护士工作时间的安排——论文

护士工作时间的安排摘 要： 本文研究的是在满足各时间段人员需求量的条件下，医院护士排班最优问题。根据题目约束条件，用运筹学中的线性规划建立模型，再利用求解,分别算出所需护士人员总数及加班人员人数总和，制定了排班的优化方案。 对于问题一，从各时间段人员需求量考虑，依据每个护士每天工作8小时，且在工作4个小时后需要休息1个小时这一假定条件，本文以每天该科所需的最少护士数Z为目标函数，以班次i所需新安排的护士数为决策变量，以所给该科室每日每班次至少需要护士的数量为约束条件，最后用编程求解得每天该科所需的最少护士数为91人。 对于问题二，综合考虑人员总数为80、各时间段人员需求量以及加班人员每天加班时间为2个小时，且紧随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息等条件，分别假设出正常上班人员安排在各时间段开始上班的人数、应加班人员安排在各时间段开始上班的人数，再以该科室每班次至少需要护士的数量及排班要求为约束条件建立最优化模型。采用编程，求解得总加班人员人数总和为36人，正常上班人数总和为44人。关键词： 护士排班 线性规划 最优方案 1、 问题的重述1.1 问题的背景某医院的心脑血管科需要制定护士的工作时间表。在心脑血管科的一个工作日分为12个两小时的时段，每个时段的人员要求不同。以下列出了每个时段的人员需求量：编号时段需要护士人数10:002:001522:004:001534:006:001546:008:003558:0010:0040610:0012:0040712:0014:0040814:0016:0030916:0018:00311018:0020:00351120:0022:00301222:0024:0020 由于每个护士每天工作8小时，且在工作4个小时后需要休息1个小时，故划分24个时段。以下列出了每个时段的人员需求量：编号时段需要护士人数10:001:001521:002:001532:003:001543:004:001554:005:001565:006:001576:007:003587:008:003598:009:0040109:0010:00401110:0011:00401211:0012:00401312:0013:00401413:0014:00401514:0015:00301615:0016:00301716:0017:00311817:0018:00311918:0019:00352019:0020:00352120:0021:00302221:0022:00302322:0023:00202423:0024:0020排班需满足：（1）每位护士每天工作8小时，且在工作4小时后需要休息1小时。（2）如果加班，每天加班的时间为2小时，且紧随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息。1.2需要解决的问题问题1：（1） 为满足每位护士每天工作8小时，且在工作4小时后需要休息 1小时的需求最少需要多少名护士？（2） 如果满足需求的排班方案不止一种，给出合理的排班方案问题2：目前心脑血管科只有80名护士，如果这个数目不能满足指定的需求，只能考虑让部分护士加班。（1） 求解出护士工作时间安排的方案，使需要加班的护士数目最少。（2） 给出最合理的排班和加班方案，并说明其理由。2、 问题的分析 由于护士排班中存在一系列制度约束, 外加需要考虑方案的可行性, 因此护士排班问题是较为复杂的组合优化问题。经分析，对该问题处理要分两个步骤进行：第一，确定该科室不同时间段所需护士数，并根据相关制度，确定排班的约束条件；第二，在最少人数及排班方案已确定的条件下，算出加班护士人数的最优解。具体分析如下：2.1问题一的分析护士每天工作8小时，且连续工作4小时后需要休息1小时，然后再接着工作4小时。例如：在第10时段内工作的护士人数等于第10时段开始工作的护士人数、第9时段开始工作的人数、第8时段开始工作的人数、第7时段开始工作的人数、以及第5个、第4个、第3个和第2个时段开始工作的护士人数之和。即：在时段10中，正在工作的护士分别是在时段2、3、4、5、7、8、9、10开始工作。例如：有个护士在时段2开始工作，则她在时段2、时段3、时段4和时段5中将进行工作，在时段6休息，然后在时段7、时段8、时段9和时段10继续工作。我们需要保证在每个时段都有足够的护士在工作。所以以满足要求时需要工作的最少护士人数为目标函数，护士一天工作八小时，且连续工作四小时后需要休息1小时为约束条件，建立整数规划模型I，求出满足需求时需要护士的最少人数。 护士在凌晨00am05am开始上班和下班的护士在生活会有很多的不便，比如乘车问题、安全问题等等。这会引起在这段时间上、下班的护士的不满意。为降低不满意度，使工作时间安排更加人性化，对上述模型I进行改进。以满足需求并且需要在凌晨00am05am开始上班与下班的总护士人数最少为目标函数，建立模型II，求出更加合理、更加人性化的工作时间调度表。2.2问题二的分析此科室目前只有80名护士，这个数目不足以满足需求，故需要安排部分人加班。考虑到护士每天只加班两小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息，同问题一类似分析。所以以满足要求时加班人数最少为目标函数，建立模型III，求出满足需求时需要加班的护士的最少人数。经分析，此问亦是建立与求解线性规划模型的过程，故确定恰当合适的决策变量、目标函数及约束条件是求得正确结果的关键。3、 模型的假设1、假设忽略护士对班次的个人偏好；2、假设不考虑国家指定假期影响来进行排班；3、假设不考虑安排的护士因请假等特殊缺席情况发生而换班； 4、假设不考虑护士在指定上班时间内迟到或早退；5、假设所给数据真实可靠且每个约束条件医院排班均必须考虑；6、假设计算人数不满1时，可以认为能忽略小数点向上取整；4、 符号说明1. ：第i+1个时间段所需人员数。2. ：安排在第i+1个时间段开始上班的人数。3. MIN：满足需求最少需要的护士人员总数。4. ：第i+1个时段开始工作的护士人数中不需要加班的人数。5. ：第i+1个时段开始工作的护士人数中需要加班的人数。注：i= 0 , 2. . . 235、 模型的建立与求解 从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，本文对问题一建立了模型，求得每天该科所需的最少护士数，满足需求的排班方案不止一种，求出最合理的排班方案，建立模型；对问题二建立了模型III，得到了最少加班护士的人数。5.1问题一的求解5.1.1模型的建立： 已知该医院中,一个工作日分为24个一小时长的时段，每个时段的护士人数要求都不同。但必须满足每个时间段都有足够的护士在工作，并且每个护士每天工作8小时，连续工作4小时后需要休息1小时。由此可以列出约束条件，然后以满足需求所需的最少护士人数为目标函数的整数规划模型。模型I如下： 5.1.2模型I的求解利用软件编程求解可以得到结果（代码见附录1）。图1 程序1运行结果 结论：在每个护士每天工作8小时，且连续工作4小时候需要休息1小时的条件下，该宾馆为满足工作量的需求至少需要91名护士。 表1 模型一的工作调度表时段号时间段开始工作的人数总工作人数 100am-01am0 15201am-02am415302am-03am215403am-04am615504am-05am815605am-06am1015706am-07am735807am-08am435908am-09am7401009am-10am2401110am-11am1401211am-12am0401300pm-01pm8401401pm-02pm3401502pm-03pm3301603pm-04pm5301704pm-05pm10311805pm-06pm2311906pm-07pm6352007pm-08pm3352108pm-09pm0302209pm-10pm0302310pm-11pm0202411pm-12pm0205.2.1模型II的建立 改进的模型中，仍然必须保证每个时段都有足够的护士在工作，护士每天需工作8小时，且连续工作4小时后需要休息1小时，并且所需护士人数保持最小值91人，由此可以列出约束条件，建立以满足需求时需要在凌晨00am05am开始上班与下班的总护士的人数最少为目标函数的整数规划模型II。模型如下： 5.2.2模型II的求解利用LINGO软件编程求解可以得到结果（代码见附录2）。图2 程序2的运行结果 结论：由表2可以看出改进后的模型II中，护士在凌晨00am05am开始上班与下班的总人数减少2人。比较可知改进后的模型II能在很大程度上降低护士对工作时间安排的不满意度，其工作时间调度表更加合理、更加人性化。表2 模型II的工作时间调度表时段号时间段开始工作的人数总工作人数 100am-01am0 15201am-02am415302am-03am315403am-04am815504am-05am615605am-06am915706am-07am535807am-08am335908am-09am3401009am-10am3401110am-11am0401211am-12am6401300pm-01pm6401401pm-02pm3401502pm-03pm4301603pm-04pm9301704pm-05pm3311805pm-06pm4311906pm-07pm4352007pm-08pm0352108pm-09pm0302209pm-10pm0302310pm-11pm0202411pm-12pm0205.3模型III的建立不加班的护士每天工作8小时，连续工作4小时候需休息1小时；需要加班的护士在原工作的基础上每天加班2小时，且紧随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息；总共有80名护士，由此可以列出约束条件，以满足需求时加班人数最少为目标函数建立整数规划模型。 模型III如下：见附录三5.3.1模型III的求解利用LINGO软件编程求解可以得到结果（代码见附录3）。 图3 程序3的运行结果 结论：在医院科室只有80名护士，加班护士每天加班时间为2小时，且紧随在后一个四小时工作时段之后，中间没有休息的条件下，该科室为满足工作量的需求至少需要36名护士加班。 表3 模型III的工作时间调度表时段号时间段需要加班的人数不加班的人数开始工作的人数总工作人数 100am-01am303 15201am-02am80815302am-03am01115403am-04am08815504am-05am03315605am-06am03315706am-07am0101035807am-08am61735908am-09am000401009am-10am000401110am-11am707401211am-12am101401300pm-01pm606401401pm-02pm516401502pm-03pm022301603pm-04pm022301704pm-05pm077311805pm-06pm000311906pm-07pm060352007pm-08pm000352108pm-09pm000302209pm-10pm000302310pm-11pm000202411pm-12pm00020六、模型的评价与推广6.1模型的优点 文中的数据都采用表格的形式给出，更加清晰和直观；建立的整数规划模型通俗易懂，能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有良好的通用性和推广性；我们对模型进行改进，得到了更加合理和更加人性化的工作调度表，有很强的实用性；在模型求解时采用软件，算法简单，很容易编程实现，推广容易并且可信度高。6.2模型的缺点模型的建立在一定理想情况的得出的结果，未考虑各种客观因素的影响，难免有一些欠妥之处。例如，所建模型是建立在假设每名护士连续工作4小时后只能休息1小时，且在休息2小时后继续工作4小时的基础上。这个假设使得所建模型更加简单但存在一定的不合理性，因为在实际生活中，护士在连续工作4小时后可以休息不止2小时，然后再进行接下来的工作。6.3模型的改进与推广6.3.1模型的改进 本文中建立的模型假设了每名护士在连续工作4小时后只能休息1小时，在休息1小时后连续工作。在实际工作中，护士在工作时间内，可能会有特殊情况需要请假；护士上班时间不连续；或者是有突发事件导致所需护士人数增加。考虑以上因素，可建立一个工作时间不连续的整数规划模型，用枚举法可得出在工作时间不连续的情况下的最优人数与工作时间安排。6.3.2模型的推广 本文中建立的整数规划模型不仅可以解决护士工作时间调度问题，也可以应用于其它领域，比如超市工作人员的时间调度问题、图书馆工作人员的值班问题等等。参考文献1 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。2 牛映武，运筹学，陕西：西安交通大学出版社，1994。3 何坚勇，最优化方法，北京：清华大学出版社，2007。4 袁新生，LINGO和Excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007。附录附录1%模型I的LINGO程序1model:MIN=X0+X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23;X0+X23+X22+X21+X19+X18+X17+X16=15;X1+X0+X23+X22+X20+X19+X18+X17=15;X2+X1+X0+X23+X21+X20+X19+X18=15;X3+X2+X1+X0+X22+X21+X20+X19=15;X4+X3+X2+X1+X23+X22+X21+X20=15;X5+X4+X3+X2+X0+X23+X22+X21=15;X6+X5+X4+X3+X1+X0+X23+X22=35;X7+X6+X5+X4+X2+X1+X0+X23=35;X8+X7+X6+X5+X3+X2+X1+X0=40;X9+X8+X7+X6+X4+X3+X2+X1=40;X10+X9+X8+X7+X5+X4+X3+X2=40;X11+X10+X9+X8+X6+X5+X4+X3=40;X12+X11+X10+X9+X7+X6+X5+X4=40;X13+X12+X11+X10+X8+X7+X6+X5=40;X14+X13+X12+X11+X9+X8+X7+X6=30;X15+X14+X13+X12+X10+X9+X8+X7=30;X16+X15+X14+X13+X11+X10+X9+X8=31;X17+X16+X15+X14+X12+X11+X10+X9=31;X18+X17+X16+X15+X13+X12+X11+X10=35;X19+X18+X17+X16+X14+X13+x12+X11=35;X20+X19+X18+X17+X15+X14+X13+X12=30;X21+X20+X19+X18+X16+X15+X14+X13=30;X22+X21+X20+X19+X17+X16+X15=20;X23+X22+X21+X20+X18+X17+X16+X15=20;gin(X0);gin(X1);gin(X2);gin(X4);gin(X5);gin(X6);gin(X7);gin(X8);gin(X9);gin(X10);gin(X11);gin(X12);gin(X13);gin(X14);gin(15);gin(16);gin(X17);gin(X18);gin(X19);gin(X20);gin(X21);gin(X22);gin(X23）;End运行结果如下：附录2model:MIN=X0+X1+X2+X3+X4+X5+X15+X16+X17+X18+X19+X20;X0+X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23=91;X0+X23+X22+X21+X19+X18+X17+X16=15;X1+X0+X23+X22+X20+X19+X18+X17=15;X2+X1+X0+X23+X21+X20+X19+X18=15;X3+X2+X1+X0+X22+X21+X20+X19=15;X4+X3+X2+X1+X23+X22+X21+X20=15;X5+X4+X3+X2+X0+X23+X22+X21=15;X6+X5+X4+X3+X1+X0+X23+X22=35;X7+X6+X5+X4+X2+X1+X0+X23=35;X8+X7+X6+X5+X3+X2+X1+X0=40;X9+X8+X7+X6+X4+X3+X2+X1=40;X10+X9+X8+X7+X5+X4+X3+X2=40;X11+X10+X9+X8+X6+X5+X4+X3=40;X12+X11+X10+X9+X7+X6+X5+X4=40;X13+X12+X11+X10+X8+X7+X6+X5=40;X14+X13+X12+X11+X9+X8+X7+X6=30;X15+X14+X13+X12+X10+X9+X8+X7=30;X16+X15+X14+X13+X11+X10+X9+X8=31;X17+X16+X15+X14+X12+X11+X10+X9=31;X18+X17+X16+X15+X13+X12+X11+X10=35;X19+X18+X17+X16+X14+X13+x12+X11=35;X20+X19+X18+X17+X15+X14+X13+X12=30;X21+X20+X19+X18+X16+X15+X14+X13=30;X22+X21+X20+X19+X17+X16+X15=20;X23+X22+X21+X20+X18+X17+X16+X15=20;gin(X0);gin(X1);gin(X2);gin(X4);gin(X5);gin(X6);gin(X7);gin(X8);gin(X9);gin(X10);gin(X11);gin(X12);gin(X13);gin(X14);gin(15);gin(16);gin(X17);gin(X18);gin(X19);gin(X20);gin(X21);gin(X22);gin(X23);End运行结果如下附录3model:MIN=Y0+Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6+Y7+Y8+Y9+Y10+Y11+Y12+Y13+Y14+Y15+Y16+Y17+Y18+Y19+Y20+Y21+Y22+Y23;Y14+Y15+W0+Y0+W23+Y23+W22+Y22+W21+Y21+W19+Y19+W18+Y18+W17+Y17+W16+Y16=15;Y15+Y16+W1+Y1+W0+Y0+W23+Y23+W22+Y22+W20+Y20+W19+Y19+W18+Y18+W17+Y17=15;Y16+Y17+W2+Y2+W1+Y1+W0+Y0+W23+Y23+W21+Y21+W20+Y20+W19+Y19+W18+Y18=15;Y17+Y18+W3+Y3+W2+Y2+W1+Y1+W0+Y0+W22+Y22+W21+Y21+W20+Y20+W19+Y19=15;Y18+Y19+W4+Y4+W3+Y3+W2+Y2+W1+Y1+W23+Y23+W22+Y22+W21+Y21+W20+Y20=15;Y19+Y20+W4+Y4+W3+Y3+W2+Y2+W0+Y0+W23+Y23+W22+Y22+W21+Y21=15;Y20+Y21+W6+Y6+W5+Y5+W4+Y4+W3+Y3+W1+Y1+W0+Y0+W23+Y23+W22+Y22=35;Y21+Y22+W7+Y7+W6+Y6+W5+Y5+W4+Y4+W2+Y2+W1+Y1+W0+Y0+W23+Y23=35;Y22+Y23+W8+Y8+W7+Y7+W6+Y6+W5+Y5+W3+Y3+W2+Y2+W1+Y1+W0+Y0=40;Y23+Y0+W9+Y9+W8+Y8+W7+Y7+W6+Y6+W4+Y4+W3+Y3+W2+Y2+W1+Y1=40;Y0+Y1+W10+Y10+W9+Y9+W8+Y8+W7+Y7+W5+Y5+W4+Y4+W3+Y3+W2+Y2=40;Y1+Y2+W11+Y11+W10+Y10+W9+Y9+W8+Y8+W6+Y6+W5+Y5+W4+Y4+W3+Y3=40;Y2+Y1+W3+Y3+W12+Y12+W11+Y11+W10+Y10+W9+Y9+W7+Y7+W6+Y6+W5+Y5+W4+Y4=40;Y3+Y4+W13+Y13+W12+Y12+W11+Y11+W10+Y10+W8+Y8+W7+Y7+W6+Y6+W5+Y5=40;Y4+Y5+W14+Y14+W13+Y13+W12+Y12+W11+Y11+W9+Y9+W8+Y8+W7+Y7+W6+Y6=30;Y5+Y6+W15+Y15+W14+Y14+W13+Y13+W12+Y12+W10+Y10+W9+Y9+W8+Y8+W7+Y7=30;Y6+Y7+W16+Y16+W15+Y15+W14+Y14+W13+Y13+W11+Y11+W10+Y10+W9+Y9+W8+Y8=31;Y7+Y8+W17+Y17+W16+Y16+W15+Y15+W14+Y14+W12+Y12+W11+Y11+W10+Y10+W9+Y9=31;Y8+Y9+W18+Y18+W17+Y17+W