数学与应用数学本科毕业论文--非线性常微分方程解法初探.docx

成绩（采用四级记分制）本科毕业论文（设计）题目： 非线性常微分方程解法初探 学生姓名 贺建霞 学 号 2013114010 指导教师 郭真华 院 系 数学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2013级 教务处制诚信声明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。特此声明。论文作者签名： 日 期： 2017 年 5 月 2日摘要本文在线性常微分方程理论的基础之上，对非线性常微分方程的解法进行了初步探讨。对于某些特殊类型的非线性常微分方程，可借助变量替换方法将其转化为线性常微分方程，进而运用初等积分法求出非线性常微分方程的解。对于不能转化为线性常微分方程的类型，分为连续解和非连续解两种情况来讨论。针对连续解，根据不同的情况分别用不同的理论证明解的存在唯一性。针对非连续解，首先，用能量法对相应的解作线性估计，适当地确定解空间；然后，利用巴拿赫压缩映像原理证明解的适定性，初步求出非线性方程的弱解；最后，将非线性常微分方程看作特殊的偏微分方程，应用椭圆方程的弱解正则性理论来研究非线性常微分方程弱解的正则性，将弱解转变为强解。关键字：非线性常微分方程；线性常微分方程 ；变量替换；适定性；正则性Abstract Based on the theory of linear ordinary differential equations, the solution of nonlinear ordinary differential equations is discussed. For some special types of nonlinear ordinary differential equations, it can be transformed into linear ordinary differential equations by means of variable substitution method, and then the solutions of nonlinear ordinary differential equations are obtained by elementary integral method. For the types that can not be transformed into linear ordinary differential equations, it is divided into two cases: continuous solution and discontinuous solution. For the continuous solution, the existence and uniqueness of the solution is proved by the corresponding theory. For the discontinuous solution, firstly, the solution of the corresponding solution is linearly estimated by the energy method. Then, the solution space is determined by using the Banachian compression image principle. Then, the weak solution of the nonlinear equation is obtained. The nonlinear ordinary differential equation is regarded as a special partial differential equation. The weak solution regularity theory of elliptic equation is used to study the regularity of weak solution of nonlinear ordinary differential equation, and the weak solution is transformed into strong solution.Keyword: nonlinear ordinary differential equation；linear ordinary differential equation ；variable substitution； well-posedness of solution；regularity 目 录序言1第一章 将非线性常微分方程转化为线性常微分方程2 1.1 伯努利微分方程2 1.2 变量分离型方程3 1.3 可转化为变量分离型方程的方程类型3 1.4 全微分方程5 1.5 可转化为全微分方程的方程类型6 第二章 非线性微分方程解的适定性 72.1 连续解72.1.1 解的存在唯一性7 2.1.2 解的延拓72.2 非连续解82.2.1巴拿赫压缩映像原理8 2.2.2解的适定性82.2.3弱解的正则性 10第三章 总结28参考文献29序言 常微分方程是伴随着微积分慢慢发展起来的，随着各种各样实际问题的出现以及根据实际生活中的问题建立方程以后在数学方面所作的推广，常微分方程日益引起人们的关注，该问题已成为近代数学的一个重要研究方向。常微分方程在很多科学技术领域内提供了关键性的理论支撑,发挥着重要的作用,比如在力学、经济学、生物技术、电子技术领域等等。自动控制、人口问题、弹道轨道问题、导弹飞行的稳定性研究、经济问题等等,这些实际问题最终都要么转化为求微分方程的解，要么转化为研究方程对应的解的性质. 实际生活中的问题大多转变为求满足给定初边值条件的微分方程的特解. 一方面，常微分方程理论的逐步发展推动了诸多技术领域的发展。另一方面，这些技术的出现也促进了常微分方程理论日益走向成熟。非线性常微分方程作为常微分方程的重要构成内容，在理论和实践方面均有着重要的意义。非线性常微分方程远复杂于线性常微分方程，运用初等积分法求解非线性常微分方程几乎是不可行的，所以我们必须用不同于线性微分方程理论的方法去研究非线性微分方程的解。已有的研究给出了一些可以求解的特殊的非线性常微分方程以及关于方程对应的解的定性分析。本文在线性常微分方程和偏微分方程的理论基础之上，对非线性常微分方程的解法进行了初步研究，主要包括两部分内容。第一部分内容整理归纳出可转化为线性常微分方程的特殊类型的非线性常微分方程；第二部分内容在研究了微分方程的连续解之外，还研究了其非连续解。针对连续解，通过判断已知函数关于自变量是否满足利普希茨条件分别用不同的方法来证明解的适定性。针对非连续解，其适定性可应用巴拿赫压缩映像原理来证明。其中，第二部分内容是本文的重点，将非线性常微分方程看作特殊的偏微分方程，借助偏微分方程中的理论和方法来研究非线性常微分方程的解。1将非线性常微分方程转化为线性常微分方程对于某些特殊类型的一阶非线性常微分方程，可以用积分法求解。极少数高阶方程可以通过变量替换使方程降阶，进而可以用积分法求解。在每一次降阶的过程当中，都是在解一阶常微分方程。因此，对于非线性常微分方程，下面先介绍几类能用初等积分的方法求解的一阶非线性微分方程。考虑如下形式的一阶非线性常微分方程 dydx=fx,y, x,yD （1.1）其中，D是R2中的一个单连通区域，f对x和y连续。1.1 伯努利微分方程 dydx=Pxy+Qxyn （1.2）其中P(x),Q(x)为x的连续函数，且n0,1。通过变量替换可将伯努利微分方程化为线性常微分方程。y=0为方程的解。当y0时，在（1.2）式两边同乘以y-n,得 y-ndydx=y1-nPx+Qx （1.3）作变量替换 z=y1-n （1.4）则dzdx=1-ny-ndydx （1.5）将（1.4）式和（1.5）式代入(1.3)式，得dzdx=1-nPxz+1-nQx因此，得到一阶线性微分方程。该方程的解是zx=Ce-1-nPxdx+1-ne-1-nPxdxQxe1-nPxdxdx再将z=y1-n代入 ，得y1-nx=Ce-1-nPxdx+1-ne-1-nPxdxQxe1-nPxdxdx1.2 变量分离型方程若一阶非线性方程右方函数fx,y可以分离为两个单变量函数的乘积，即fx,y=gxhy其中gx，hy分别是x,y的连续函数。则有dydx=gxhy, x,yD1D2（1.6）且fx,y的定义域D=D1D2，D1和D2均为R上的区间。形如（1.6）形式的方程为变量分离方程。如果h(y)在D2上有零点，不妨设hy0=0,则y=y0就是方程（1.6）的一个解。在D2上由定常解划分的各个区间内，给方程（1.6）两边同除以h(y),得1hydydx=gx即ddxdyhy=gx作变量替换w=dyhy,得到线性方程dwdx=gx求解该方程得w=c+gxdx再将w=dyhy代入，得dyhy=w=c+gxdx1.3可化为变量分离型方程的类型1. dydx=fax+by+c (1.7)作变量替换z=ax+by+c,则有dzdx=a+bfz 上述方程为一个变量分离型方程。令gx=1,hz=a+bfz,即为方程（1.6）的形式，按照1.2节中介绍的方法进行求解，然后换回最初的变量，便得到原方程（1.7）的解。2. dydx=fyx (1.8)作变量替换 u=yx （1.9）即y=ux，则 dydx=u+xdudx (1.10)将（1.9）和（1.10）代入（1.8），于是原方程转化为u+xdudx=f(u)由于x0 ,进一步整理后，得到dudx=1xfu-u 该方程属于变量分离型方程。按照1.2节中介绍的方法进行求解，然后换回最初的变量，即可得到原方程（2.8）的解。3. dydx=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2 (1.11)形如（1.11）的方程也可通过变量替换转化为变量分离型方程，其中a1 ,a2 ,b1 ,b2 ,c1 ,c2均为常数。下面分情况讨论：（1）a12+a22=0情形此时方程变为dydx=fb1y+c1b2y+c2该方程为一个变量分离方程。（2） a12+a220情形。下面分三种情况进行讨论： 若a1a2=b1b2=c1c2=k则方程变为dydx=fk于是，得到通解y=fkx+c其中c为任意常数。若a1a2=b1b2=kc1c2,这时方程变为dydx=fka2x+b2y+c1a2x+b2y+c2令u=a2x+b2y，则a1x+b1y=ku于是dudx=a2+b2dydx因此dudx=a2+b2fku+c1u+c2此方程是一个变量分离方程。若a1a2b1b2a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2中分子、分母均为关于自变量x,y的一次多项式。方程组 a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 (1.12) 表示Oxy平面上两条直线的交点，设交点为，作变量替换 X=x-Y=y- (1.13)则dYdX=dydx于是，（1.12）化为a1X+b1Y=0a2X+b2Y=0从而dydx=fa1X+b1Y+c1a2X+b2Y+c2 =fa1X+b1Y+a1+b1+c1a2X+b2Y+a2+b2+c2 =fa1X+b1Ya2X+b2Y =fa1+b1YXa2+b2YX =gYX因此dYdX=gYX 该方程是一个形如（1.8）形式的变量分离方程。按照变量分离方程的方法求解上述方程，最后代回原来的变量，即可得到原方程（1.11）的解。1.4全微分方程当一阶非线性方程（1.1）中的已知函数fx,y=-Qx,yPx,y时，方程（1.1）就转变为 Px,ydydx+ Qx,y=0 (1.14)方程（1.14）的定义域是Px,y和Qx,y各自定义域的公共集合。即Px,ydy+ Qx,ydx=0 (1.15)设Px,y和Qx,y在区域D=a,ba,b上连续，而且Px,y关于第一个自变量x是可微的，Qx,y关于第二个自变量y是可微的。则当Px,yx=Qx,yy , x,yD (1.16)满足上述条件的方程（1.15）为全微分方程。在平面区域D上取定一点x0，y0，则对于区域D内的任意一点x,y以及这两点之间的任意 一条连线L,曲线积分LPx,ydy+ Qx,ydx与路径无关。记ux,y=LPx,ydy+ Qx,ydx由于该积分与路径的选取无关，故可选取积分路径为：首先沿着水平线L1从x0，y0积分至x，y0,然后再沿着垂直线L2从x，y0积分至x,y，则有ux,y=L1Px,ydy+ Qx,ydx+L2Px,ydy+ Qx,ydx =x0xPx,y0dy+y0yQx,ydx =x0xPs,y0ds+y0yQx,tdt于是dudx=Px,ydydx+ Qx,y由dudx=0，可得ux,y=C。所以，在（1.16）成立的条件下，方程（1.14）的通解为x0xPs,y0ds+y0yQx,tdt=C1.5可转化为全微分方程的类型若方程（1.15）在其定义域D上不属于全微分方程类型，但是存在二元连续函数Rx,yC1D，且Rx,y0，x,yD使得 RPx=RQy （1.17）那么，方程 Rx,yPx,ydy+Rx,y Qx,ydx=0 （1.18）就为一个全微分方程。按照2.4节中全微分方程的解法来求解方程（1.18），得到其通解ux,y=C由于方程（1.15）和方程（1.17）同解，则ux,y=C即为所求方程的解。2非线性微分方程解的适定性2.1 连续解2.1.1解的存在唯一性1. 已知函数关于自变量满足利普希茨条件考虑导数已解出的一阶微分方程dydx=fx,y (2.1) 其中，fx,y为定义在矩形区域R:x-x0a,y-y0b上的关于x,y的连续函数。 微分方程解的存在唯一性定理1：若fx,y在矩形区域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程（2.1）存在唯一的定义于区间x-x0h上的解y=x，该解连续且满足初值条件x0=y0其中h=mina,bM,M=maxx,yRfx,y。由此可知，如果fx,y连续，则可得到连续解。2.已知函数关于自变量不一定满足利普希茨条件此外，即便有些已知函数关于自变量不满足利普希茨条件或我们不容易验证函数关于自变量满足利普希茨条件，仍然可以证明解的存在唯一性。下面以具体的方程来说明： 考虑径向对称可压缩Navier-Stokes方程 t +(u)r + 2ur=0 2.2(u)t+u2+r+2u2r-ur+2urr+r2ur=0 2.3,ut=0=0r,u0r ,0ra0 2.4其中，a0为大于零的常数，而且自由边界条件为 at,t=0 (2.5)或者为在at上=ur+2ur （2.6）且 at=uat,t,a0=a0,t0 (2.7)对于方程（2.2）-（2.3）满足边界条件（2.5）或（2.6）的光滑解，很容易得到以下通常的先验能量估计：ddt0at(12u2+1-1)r2+-10aturr+2u2dr+0atur2r2+2u2dr0,1 对于任意两个C1中的函数fz0和at0,定义r,t=fratat3ur,t=atatr （2.8）则,ur,t是连续性方程（2.2）的解，即t +ru+ur + 2ur=0 (2.9) 这里，我们可以选择a(t) 作为满足条件（2.5）或（2.6）的自由边界。所以，下面我们将确定函数fx的形式，然后证明自由边界a(t) 的全局存在性。记z=rat,可以从（2.3）式得fzatat4r+fz-1fz1at3+1+ 2-3fz-1fzatat3+2=0 (2.10)接下来，我们将分别根据自由边界条件（2.5）或（2.6）求解方程(2.10)。(1)根据自由边界条件（2.5）求解方程(2.10)假设=1。对于带有边界条件（2.5）的方程（2.2）-（2.3），存在如下形式的解： r,t=1at312-1r2at2-11-1,ur,t=atatr (2.11)其中，a(t)C10,是满足(2.7)的自由边界，对于所有t0均存在。显然，如果at0是满足条件（2.5）的自由边界，则可以直接验证由（2.11）式定义的,u是方程（2.2）-（2.3）的一个解，其中at可以由以下方程确定：at=a1+a0 2-3-at2-3-0tas2-3dsa0=a0 ,a0=a1 (2.12)其中，a0 0和a1分别是自由边界的初始位置和斜率。 因此，我们需要解决边界值问题(2.12)。首先，我们对方程(2.12)的解作估计。设atC10,T是方程(2.12)的一个解，其中T0。则存在两个一致的独立于T的正常数C1和C20，使C11+t2-3-3atC21+t9-83-3 ,t0,T 其中=1 ， 431+ ， =435-3， 143下面给出边值问题(2.12)的解的存在和唯一性证明：令gat=a1+a0 2-3-at2-3-0tas2-3ds则问题(2.12)就转化为datdt=gata0=a0 ,ga0=a1 (2.13)设T1为一个需要确定的正的足够小的常数。定义X=atC10,T1，012a0 at2a0 ，t0,T1对于任意的a1t,a2tX,则有ga1t-ga2t=a2t2-3-a1t2-3+0ta2s2-3-a1s2-3ds33-112a0 1-31+T1sup0tT1a1t-a2t其中，33-112a0 1-31+T1是一个常数。定义X上的映射如下：Hat=a0 +0tgasds ,t0,T1 那么，对于任意的tT1，HatC10,T1。而且当ta0 a1+a0 2-3=T2时，Hata0 +ta1+a0 2-32a0 当0ta1+2a0 2-32+a0 2a0 2-3-a1+2a0 2-32a0 2-3=T3时，Hata0 -a1t-0tas2-3ds-0t0sa2-3dds12a0 因此，如果T1minT2,T3，则HatX。此外，因为Ha1t-Ha2t=0tga1sds-0tga2sds33-112a0 1-31+T1T1sup0tT1a1t-a2t当33-112a0 1-31+T1T11即T11+412a0 3-1331-1=T4时，H为一个压缩映射。由以上的证明可知，对任意的T1=minT2,T3，T4，H:XX是一个压缩。根据压缩映像原理可知，映射H在X中存在唯一的atC10,T1，使得Hat=at则at=gat所以，方程(2.14)在C10,T1中存在唯一的解at，并且满足012a0 at53首先，结合自由边界条件（2.6）和方程（2.2）可得at,t=0a0-+-t1-由（2.8）中定义的函数可知，自由边界为at=f1130a0-+-t13- (2.14)则（2.8）和(2.10)分别变为r,t=fratat3ur,t=r30a0-+3-t (2.15)其中，fz0,fzC0,1C1(0,1满足6-13+12z-f113-fz-2fz+-12f116-2fz3-116fz=0 （2.16）令=f10；gz=fz3-56，z0,1。则（2.16）等价于gzgz3-13-5-12=23-13-5z3+12g1=1 （2.17）下面证明方程（2.17）可以在0,1上求解，而且解是唯一的。首先做先验估计：设gz为系统（2.17）在空间C0,1C1(0,1中的解，则有-123-53-1gz1 ，z(0,1 （2.18）存在性将（2.17）改写为如下形式：gz=Ggz，z=1gz3-13-5-1223-13-5z3+12g1=1 （2.19）于是问题就转化为寻找（2.19）的解，使得gzC0,1C1(0,1而且满足-123-53-1gz1 ，z(0,1设Y=z,gz01-za,01-gzb对于很小的a0,1,b(0,1-123-53-1)那么,可以容易地推断出Ggz，zM ,z,gzY其中，M为正常数，仅取决于，a，b。若选取h=mina,bM,因为Ggz，z在Y中是连续的，所以初值问题在邻域01-zh内存在解。类似地，可以从邻域01-zh的左边一步步地扩展这个解。设解的最大存在区间为，1，其中0，,gzC,1C1(,1。经证明可知，0。唯一性设gzC0,1C1(0,1是问题（2.17）的另外一个解，满足g1=1-123-53-1gz1，z(0,1构造函数wz=gz-gz,则wz满足下列方程ddzwz-3-53-12wz+gz6-13-5-gz6-13-5=0w1=0,g1=1 （2.20）记E=z0,1w0,z1由于1E,所以E。定义z0=infE,则z00,1。显然，证明系统（2.17）解的唯一性等价于证明z00和连续性论证。下面用反证法证明z00：如果z00不成立，则z0(0,1,且wz0=0。对于任意的z(0,z0),由（2.18）可知-123-53-153，都有6-13-52。利用泰勒展开式知wz+gz6-13-5-gz6-13-5=6-13-5gz3-13-5wz+O1wz2 （2.23） 上述等式中的wz要求充分小。将（2.23）代入（2.22），再结合wz0=0，可以得到1-2-1gz3-13-5wz-3-53-12O1wz2=0其中，z接近z0。又根据（2.21）可得到1-2-1gz3-13-50，使得wz0,z(z0-,z0)这与z0=infE相矛盾。故z00。最后，综合以上的证明以及结合(2.15)，得到了方程（2.16）的全局解fzC0,1C1(0,1。2.1.2解的延拓 由微分方程解的存在唯一性定理获得的解是局部解，该定理只说明了在有限区间x-x0h上解是存在的。进一步，我们可将局部解进行延拓，使解的存在区间尽可能地扩大，因而微分方程的局部解变为适用区间更大的解。具体延拓方法如下：1.fx,y是定义在有界区域上的：若fx,y在整个有界区间上关于y符合利普希茨条件，则可将局部解延拓至区域边界；若在有界区间内存在某些点，使得fx,y在这些点处关于y不满足利普希茨条件，则在这些点处fx,y取值为无穷大。2.fx,y是定义在无界区域上的：若fx,y连续且在整个区间上关于y满足利普希茨条件，则可将局部解延拓至边界；若fx,y在某些点处无穷，则在这些点处取值为无穷大。2.2非连续解2.2.1巴拿赫压缩映像原理巴拿赫压缩映像原理2：设X是一个巴拿赫空间，其上的度量为。T为由XX的映射，并且对于任意x、yX,不等式Tx,Tyx,y恒成立，其中为常数，且01，那么T在X中存在唯一的不动点，即存在唯一的xX,使得Tx=x ,而且x可以用迭代法求出。具体的选取方式为：第一步: x0X第二步：x1=Tx0第三步：x2=Tx1 第n+1步：xn=Txn-1最后: xnx2.2.2解的适定性在非线性方程的研究过程中，压缩映像原理是一种非常有用的理论工具。在常微分方程理论中，解的存在性、唯一性以及解的收敛性都是微分方程中的关键性问题。为了探究常微分方程解的存在性和唯一性，可以将此问题等价地转化成求映射的不动点问题。考虑一阶常微分方程dydx=gx,y （2.24）求上述常微分方程符合初值条件yx0=y0的解等价于求解如下积分方程y=y0+x0xgt,ytdt在求解此积分方程时，根据gx,y满足的条件适当地选取一个距离空间，进一步，在这个空间中构造映射Tx=y0+x0xgt,tdt因此，求解原积分方程就等价地转变为求使等式T=成立的。于是，求常微分方程（2.24）的解的问题就转变为求所构造的映射T在解空间中的不动点问题。下面以具体的常微分方程为例介绍如何用巴拿赫映像原理来证明解的适定性：考虑方程u=f+12u ,在内 u=0 ，在上 （2.25）其中，为R中的一个有界区域。1.首先，用能量法对其作线性估计，进而适当地确定解空间。方程 u=f+12u （2.26）对方程（2.26）两端点乘u，然后进行积分，得uudx=f+12uudx即12ddtu2dx=(fu+12u2)dx根据Holder不等式的积分形式可知，（fu）dxfL2uL2则有(fu+12u2)dxfL2uL2+12uL22于是12ddtuL22fL2uL2+12uL22又由Young不等式可知，fL2uL212fL22+12uL22因此12ddtuL22uL22+12fL22即ddtuL222uL22+fL22若fL2 ,那么存在正常数C，使得fL2C所以ddtuL222uL22+C2再由Gronwall不等式可知, uL22,则方程的解uL2 ,即原方程的解空间为L2 。L2 是巴拿赫空间。2.其次，构造压缩映射，用巴拿赫映像原理来证明解的适定性。对方程（2.26）两端从0到t进行积分，得u=0tf+12udx构造映射:：Tut=0tf+12udx经过计算可知，TutL2 因此，T为由L2 到其自身的映射。Tx,Ty=0tTx-Ty2d12 =0t0t12xs-ysds2d12 0txs-ys2ds12 =x,y其中，01。 所以，T为压缩映射。又解空间L2 是巴拿赫空间，根据巴拿赫压缩映像原理可知，存在唯一的u，满足等式Tu=u。由此获得的u为原方程的弱解。2.2.3弱解的正则性把常微分方程看作特殊的偏微分方程，讨论其弱解的正则性，进一步地，将弱解转变为强解。1.首先讨论弱解的内部正则性。设已知函数fL2 ，uH01()是方程（3.3）的弱解。那么，对于任意双包含于的子区域 ，都有uH2 ，而且uH2 CuH1+fL2这里，C为常数，且只依赖于dist, 的大小和空间的维数。2.接下来讨论弱解的近边正则性。设已知函数fL2 ，uH01是方程（3.3）的弱解。如果满足C2,那么对于任意一点x0，都存在x0的一个邻域，使得uH2，而且uH2CuH1+fL2这里，C为常数，且只依赖于区域和空间的维数。3.最后讨论弱解的全局正则性。设已知函数fL2 ，uH01是方程（3.3）的弱解。如果满足C2，就有uH2，而且uH2CuH1+fL2这里，C为常数，且只依赖于区域和空间的维数。下面以具体的例子来说明弱解的正则性：考虑方程-u=fx，xu=0 （2.27） 其中，为R中的一个有界区域，函数fL2 。设uH01()是方程（2.27）的弱解，下面证明其弱解的正则性：(1)首先讨论弱解的内部正则性。设ux为R上的函数，定义差分算子如下：hux=ux+h-uxhh的共轭算子h*=-h。任取 ，记d=14dist, 。取上相对于 的截断因子xC0，满足0x1x1,在 上distsupp,2d根据弱解的定义知uvdx=fvdx ,vC0 （2.28）由于C0在H01中稠密，则（2.28）式等价于下列式子uvdx=fvdx ,vH01 （2.29）选取h,满足0h00=B1+x=0这里，B10表示单位球面。构造函数ux=u-1x，-1为映射的逆映射。容易验证ux是下列方程的弱解B1+axuxvxdx=B1+fvdx ,vxC0B1+ （2.34）其中，ax=Jx-1x-1x, fx=Jxf-1xJx表示映射y=-1x的雅可比行列式。取B1上相对于B12的截断因子x，令v=h*2hu。由于uH01，则vH01B1+。于是，可将v=h*2hu代入到（2.34）式，得到B1+axuxxh*2hudx=B1+fxh*2hudx （2.35）利用求导运算和差分运算可以交换次序，以及差分算子的性质，则式（2.34）可转化为B1+haxuxx2hudx=B1+fxh*2hudx类似于内部正则性的证明，可以得到B12+hu2dxCB1+u2dx+CB1+f2dx容易验证2u2xL2B12+ ,而且B12+2u2x2dxCB1+u2dx+CB1+f2dx由此可知，uxH2B12+。令=-1B12+，则uH2，且满足uH2CuH1+fL2(3)最后，讨论弱解的全局正则性。对于每一个x0，利用前面已证明的近边正则性结论可知，存在x0的一个邻域x0，使得uH2x0，而且uH2x0CuH1+fL2运用有限开覆盖定理，在由以上选取方法得到的所有邻域中，可选出的一个