演化而产生的参数变化或其它因素所导致的参数慢变，进而消除了激光混沌，实现了对高周期的稳定控制。(2) 在其它高新科技领域中的可能应用混沌的控制与同步可能在今后高新科技领域中有重要的应用前景，并将在国际上出现竞争的发展趋势。例如，利用简单非线性系统的时间混沌，特别是时空混沌，可以作为大量的信息源，从而可以研制超高容量的动态信息存储器，用于信息识别、记忆及处理等目的。据悉，日本已经利用混沌特性研制了新的功能元件，它可作为大容量动态信息存储器及高速数据处理系统。利用混沌编码及解码技术，可能大大地扩展通讯量及加强保密性等，因此该技术早就列入美国国防的研究计划，正在加紧秘密研究之中。从当前发展的趋势，我们可以预言，混沌控制与同步人信息科学中的非线性技术在未来信息科技领域将发挥难以预料的重要作用，从而加速国际上现代社会信息化的进程。未来能源的希望所在受控热核聚变中的等离子体的混沌、湍流等控制约束间题，是涉及难度最大的现代科技问题，实际上它们的中心问题是如何有效控制等离子体中复杂运动的时间混沌及湍流问题。虽然，目前已发展的诸多混沌控制方法，对解决这一大难题尚未见端倪。但是，我们认为这是朝着解决问题的一种研究方向，或换句话说，时空混沌的控制与同步的研究应当把这一难题包括在自己的研究目标范畴内。事实上，正因为这个挑战性课题的极端重要性和深远意义，国际上有卓识远见的科学家正朝着这个方向和路线努力，该课题引起了国内外的关注。美国已经把混沌信号控制处理技术应用于反应堆中的热传递系统的时间序列的数据分析，以及拓广于许多领域中的无损探测。有人预计，应用时间混沌为开发混沌计算机提供了一种可能性，很可能是继研究模糊计算机之后，为开创新型计算机提供一种发展途径。混沌控制与同步领域与生命科学的研究诸如神经网络、脑科学、心脏等领域的研究密切相关36。首例应用可以追溯到第一届国际实验混沌会议，在那里导致了在生物系统中实现混沌控制的首项技术的诞生。洛杉矶加州大学医学院的一个研究小组研究了一只兔子的心脏上的一个隔离区，通过向冠状动脉注射一种称为鸟本昔的药物能在心脏上引起不规则的快速收缩。一旦这种心律不齐的症状开始出现，他们就用一种电信号去刺激心脏。这种信号就是按照前述的OGY控制方法设计的一种方案来产生的。实验结果显示:这些看上去随机的信号足以使心脏进行有规则的跳动，有时还能把心跳降低到正常水平。另一方面，随机信号或周期信号并不能中止心律不齐，而且常常恶化，他们已经开始测试用不同形式的OGY混沌控制方案能否达到控制人类心律不齐问题，预计这种混沌控制技术有可能用于治疗心室纤维颤动。现在利用混沌控制技术正在加紧研究一种心脏整律器及去纤维堆颤动器。1.6 随机因素对混沌同步的影响 在现实世界中，不确定性因素是普遍存在的，这些不确定的、随机的因素往往对系统产生一些不利的干扰。这些随机因素有布朗运动的特征。事实上,信号传输的过程中，噪声的影响会影响信号的质量，进而影响主-从系统的同步。这样，隐含在混沌系统里面的信息信号就不能还原出来，也就不能达到保密通信的目的。所以，在本文中，我们还考虑了噪声对混沌同步的影响，这样就更符合实际应用。1.7 鲁棒性介绍 鲁棒性6就是系统的健壮性。它是在异常和危险情况下系统生存的关键。比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。鲁棒性原是统计学中的一个专门术语，20世纪70年代初开始在控制理论的研究中流行起来，用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。在实际问题中，系统特性或参数的摄动常常是不可避免的。产生摄动的原因主要有两个方面，一个是由于量测的不精确使特性或参数的实际值会偏离它的设计值（标称值），另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢漂移。因此，鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课题，也是一切类型的控制系统的设计中所必须考虑的一个基本问题。对鲁棒性的研究主要限于线性定常控制系统，所涉及的领域包括稳定性、无静差性、适应控制等。鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性（频率域内表征控制系统稳定性裕量的一种性能指标）和不变性原理（自动控制理论中研究扼制和消除扰动对控制系统影响的理论）有着密切的联系，内膜原理（把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反馈控制系统的一种设计原理）的建立则对鲁棒性问题的研究起了重要的推动作用。当系统中存在模型摄动或随机干扰等不确定性因素时能保持其满意功能品质的控制理论和方法称为鲁棒控制器。早期的鲁棒控制主要研究单回路系统频率特性的某些特征，或基于小摄动分析上的灵敏度问题。现代鲁棒控制则着重研究控制系统中非微有界摄动下的分析与设计的理论和方法。控制系统的一个鲁棒性是指控制系统在某种类型的扰动作用下，包括自身模型的扰动下，系统某个性能指标保持不变的能力。对于实际工程系统，人们最关心的问题是一个控制系统当其模型参数发生大幅度变化或其结构发生变化时能否仍保持渐近稳定，这叫稳定鲁棒性。进而还要求在模型扰动下系统的品质指标仍然保持在某个许可范围内，这称为品质鲁棒性。鲁棒性理论目前正致力于研究多变量系统具有稳定鲁棒性和品质鲁棒性的各种条件。它的进一步发展和应用，将是控制系统最终能否成功应用于实践的关键。一直以来，Lorenz混沌系统的完全同步问题一直是研究热潮，并用许多混沌同步方法得到了驱动-响应同步的充分条件。由于自适应控制中的反馈增益是一个动力系统，它可以根据系统的需要自动调节到适当的反馈增益，他具有很好的鲁棒性和实用性等特点，而且容易操作。所以，在本文中我们考虑利用自适应同步方法研究并实现Lorenz混沌系统同步，利用控制理论和稳定性理论，设计自适应控制器，实现用包含多个控制器实现混沌系统同步的方案，并给出了数值仿真，说明方法的有效性及可行性。第二章 准备工作设一个非线性系统： ， （2-1）其中, 为状态向量, 是一个光滑的非线性映射。我们以（2-1）为驱动系统，并以结构相同的另一个系统为响应系统：。 （2-2） 其中, 为响应系统的状态向量, 为响应系统的控制向量。（2-1）和（2-2）的初值可以不同。即，但是。控制的目的就是使（2-2）式的状态与（2-1）式的状态渐近一致，即：，而与它们的初值无关。定义1 若两个非线性系统（2-1）和（2-2）对于任何处置都满足则称系统（2-1）与（2-2）是全局渐近同步的。本文考虑Lorenz混沌系统的同步问题，其微分方程为 （2-3） 即 ，其中，为驱动系统的状态变量，为实数。当，时，Lorenz系统具有典型的混沌状态。将（2-3）式作为驱动系统，作如下响应系统 （2-4）或者写成矩阵形式：其中，为响应系统的状态变量， 是定义在一个全概率空间中的维布朗运动。在本文中，我们假设当时，和是彼此独立的过程，为待设计的同步控制器.为了研究（2-3）和（2-4）的同步问题，定义同步误差为 。由（2-3）和（2-4）得如下误差系统： （2-5）或者写成矩阵形式： = （2-6）定义2 （均方意义下稳定）：随机误差系统(5)称为是均方稳定的,如果对任何初始状态,都有。 （2-7）定义3 对于系统（2-3）和（2-4），如果对任意的初值都有 则称系统（2-3）和（2-4）在均方意义下渐近同步的。显然，要实现（2-3）和（2-4）在均方意义下渐近同步，我们只要证明系统（2-5）或（2-6）的平凡解在均方意义下是稳定的。要实现此目的，在本文中，我们将设计自适应控制器。在给出本文主要结果之前，我们首先给出与本文相关的几个引理。稳定性是考查一个系统的重要指标之一,通过解来判定稳定性一般是行不通的,目前主要方法是通过构造李亚普诺夫函数来判定系统稳定性, 构造李亚普诺夫函数没有通用的方法,只能通过试验的方法来验证所构造李亚普诺夫函数的合理性。连续时间非线性时不变系统,自治状态方程为 （2-8）其中为维状态,对所有引理1 （Lyapunov函数稳定性定理）：对连续时间非线性时不变系统（2-8）, 若构造对具有连续导数的标量函数,且对状态空间中所有非零状态点 满足以下条件:(1) 为正定且当时,有(2) ， （2-9）则称系统的原点为全局稳定的。若（2-9）只有在时等号成立，则称系统（2-8）的平衡点是全局渐近稳定的。本文的目的是设计自适应控制器, 使响应系统（2-4）渐近同步于驱动系统（2-3）。由前面的讨论得，我们只有证明（2-6）在均方意义下是渐近稳定的。在本问中我们假设 下面关于向量形式的Brownian 运动的性质将要在本文中用到：(a) (b) 假设是一个标量函数，其中得到的微分形式为在上述方程中，运用到下面的代数运算且和是独立的过程，因此对于和任意的。第三章 主要结果在本章中，我们将设计适当的控制器使得误差系统（2-5）的平凡解在均方意义下是渐近稳定的。我们有如下定理：定理1 若假设条件 成立，则在控制器 ，i=1,2,3 （3-1）以及更新律 下，误差系统（2-5）的平凡解在均方意义下是渐近稳定的。证明：记。选取如下的Lyapunov函数 ， （3-2）其中是待定常数。将（3-2）沿着系统（2-6）关于时间求导得 由混沌系统的有界性，满足,记为 的最大特征值，则 由假设 得， 取 则 （3-3） 对上式(3-3)两边取期望的 在上式中，若时，一定有0。所以上式中，当且仅当时等号成立。 由LyaPunov稳定性定理知 则根据Lyapunov函数渐进稳定性理论，误差系统（2-5）的平凡解是渐进稳定的，从而在控制器（3-1）的作用下，系统（2-4）和（2-3）是全局渐近同步的。第四章 举例在本章中，我们将用具体的数值仿真来验证本文的理论结果。利用MATLAB软件，选取初值系统（2-3）的混沌轨道见图1。其他初始值;步长为0.005，得到图2-图9。其中图3-图5分别描述的是以及的轨道图形。可以看出，驱动和响应系统的状态很快达到同步；图6-图8分别描述的是误差系统（2-6）的状态以及的轨道图形，图中表示以及随时间很快趋于零，进一步验证图3-图5的结果。在图9中，我们可以看到，当驱动和响应系统达到同步以后，控制参数达到某常数状态。 图1 驱动系统的Lorenz混沌轨道 图2 响应系统的Lorenz混沌轨道 图3 随时间的轨迹图 图4 随时间的轨迹 图5 随时间的轨迹图 图6 同步误差随时间的轨迹图 图7 同步误差随时间的轨迹图 图8 同步误差随时间的轨迹图图9 参数随时间的轨迹图第五章 总结与展望 在生活中的许多实际例子中，噪声是不可避免的，所以本文用自适应控制方法研究在噪声干扰下的Lorenz混沌系统的自适应同步问题。通过设计一个适当的自适应控制器，利用Lyapunov函数的稳定性理论并通过严格的数学证明得到自适应同步的充分条件。并且用MATLAB仿真验证了其方法的有效性。 参考文献1 Lorenz E N. 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