第二十二届“华杯赛”决赛小高组试题A详细解答.pdf

1 / 10 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 A(小学高年级组)详细解答 一、一、 填空题（每小题填空题（每小题 10 分，共分，共 80 分）分） 1.1. 用x表示不超过的最大整数，例如：3.14=3，则 20173 11 + 20174 11 + 20175 11 + 20176 11 + 20177 11 + 20178 11 的值为 。 2.2. 从 4 个整数中任意选出 3 个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样可以得到 4 个数：8,12, 10 2 3和9 1 3，则原来给定的 4 个整数的和 为 。 3.3. 在 33 的网格中（每个格子是 11 的正方形）放两枚相同的棋子， 每个格子最多放一枚棋子，共有 种不同的摆放方法。 （如果两种 方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法） 。 4.4. 甲从 A 地出发去找乙，走了 80 千米后达到 B 地，此时，乙已于半小时前离开 B 地 去了 C 地，甲已离开 A 地 2 小时，于是，甲以原来速度的 2 倍去 C 地，又经过了 2 个小时后，甲乙两人同时到达 C 地，则乙的速度是 千米/小时。 5.5. 某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组， 已知两个小组都参加的人数是只参加书法小 组人数的2 7， 是只参加朗诵小组人数的 1 5， 那么书法小组与朗诵小组的人数比是 。 6.6. 右图中，ABC 的面积为 100 平方厘米，ABD 的面积为 72 平方厘米。 M 为 CD 边的中点， MHB=90。 已知 AB=20 厘米， 则 MH 的长度为 厘米。 7.7. 一列数 a1, a2, ,an,记 S(ai)为 ai的所有数字之和，如 S(22)=2+2=4. 若 a1=2017, a2=22, an=S(an-1)+S(an-2),那么 a2017等于 。 2 / 10 8. 如右图，六边形的六个顶点分别标志为 A,B,C,D,E,F.开始的 时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于 A,B,C,D,E,F 顶点 处。将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处 仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同 的摆放方法共有 种。 二、二、 解答下列各题（解答下列各题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程） 9. 平面上有 5 条不同的直线，这 5 条直线共形成 n 个交点，则 n 有多少个不同的数 值？ 10. 某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐。每名学生至少选择一 种， 也可以多选。 统计结果显示： 70%的学生选择了苹果， 40%的学生选择了香蕉， 30%的学生选择了梨。那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？ 11. 箱子里面有两种珠子， 一种每个 19 克， 另一种每个 17 克， 所有珠子的重量为 2017 克，求两种珠子的数量和所有可能的值。 12. 使 3n+2 5n+1 不为最简分数的三位数 n 之和等于多少？ 三、三、 解答下列各题解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 班上共有 60 名同学，生日记为某月某号。问每个同学两个同样的问题：班上有几 个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你的生日的号数相同（比如生日为 1 月 12 日与 12 月 12 日的号数是相同的） 。结果发现，在所得到的回答中包含了由 0 到 14 的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 14. 将 1 到 9 填入右图的网格中，要求每个格子填一个整数，不 同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子 有公共边的格子） 所填数字之和是该格子中所填数字的整数 倍。已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母x的 格子所填的数字最大是多少？ 3 / 10 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 A(小学高年级组)详细解答 一、一、 填空题（每小题填空题（每小题 10 分，共分，共 80 分）分） 1.1. 用x表示不超过的最大整数，例如：3.14=3，则 20173 11 + 20174 11 + 20175 11 + 20176 11 + 20177 11 + 20178 11 的值为 。 【解】 ：2017 11 = 183 + 4 11 2017 11 3 = 183 3 + 4 11 3= 183 3 + 1 类似地，可知： 2017 11 4= 183 4 + 1； 2017 11 5= 183 5 + 1 2017 11 6= 183 6 + 2； 2017 11 7= 183 7 + 2；2017 11 8= 183 8 + 2 原式= 183 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2=6048 【答】 ：所求值为 6048。 2. 从 4 个整数中任意选出 3 个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样可以得到 4 个数：8,12, 10 2 3和9 1 3，则原来给定的 4 个整数的和 为 。 【解】 ：假设原来四个整数分别为 a,b,c,d,则按照题意所求的四个数的表达式分别为： a + b + c 3 + d, a + b + d 3 + c a + c + d 3 + b, b + c + d 3 + a a+b+c 3 + d + a+b+d 3 + c + a+c+d 3 + b + b+c+d 3 + a = 3（a+b+c+d） 3 + (a + b + c + d) = 2(a + b + c + d) a + b + c + d = 1 2 8 + 12 + 10 2 3 + 9 1 3 = 1 2 (20+20) =20 【答】 ：原来给定的 4 个整数的和为 20。 4 / 10 3.3. 在 33 的网格中 （每个格子是 11 的正方形） 放两枚相同的棋子， 每个格子最多放一枚棋子，共有 种不同的摆放方法。 （如果两 种方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法） 。 【解】 ：分三种情形，共有 10 种不同摆法，如下图： （1） 两个点都在第一行； （2）两个点不在同一行但相邻； （3）两个点不在同一行且不相邻； 【答】 ：共有 10 种不同的摆放方法。 4.4. 甲从 A 地出发去找乙，走了 80 千米后达到 B 地，此时，乙已于半小时前离开 B 地去了 C 地，甲已离开 A 地 2 小时，于是，甲以原来速度的 2 倍去 C 地，又经过 了 2 个小时后，甲乙两人同时到达 C 地，则乙的速度是 千米/小时。 【解】 ：设甲的速度为 V 甲，乙的速度为 V 乙，AB 两地距离为 SAB，BC 两地距离为 SBC 根据题意可知：V 甲=802= 40 (千米/小时) ，甲原来的速度的 2 倍为 80 (千米/小时) 所以，BC 两地距离：SBC=280=160 (千米) 又，乙从 B 地到 C 地花了 2.5 小时，所以，乙的速度为： V 乙=SBC2.5=1602.5=64 (千米/小时) 【答】 ：乙的速度为 64 千米/小时。 5 / 10 5.5. 某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法 小组人数的2 7，是只参加朗诵小组人数的 1 5，那么书法小组与朗诵小组的人数比 是 。 【解】 ：设两个小组都参加的人数为单位 1，则： 只参加书法小组的人数为7 2，只参加朗诵小组的人数为 5. 参加书法小组的总人数为7 2 +1= 9 2，参加朗诵小组的总人数为 5+1=6 书法小组与朗诵小组人数比=9 2 6 6=9 91212=3:43:4 【答】 ：书法小组与朗诵小组人数比是 3:43:4。 6. 右图中，ABC 的面积为 100 平方厘米，ABD 的面积为 72 平方厘米。M 为 CD 边的中点，MHB=90。已知 AB=20 厘米，则 MH 的长度为 厘米。 【解】 ：作 DE 垂直于 AB 交于 E，作 CF 垂直于 AB 交于 F 则：SABD=1 2AB DE, SABC= 1 2AB CF SABD+SABC=1 2AB (DE + CF) DE、MH 和 CF 都是 AB 的垂线，DEMHCF M 是 CD 的中点，MH 是梯形 EFCD 的中位线，从而有： MH=1 2 (DE + CF)=（SABD+SABC）/AB=(100+72)/20=8.6(厘米) 【答】 ：MH 的长度为 8.6 厘米。 6 / 10 7. 一列数 a1, a2, ,an,记 S(ai)为 ai 的所有数字之和，如 S(22)=2+2=4. 若 a1=2017, a2=22, an=S(an-1)+S(an-2),那么 a2017等于 。 【解】 ：根据题意，a3=S(a2)+ S(a1)= S(22)+ S(2017)=4+10=14 a4=S(a3)+ S(a2)= S(14)+ S(22)=5+4=9，类似地，我们可以算出： a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，a9=7，a10=13，a11=11，a12=6，a13=8，a14=14，a15=13， a16=9，a17=13，a18=13，a19=8，a20=12，a21=11，a22=5，a23=7，a24=12，a25=10，a26=4， a27=5，a28=9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6 从中可以找出规律：从 a4项开始，每 24（注：28-4=24）个项一次循环，如下： a4= 9，a5=14，a6=14，a7=10，a8=6， a28= 9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6， (2017-4) (28-4)=201324=83 余 21 a2017= a(4+21)= a25=10 【答】 ：a2017等于 10。 8. 如右图， 六边形的六个顶点分别标志为 A,B,C,D,E,F.开始的 时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于 A,B,C,D,E,F 顶点 处。将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处 仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同 的摆放方法共有 种。 【解】 ：若“华”字确定了摆放位置，则“庚”和“杯”字的位置就确定了。 若“罗”字确定了摆放位置，则“金”和“赛”字的位置就确定了。 “华”字和“罗”字各有两种摆法，且可以任意组合， 不同的摆放方法总共有： 2 2=4 （种） 。 【答】 ：不同的摆放方法总共有 4 种。 7 / 10 二、二、 解答下列各题解答下列各题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程） 9.平面上有 5 条不同的直线， 这 5 条直线共形成 n 个交点， 则 n 有多少个不同的数值？ 【解】 ：在 5 条直线之中，最多的相互平行的直线数量可能有：5、4、3、2、0 五种情况。 若五条直线都相互平行，则 n=0; 若四条直线相互平行，则另外一条直线与这 4 条直线各有 1 个交点，即 n=4， 若最多三条直线相互平行，则交点的个数可能是：6、7 或 5，依次如下图： 若最多两条直线相互平行，则交点的个数可能是：4、6、8、7 或 9，依次如下图： 若没有直线相互平行，则交点的个数可能是：1、5、6、8 或 10，依次如下图： 综上所述，交点个数可能有：0、1、4、5、6、7、8、9、10。共有 9 个不同的数值。 【答】 ：n 有 9 种不同的数值。 10. 某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐。每名学生至少选择一 种， 也可以多选。 统计结果显示： 70%的学生选择了苹果， 40%的学生选择了香蕉， 30%的学生选择了梨。那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？ 【解】 ：要想使吃三种水果的人数最多，则吃两种水果的人数 均为 0，如右图所示： 根据题意，我们有： 70%X40%X30%XX=100% 解方程得：X=20% 【答】 ：三种水果都选的学生数占学生总数至多为百分之 20。 8 / 10 11. 箱子里面有两种珠子， 一种每个 19 克， 另一种每个 17 克， 所有珠子的重量为 2017 克，求两种珠子的数量和所有可能的值。 【解】 ：设 19 克的珠子有 X 个，17 克的珠子有 y 个，则：19X17y=2017 根据题意，可知：x0 且 y0，所以，x106，y118 19X17y=17(x+y)+2x 而 2017=17118+11=17117+28=17115+62=17113+96=17111+130=17109+164 =17107+198=17105+232= 根据题意可知，2x 为偶数，且 x106，所以，2x 小于 212。 从上式可以看出，2X 的可能取值为：28、62、96、130、164、198，相应地 X+Y 的可能取值 为：117、115、113、111、109、107。 【答】 ：两种珠子的数量和所有可能的值为：117、115、113、111、109、107。 12. 使 3n+2 5n+1 不为最简分数的三位数 n 之和等于多少？ 【解】 ：n 是三位数，100n999 ,(5n+1)(3n+2)=2n10 即：5n+13n+2 (5n+1) (6n+1)(6n+4)2(3n+2)，(5n+1)(3n+2)2 用转辗相除法求最大公约数，步骤如下：(5n+1)(3n+2)=1 余 2n-1; (3n+2)(2n-1)=1 余 n+3; (2n-1)(n+3)=1 余 n-4;(n+3)(n-4)=1 余 7; 因此，要想(5n+1)和(3n+2)的最大公约数大于 1，则(n-4)必须是 7 的倍数。 满足上述条件的三位数 n 有：102,109,116，,991,998 它们的和为：102+109+116+998=(102+998)2(998-102)7+1=70950 【答】 ：所有满足条件的三位数 n 之和等于 70950。 9 / 10 三、三、 解答下列各题解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 班上共有 60 名同学，生日记为某月某号。问每个同学两个同样的问题：班上有几 个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你的生日的号数相同（比如生日为 1 月 12 日与 12 月 12 日的号数是相同的） 。结果发现，在所得到的回答中包含了由 0 到 14 的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 【解】 ：该班至少有 2 个同学生日相同，分析如下：如果得到的答案包含 014，则说明生日属于 某个月份或某个号数的人数应该为 115 1+2+3+4+15=120=2X60, 根据抽屉原理， 所有同学的生日的月份都必须属于这些月份之 中的某一个，同时也必须属于这些号数的某一个。以下是某一种可能的情形： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 日小计 1 号 1 1 0 0 0 0 2 2 号 0 1 2 0 0 0 3 3 号 2 0 0 2 0 0 4