重庆市南开中学2015届 高三上学期9月月考数学试卷（理科）（解析版）.doc

重庆市南开中学2015届 高三上学期9月月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，则A（UB）等于（）A2B2，3，5C1，4，6D52（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）函数f（x）=的定义域为（）A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）4（5分）函数f（x）=3x6的零点所在区间是（）A（O，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5（5分）若函数y=logax（a0，且a1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）ABCD6（5分）下列叙述正确的是（）A命题：xR，使x3+sinx+20的否定为：xR，均有x3+sinx+20B命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x1或x1，则x20C己知nN，则幂函数y=x3n7为偶函数，且在x（0，+）上单调递减的充分必要条件为n=1D函数y=log2图象关于点（1，0）中心对称的充分必要条件为m=17（5分）函数f（x）=，若f（a）+f（a）2f（1），则实数a取值范围是（）A（，11，+）B1，0C0，1D1，18（5分）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义|AB|=若A=1，2，B=x|x2+2x3|=a，且|AB|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C（S）等于（）A1B2C3D49（5分）己知定义在实数集R上的函数f（x）满足：f（2x）=f（x）；f（x+2）=f（x2）；当x1，x21，3时，0，则f、f、f满足（）AfffBfffCf=ffDf=ff10（5分）设函数f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），且f（x）=1|x2|（1x3），则使得f（x）=f的最小的正实数x的值为（）A173B416C556D589二.填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）=12（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，yR），f（1）=2，则f（3）=13（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx（k0）有且只有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是注意：14、15、1.6为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14（5分）如图，AB是半圆O直径，BAC=30，BC为半圆的切线，且BC=4，则点O到AC的距离OD=15（5分）已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是=2，若直线l与曲线C相交于A，B两点，则|AB|=16已知集合A=xR|x+3|+|x4|9，B=，则集合AB=三.解答题：本大题6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（13分）已知集合U=R，集合A=x|xa|2，不等式（x2x2）2（x1）的解集为B，若AUB，求实数a的取值范围18（13分）已知集合A=x|x25x+40，集合B=x|2x29x+k0（1）求集合A；（2）若BA，求实数k的取值范围19（13分）已知命题p：关于x的方程x2mx2=0在x0，1有解；命题q：f（x）=log2（x22mx+）在x1，+）单调递增；若p为真命题，pq是真命题，求实数m的取值范围20（12分）已知定义x1，1在偶函数f（x）满足：当x0，1时，f（x）=x+2，函数g（x）=ax+52a（a0），（1）求函数f（x）在x1，1上的解析式：（2）若对于任意x1，x21，1，都有g（x2）f（x1）成立，求实数a的取值范围21（12分）已知关于x的方程x22tx1=0的两不等实根为x1，x2（x1x2），函数f（x）=的定义域为x1，x2（1）求f（x1）f（x2）的值；（2）设maxf（x）表示函数f（x）的最大值，minf（x）表示函数f（x）的最小值，记函数g（t）=maxf（x）minf（x），求函数h（t）=g（log2t）g（log12）在t（1，2的值域22（12分）己知集合A=l，2，3，2n，（nN*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1s2|m，则称S具有性质P（1）当n=10时，试判断集合B=xA|x9和C=xA|x=3k1，kN*是否一定具有性质P？并说明理由（2）当n=2014时，若集合S具有性质P，那么集合T=4029x|xS是否一定具有性质P？说明理由；若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值重庆市南开中学2015届高三上学期9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，则A（UB）等于（）A2B2，3，5C1，4，6D5考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，故CUB=1，2，4，6，由此能求出A（UB）解答：解：集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，CUB=1，2，4，6，A（UB）=2故选A点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限解答：解：复数 =，复数对应的点的坐标是（ ，）复数 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在2015届高考题的前几个题目中3（5分）函数f（x）=的定义域为（）A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据导数的性质，二次根式的性质得不等式，解出即可解答：解：由题意得：，解得：1x2，故选：D点评：本题考查了导数的性质，二次根式的性质，求函数的定义域，是一道基础题4（5分）函数f（x）=3x6的零点所在区间是（）A（O，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：分别求出f（0），f（1），f（2）的值，得出f（1）0，f（2）0，从而得出答案解答：解：f（0）=1160，f（1）=0，f（2）=96+1=40，函数f（x）的零点在区间（1，2）能，故选：B点评：本题考查了函数的零点的判定定理，用特殊值代入即可求出5（5分）若函数y=logax（a0，且a1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=ax=3x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（x）3=x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（x）=log3（x），当x=3时，y=1，但图象明显当x=3时，y=1，故错误故选：B点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题6（5分）下列叙述正确的是（）A命题：xR，使x3+sinx+20的否定为：xR，均有x3+sinx+20B命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x1或x1，则x20C己知nN，则幂函数y=x3n7为偶函数，且在x（0，+）上单调递减的充分必要条件为n=1D函数y=log2图象关于点（1，0）中心对称的充分必要条件为m=1考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：A：写出命题：xR，使x3+sinx+20的否定，判断即可；B：写出命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题，判断即可；C：依题意，可求得n=1，从而可判断其正误；D：令y=f（x）=log2，由其图象关于点（1，0）中心，得f（x）+f（2x）=0，解得m=1，从而可判断其正误解答：解：A：命题：xR，使x3+sinx+20的否定为：xR，均有x3+sinx+20，故A错误；B：命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x1且x1，则x20，故B错误；C：因为幂函数y=x3n7在x（0，+）上单调递减，所以3n70，解得n，又nN，所以，n=0，1或2；又y=x3n7为偶函数，所以，n=1，即幂函数y=x3n7为偶函数，且在x（0，+）上单调递减的充分必要条件为n=1，C正确；D：令y=f（x）=log2，由其图象关于点（1，0）中心，得f（x）+f（2x）=0，即log2+log2=log2=0，=1，整理得：m2+2m3=0，解得m=1或m=3，当m=3时，=10，y=log2不存在，故m=3舍去，故m=1所以，函数y=log2图象关于点（1，0）中心对称的充分必要条件为m=1，D错误；故选：C点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题之间的关系，考查充分必要条件的应用，属于中档题7（5分）函数f（x）=，若f（a）+f（a）2f（1），则实数a取值范围是（）A（，11，+）B1，0C0，1D1，1考点：分段函数的应用 专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：讨论a=0，a0，a0，化简不等式，构造函数y=g（x）=2ex+x，运用导数判断单调性，再由单调性解不等式，最后求并集解答：解：函数f（x）=，当a=0时，f（a）+f（a）2f（1）即为2f（0）2f（1），即1e+1成立；当a0时，a0，f（a）+f（a）2f（1）即为2ea+2a2（e+1），令y=g（x）=2ex+x，y=2ex+10，则y=2ex+x在R上递增由g（a）g（1）可得a1当a0时，a0，f（a）+f（a）2f（1）即为2ea2a2（e+1），由y=g（x）=2ex+x在R上递增，又g（a）g（1），即有a1，即a1由得实数a取值范围是1，1故选D点评：本题考查分段函数及运用，考查分类讨论的思想方法及构造函数应用单调性解不等式的方法，考查运算能力，属于中档题8（5分）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义|AB|=若A=1，2，B=x|x2+2x3|=a，且|AB|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C（S）等于（）A1B2C3D4考点：子集与交集、并集运算的转换 专题：集合分析：先根据已知条件可判断出B含3个元素，所以方程|x2+2x3|=a有三个实根，进一步判断出方程x2+2x3+a=0有两个二重根，所以根据=0即可求得a的值，从而求出集合S，这样便可判断出集合S所含元素的个数解答：解：由|x2+2x3|=a得：x2+2x3a=0，a0；对于x2+2x3a=0，=4+4（3+a）0，方程x2+2x3a=0至少有两个实数根，即集合B至少含2个元素；|AB|=1，B含3个元素；方程x2+2x3+a=0有二重根，=44（3+a）=0，a=4；S=4，C（S）=1故选A点评：考查元素与集合的概念，描述法表示集合，一元二次方程的实数根的情况和判别式的关系9（5分）己知定义在实数集R上的函数f（x）满足：f（2x）=f（x）；f（x+2）=f（x2）；当x1，x21，3时，0，则f、f、f满足（）AfffBfffCf=ffDf=ff考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：给出了函数的对称轴；给出了周期；确定了单调性，据此可以将给的函数值进行转化，最终变成1，3内的函数值再进行比较解答：解：因为f（2x）=f（x），所以该函数的对称轴为x=，由f（x+2）=f（x2），令t=x2，代入原式得f（t+4）=f（t），所以该函数周期为4，因为当x1，x21，3时，0，所以该函数在1，3上是增函数则f=f（4503+2）=f（2），f=f（4503+3）=f（3），f=f（4504）=f（0）=f（20）=f（2）所以f=f=f（2）f（3）=f，故选：D点评：正确理解给的三个条件所体现的函数性质是解题的关键，注意化归思想在本题中应用10（5分）设函数f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），且f（x）=1|x2|（1x3），则使得f（x）=f的最小的正实数x的值为（）A173B416C556D589考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：实际上，此题类似于“周期函数”，只是这个“周期”是每次三倍增大变化的，要求其解析式，只需将x化归到1，3上即可而与f相等的也不止一个，为此我们只需找到相应的那个区间即可求出来解答：解：因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），所以f（x）=3f（），所以f=3f（）=32f（）=，当n=6时，所以f=372014=173，同理f（x）=3nf（）=，（nN*）当时，x=3n+1173，n=6时，找的第一个符合前面条件的x=556；当时，x=3n+173，当n=5时找到最小的x=416符合前面条件综上，当x=416时满足题意故选B点评：本题应属于选择题中的压轴题，对学生的能力要求较高，解决问题的关键在于如何将f转化到1，3上求出它的函数值，二是如何利用方程思想构造方程，按要求求出x的值二.填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）=6考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：利用对数和指数的性质和运算法则求解解答：解：=（log26log23）9+2=19+2=6故答案为：6点评：本题考查对数式和指数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数和指数的性质和运算法则的合理运用12（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，yR），f（1）=2，则f（3）=6考点：抽象函数及其应用 专题：计算题分析：本题是抽象函数及其应用类问题在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答解答：解：由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+201=f（0）+f（1），f（0）=0f（0）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2（1）1=f（1）+f（1）2，f（1）=0f（1）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2（2）1=f（2）+f（1）4，f（2）=2f（2）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2（3）1=f（3）+f（1）6，f（3）=6故答案为：6点评：本题是抽象函数及其应用类问题在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力值得同学们体会和反思13（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx（k0）有且只有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（，）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：令g（x）=kx（k0），将方程的解的个数化为函数交点的个数，作出函数f（x）= 的图象，从图象中得到实数k的取值范围解答：解：令g（x）=kx（k0），则方程f（x）=kx（k0）有且只有四个不相等的实数根可转化为函数f（x）与g（x）有且只有四个交点；作出函数f（x）= 的图象如下图，当与第二半圆相切时，有3个交点，此时，k=，当与第三半圆相切时，有5个交点，此时，k=，则实数k的取值范围为（，）故答案为：（，）点评：本题考查了方程的解与函数的零点之间的关系，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想，属于中档题注意：14、15、1.6为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14（5分）如图，AB是半圆O直径，BAC=30，BC为半圆的切线，且BC=4，则点O到AC的距离OD=3考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定 专题：计算题分析：首先过O作AC的垂线段OD，再利用两个角对应相等得到三角形相似，利用三角形相似的性质得到比例式，根据直角三角形中特殊角的三角函数，求出O到AC的距离解答：解：过O做AC的垂线，垂足是D，BC是O的切线，ABC=90，ODAC，在ABC与ADO中，ADO=90，A=A，ABCADO，；在ABC中，BAC=30，AC=2BC=8 ，AB=12，OA=6=BO，OD=故答案为：3点评：本题考查三角形相似的判断和性质，本题解题的关键是熟练应用三角形相似的性质和直角三角形的特殊角的三角函数，本题是一个中档题目15（5分）已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是=2，若直线l与曲线C相交于A，B两点，则|AB|=考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先，将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，根据圆中的弦长公式进行求解解答：解：由直线的参数方程得2x+y3=0由曲线C的极坐标方程是=2，得x2+y2=4，半径r=2，圆心（0，0）到直线的距离d=，|AB|=故答案为：点评：本题重点考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、弦长公式等知识，属于中档题，解题关键是准确把握参数方程和普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等16已知集合A=xR|x+3|+|x4|9，B=，则集合AB=x|2x5考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出AB解答：解：集合A=xR|x+3|+|x4|9，所以A=x|4x5；集合，当且仅当t=时取等号，所以B=x|x2，所以AB=x|4x5x|x2=x|2x5，故答案为：x|2x5点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力三.解答题：本大题6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（13分）已知集合U=R，集合A=x|xa|2，不等式（x2x2）2（x1）的解集为B，若AUB，求实数a的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用；补集及其运算 专题：计算题；集合分析：由已知可得，A=x|a2xa+2，B=x|x3，进而可求得，CuB=x|x3，由ACuB可得a+23，可求实数a的取值范围解答：解：由|xa|2可得，a2xa+2，即A=x|a2xa+2，由（x2x2）2（x1）可得02x2x2x2解不等式可得，x3，即 B=x|x3CuB=x|x3ACuBa+23a1点评：本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是准确解绝对值不等式及对数不等式，解答该题时注意不要漏掉考虑对数的真数大于0的条件18（13分）已知集合A=x|x25x+40，集合B=x|2x29x+k0（1）求集合A；（2）若BA，求实数k的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用 专题：综合题；集合分析：（1）解不等式，可得集合A；（2）若BA，分类讨论，求实数k的取值范围解答：解：（1）x25x+40，1x4，A=1，4；（2）当B=时，=818k0，求得k当B时，有2x29x+k=0的两根均在1，4内，设f（x）=2x29x+k，则解得7k综上，k的范围为7，+）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑B=的情况，这是解题的易错点19（13分）已知命题p：关于x的方程x2mx2=0在x0，1有解；命题q：f（x）=log2（x22mx+）在x1，+）单调递增；若p为真命题，pq是真命题，求实数m的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：首先，判断命题p为真命题时，实数m的取值范围，然后，再判断命题q为真命题时，实数m的取值范围最后，结合条件：p为真命题，pq是真命题，得到p假q真，最后，得到实数m的取值范围解答：解：由命题p：关于x的方程x2mx2=0在x0，1有解；可设函数f（x）=x2mx2，f（1）0，解得 m1，由命题q得x22mx+0，在区间1，+）上恒成立，且函数y=x22mx+0，在区间1，+）上单调递增，根据x22mx+0，在区间1，+）上恒成立，得m，由函数y=x22mx+0，在区间1，+）上单调递增，得m1，由命题q得：m，p为真命题，pq是真命题，得到p假q真，m（1，）实数m的取值范围（1，）点评：本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的判断方法和技巧、函数的单调性与应用等知识，属于中档题解题关键是准确判断两个命题分别为真命题时，实数m的取值范围20（12分）已知定义x1，1在偶函数f（x）满足：当x0，1时，f（x）=x+2，函数g（x）=ax+52a（a0），（1）求函数f（x）在x1，1上的解析式：（2）若对于任意x1，x21，1，都有g（x2）f（x1）成立，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法 专题：函数的性质及应用分析：（1）可设x1，0，则x0，1，可得到f（x），然后利用奇偶性得到f（x），再合并成分段函数的形式给出结果；（2）结合图象分析：只需g（x）minf（x）max，然后再分别求出两函数相应的最值即可解答：解：（1）设x1，0，则x0，1，结合函数f（x）是1，1上的偶函数，所以f（x）=f（x）=x+，所以（2）因为对任意的x1，x21，1，都有g（x2）f（x1）成立，则只需g（x）minf（x）max，又因为y=f（x），x1，1是偶函数，所以f（x）的值域就是f（x）在0，1值域而当x0，1时，f（x）=x+2，令t=，原函数化为y=t2+2t+2=（t1）2+3，t1，显然t=1时f（x）max=3，又因为g（x）min=3a+5，则由题意得，解得0即为所求点评：本题的第二问实际上是与两个函数有关的恒成立问题，这种类型一般分别求出两个函数的最值，然后列出不等式求解21（12分）已知关于x的方程x22tx1=0的两不等实根为x1，x2（x1x2），函数f（x）=的定义域为x1，x2（1）求f（x1）f（x2）的值；（2）设maxf（x）表示函数f（x）的最大值，minf（x）表示函数f（x）的最小值，记函数g（t）=maxf（x）minf（x），求函数h（t）=g（log2t）g（log12）在t（1，2的值域考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：（1）结合韦达定理得到两根之和、两根之积，然后整体代入f（x1）f（x2）即可；（2）先将t看成参数，求出f（x）的最值（用t表示），以此得到g（t）=maxf（x）minf（x），再利用换元法研究将函数h（t）进行转化，研究转化后的函数的单调性求其值域解答：解（1）由韦达定理得：x1x2=1，x1+x2=2t，则f（x1）f（x2）=（2），由于x1，x2为方程x22tx1=0的两实根，故当xx1，x2时，x22tx10恒成立，得f（x）0在x1，x2上恒成立，所以f（x）在x1，x2上递增，所以由题意知g（t）=f（x2）f（x1）=，结合（1），将1=x1x2，t=代入上式化简得g（t）=在h（t）中，令u=log2t，则u（0，1，则函数化为y=，化简得，u（0，1，根据对勾函数的性质，该函数在（0，1上递减，所以函数h（t）的值域为2，+）点评：本题综合考查了函数的单调性、最值等知识方法；中间利用韦达定理进行整体代换进行化简利用换元法研究函数的值域等方法要注意体会22（12分）己知集合A=l，2，3，2n，（nN*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1s2|m，则称S具有性质P（1）当n=10时，试判断集合B=xA|x9和C=xA|x=3k1，kN*是否一定具有性质P？并说明理由（2）当n=2014时，若集合S具有性质P，那么集合T=4029x|xS是否一定具有性质P？说明理由；若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值考点：子集与交集、并