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青羊教育2010届高三数学精品讲练:三角函数一、典型例题例1、 已知函数f(x)=(1) 求它的定义域和值域;(2) 求它的单调区间;(3) 判断它的奇偶性;(4) 判断它的周期性。分析: (1)x必须满足sinx-cosx0,利用单位圆中的三角函数线及,kZ 函数定义域为,kZ 当x时, 函数值域为) (3) f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性 (4) f(x+2)=f(x) 函数f(x)最小正周期为2注;利用单位圆中的三角函数线可知,以、象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx的符号;以、象限角平分线为标准,可区分sinx+cosx的符号,如图。例2、 化简,(,2)分析:凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式 原式= (,2) 当时, 原式=当时, 原式= 原式=注: 1、本题利用了“1”的逆代技巧,即化1为,是欲擒故纵原则。一般地有,。 2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为(取)是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sincosx,sinxcosx,要熟练掌握变形结论。例3、 求。分析:原式= 注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。例4、已知00900,且sin,sin是方程=0的两个实数根,求sin(-5)的值。分析:由韦达定理得sin+sin=cos400,sinsin=cos2400- sin-sin= 又sin+sin=cos400 00 900 sin(-5)=sin600=注:利用韦达定理变形寻找与sin,sin相关的方程组,在求出sin,sin后再利用单调性求,的值。例5、(1)已知cos(2+)+5cos=0,求tan(+)tan的值; (2)已知,求的值。分析:(1) 从变换角的差异着手。 2+=(+)+,=(+)- 8cos(+)+5cos(+)-=0展开得:13cos(+)cos-3sin(+)sin=0同除以cos(+)cos得:tan(+)tan=(2) 以三角函数结构特点出发 tan=2 注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。例6、已知函数(a(0,1)),求f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调性。分析:对三角函数式降幂 f(x)=令 则 y=au 0a0,0),在一个周期内,当x=时,ymax=2;当x=时,ymin=-2,则此函数解析式为A、 B、C、 D、4、已知=1998,则的值为A、1997 B、1998 C、1999 D、20005、已知tan,tan是方程两根,且,则+等于A、 B、或 C、或 D、6、若,则sinxsiny的最小值为A、-1 B、- C、 D、7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5 B、6.5 C、7 D、88、若(0,2,则使sincoscot,则sinsinB、 函数y=sinxcotx的单调区间是,kZC、 函数的最小正周期是2D、 函数y=sinxcos2-cosxsin2x的图象关于y轴对称,则,kZ10、 函数的单调减区间是A、 B、B、 D、 kZ(二) 填空题11、 函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的图象关于y轴对称,则=_。12、 已知+=,且(tantan+c)+tan=0(c为常数),那么tan=_。13、 函数y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为_。14、 已知(x-1)2+(y-1)2=1,则x+y的最大值为_。15、 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是_。(三) 解答题16、 已知tan(-)=,tan=,(-,0),求2-的值。17、 是否存在实数a,使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间0,上的最大值是1?若存在,求出对应的a值。 18、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+(xR)(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 求f(x)单调区间;(3) 求f(x)图象的对称轴,对称中心。 参考答案(一) 选择题 1、B 2、B 3、B 4、B 5、A 6、C 7、C 8、C 9、D 10、B(二) 填空题 11
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