数学专业毕业论文 压缩映射原理及其应用.doc

压缩映射原理及其应用摘 要: 本文较详细地论述了Banach空间中的压缩映射原理，以及它在关于一些问题的解的存在唯一性定理证明中的广泛应用。关键词: 抽象函数,不动点,压缩映射,抽象微分方程,隐函数存在性理引 言: 压缩映射原理的研究是算子方程Fx=x的求解问题，它不仅具有实义，而且对泛函分析理论的发展起着重大作用。我们首先介绍不动点和压缩映射的定义以及压缩映射原理，并在此基础上，进一步给出一个推广的压缩映射原理。压缩映射原理不仅指出了算子方程x=Fx的解的存在性和唯一性，而且给出了近似求解的方法及误差估计，因而是很有用的。微分方程初值问题的解的存在唯一性定理及毕卡(Picard)逐次逼近法就是它的特例。在Banach空间中这一问题将更为普遍。数学分析中的隐函数存在定理也是压缩映射原理的一个特例。一、几个定义及压缩映射原理定义1 设X，Y为巴拿赫空间，算子（一般地，F是非线性的）。如果存在有界线性算子使得关系式对于满足的是一致成立的，则称算子F在点处是弗力许（Frchet）可微的，并记，称为算子F在点处的弗力许导数。为了给出关于算子的有限增量公式（相当于中值定理），我们引入关于抽象函数的积分的概念。 设x(t)是由实数域到巴拿赫空间X的算子。这种算子通常称为“抽象函数”。现设x(t)的定义域是区间a，b。将a，b分成n个小区间，分点为记此分划为，及在每个小区间上任取一点，作和式 (*)定义2 如果对任意的分划及的任意取法，当时和式(*)都收敛（在X中范数意义下）于同一个元素，则抽象函数x(t)在a，b上黎蔓可积的，r称为x(t)在a，b上的黎蔓积分，记为性质1 设抽象函数x(t)黎蔓可积，则抽象函数在a，b上弗力许可薇，且 (*)定义3 设X为巴拿赫空间，F为由X到X的算子，且D(F)R(F)非空。如果x*X满足F(x*)=x*则称x*为算子F的不动点。换句话说，不动点x*是算子方程x=F(x) (1) 的解。定义4 设集合，如果存在常数q(0，1)，使得对任意的均有不等式|F()-F()|q|-| (2)则称F为集合Q上的压缩算子，q称为压缩系数。定理1(压缩映射原理) 设算子F映巴拿赫空间X中的闭集Q为自己。且F为Q上的压缩算子，压缩系数为q，则算子F在Q内存在唯一的不动点。若为Q中任意一点，作序列 （3）则序列且。并有误差估计 (4)证明：由于FQ故设利用算子F的压缩性，可依次得到: （5）现在估计。利用(5)式可得到 即 （6）由此可知是柯西点列，由X的完备性知存在使得又因Q是闭集故现在证明是算子F的不动点，由算子F在Q上的压缩性知其在Q上连续。事实上，如果则由式(2)知F(于是在式(3)中令n。即得再证的唯一性。设若另有一不动点则由于q故上式只能在时成立于是x=至于估计式（4）的证明只需在式（6）中令p。证毕。压缩映射原理最常用的两种特殊情形是Q=X及Q=-X中的闭球。对于后者，如下列推论所述推论1设F为闭球上的压缩算子，压缩系数为q，R（F）且 （7）则F在中有唯一不动点且序列（3）收敛于，收敛速度为式（4），初始近似可在中任取。证明 ： 只要证F映为自己。如果x即则。二、推广的压缩映射原理设算子F映集合Q为自己。对任一自然数n，算子F的n次幂定义为:当x时令如果已经定义，则令 定理2 设算子F映闭集Q为自己且对某一自然数k算子为Q上的压缩算子则F在Q中存在唯一的不动点逼近序列（3）收敛于初始近似为任意。证明 ： 当k=1时即为定理1。现设k。考察算子G=，根据定理1，G在Q上有唯一的不动点，因为算子F与G在Q上可交换，故有G（F（）=F（G（此即表明F（也是G的不动点。但G的不动点是唯一的，故F（即也是F的不动点。下证唯一。如果另有，满足，则。但G的不动点是唯一的，故=。证毕。三、压缩映射原理的应用在微分方程，积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性唯一性以及近似解的收敛性等都是很重要的问题。为了证明一个微分方程,积分方程或其它类型的方程存在解。我们可以将它变成求某一映射的不动点。现在以大家熟悉的一阶常微分方程 (8) 为例来说明这一点。求微分方程（8）满足初始条件的解与求解积分方程等价。为了求解积分方程（9），我们可以根据f（x，y）所满足解析条件适当地取一个度量空间，并在这个度量空间中作映射， 于是方程（9）的解就转化为求使它满足。也就是求出这样的，它经映射T作用后仍变为，这种称为映射T的不动点。因此求解方程（8）就变成求映射T的不动点。考察微分方程 (10)其中f(x，y)在整个平面内连续，此外还设f(x，y)关于y满足李普希茨条件：则通过点微分方程（10）有一条且只有一条积分曲线。证明 ： 问题（10）等价于求解下面的积分方程我们取使用表示在区间上的连续函数组成的空间，在中定义算子(映射)F:则因，由压缩映射原理，存在唯一的连续函数y(x)，使由此可以看出，y(t)还是连续可微的，于是y=y(t)便是微分方程(10)通过的积分曲线。但只定义在上，重复利用压缩映射原理，可以将它延拓到整个数轴上。四、巴拿赫空间中的微分方程对于微分方程初值问题的解的各种存在唯一定理，利用压缩映射原理，可以给出一种很简单的证明。下面我们在巴拿赫空间中讨论这一问题，这样做具有普遍性，却并不增加证明的复杂性。设x(t)为从实数域到某一巴拿赫空间X的抽象函数.我们要讨论的是非线性微分方程 (11)其中F(t,x)是关于两个变元的非线性算子,实变量,而x是X的元素.F的值域也在X中.的意义与通常理解的相同:现在假设F为已知,所谓微分方程(11)的初值问题是指求x(t),它满足(11)及初始条件 (12)其中。定理3 设当x为固定且时F(t，x)在上连续，而当及时有 (13) (14)则在0，a上初值问题(11)，(12)存在唯一解x(t)，且（当时）。 证明： 所讨论的问题等价于积分方程 (15) 事实上，设x(t)是初值问题(11)，(12)的解，则可将x(t)代入方程(15)，再从0到t积分，考虑到条件(12)，即得式（15），反之设x(t)满足方程（15），注意到当时抽象函数F(s，x(s)连续，这是因为 又根据x(t)的连续及F(t，x)对t的连续性，当且时上式右端的两项均趋于零。根据式(*)即知表明x(t)是问题(11)(12)的解。因此，初值问题(11)(12)等价于求方程(15)的解。记在0，a上连续，在X中取值的抽象函数x(t)的全体所构成的巴拿赫空间为，其范数定义为考察在中的闭球则非线性算子映为自己。这是因为其中用到了不等式(13)及a的定义。同时，是上的压缩算子，这是因为由条件（14）知其中q=al1（由a之定义）。于是利用压缩映射原理，方程（15）在球中存在唯一解x(t)。定理得证。这一定理的不足之处是初值问题（11），（12）的解仅确定在0，a上而不是在0，b上。对于算子F(t，x)附加以较强条件时可以弥补这个缺陷。定理4 设算子F(t,x)对每一固定的x,关于连续且满足李普希茨条件: 则初值问题(11)、（12）在0,b上存在唯一解.我们给出两种证明它们都很简单而富有启发性.第一种证明 如上所述，可等价地讨论积分方程（15）。在巴拿赫空间中考察积分算子 我们有下列估计 由此又有 一般地，我们有在0，b上取最大值，得到 由于当时故对于充分大的n，是中的压缩算子。于是定理得证.第二种证明 在巴拿赫空间中引入另一种范数(显然)。我们证明积分算子是这种范数下的压缩算子。事实上乘以因子，再在0，b上取max，得到故压缩系数为。定理得证五、一个特例-隐函数存在定理定理5 设函数在带状域 ， 中处处连续,且处处有关于y的偏导数.如果还存在常数m和M,满足 ， mM则方程f(x，y)=0在区间a，b上必有唯一的连续函数作为解: 证：在完备空间Ca，b中作算子(映射)F，使对任意的函数有。按照定理条件，f(x，y)是连续的，故也连续，即所以F是Ca，b到自身的映射。现证F是压缩算子。任取根据微分中值定理，存在满足由于，所以令，则有0qM，国防工业出版社，1986；7叶怀安，泛函分析M，安徽教育出版社，1984；8程其襄等，M，高教出版社，1984；9张鸣歧，M，北京理工大学出版社，1989。Abstract: This paper expound the fact compression of Banach shine upon prin