数字信号处理基础书后题答案中文版.doc

Chapter 2 Solutions2.1最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz。2.2(a)、由w = 2pf = 20 rad/sec，信号的频率为f = 3.18 Hz。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz。(b)、，所以f = 833.3 Hz，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz。(c)、，所以f = 214.3 Hz，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz。2.3(a)ms(b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz。2.4w = 4000 rad/sec，所以f = 4000/(2p) = 2000/p Hz，周期T = p/2000 sec。因此，5个周期为5p/2000 = p/400 sec。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/p) = 4000/p Hz。所以采样频率为fS = 4(4000/p) = 16000/p Hz。因此5个周期收集的采样点为(16000/p samples/sec )(p/400 sec) = 40。2.5w = 2500p rad/sec，所以f = 2500p/(2p) = 1250 Hz，T = 1/1250 sec。因此，5个周期为5/1250 sec。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz，所以采样频率为fS = 7/8(2500) = 2187.5 Hz。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。2.6频谱搬移均匀地发生在每个采样频率的整数倍幅度频率2.7信号搬移发生在kfS f处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍(a)采样频率满足奈奎斯特采样定理，所以没有混叠发生。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率/kHz(b)采样频率对于这个信号来说太低了，所以混叠发生了。混叠图用虚线展示，最后的频谱用实线展示。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率kHz2.8蜂窝电话信号是带宽受限的。传输范围为30 kHz。最小采样频率至少为60kHz。在这道题中，60kHz采样频率是足够的。传输范围的基带搬移能被一个截止频率为30kHz的滤波器弥补。 0 30 60 90 120 899970 900000 900030 f (kHz)2.9(a)、信号在300Hz处的镜像出现在, , , Hz，.，即1300, 700, 300, 700, 1300, 1700, 2300 Hz，.。这些信号只有一个位于奈奎斯特范围内（采样后能被恢复的范围，这道题为0到500Hz）。真实的信号频率为300Hz，没有混叠发生。(b)、信号的镜像出现在, , , Hz，.，即1600, 600, 400, 400, 600, 1400, 1600, 2600Hz，.。这些信号只有400Hz落在奈奎斯特范围内。这是混叠频率。(c)、信号的镜像出现在, , , Hz，.，即2300, 1300, 300, 300, 700, 1300, 2300, 3300Hz，.。这些信号只有300Hz落在奈奎斯特范围内。这是混叠频率。2.10(a)、信号在100到400Hz发生混叠。频率倒置不发生在基带。fS幅度频率(b)、带宽受限信号在50到200Hz发生混叠。频谱倒置发生在基带。fS幅度频率2.118kHz的采样频率允许奈奎斯特范围为0到4kHz。在采样之后，信号的频谱搬移发生在24000 25000, 16000 25000, 8000 25000, 0 25000, 8000 25000, 16000 25000Hz.。奈奎斯特范围内唯一的镜像点为1000Hz。这就是混叠频率。2.12最简单的方法是通过看这两个信号有相同的采样点来比较两者。采样时刻由nTS确定，其中n是采样数，TS是采样间隔，即1/150 sec。nt = nTSx1(t)x2(t)001.0001.00011/1500.8090.80922/1500.3090.30933/1500.3090.30944/1500.8090.80955/1501.0001.00066/1500.8090.8092.13由于目标的镜像出现在0 0.2 MHz, 2 0.2 MHz, 4 0.2 MHz, 900 0.2 MHz，目标的实际频率为900.2MHz。2.14车轮每转一圈，轮胎走过pd = .635p = 1.995 m。自行车速为15 km/h，即15000/3600 = 4.17 m/sec。因此，自行车每个轮子以的频率往复出现。根据奈奎斯特采样定理，每个周期至少有两个采样点。所以采样频率应为4.18 samples/sec。这能通过每100s 418次快照完成。2.15当信号以600Hz的频率采样，正弦波频率的镜像出现在采样频率整数倍的两边。由于混叠频率为150Hz。镜像出现在0 150, 600 150, 1200 150Hz.。只有150、450、750Hz在1kHz以下。当采样频率为550Hz时，混叠频率为200Hz，所以镜像出现在0 50, 550 200, 1100 200Hz.。只有200、350、750和900Hz处在1kHz以下。与两者都一致的正弦波频率为750Hz。2.16模拟电压范围为6V。(a) 量化步长为6/24 = 375 mV(b) 量化步长为6/28 = 23.44 mV(c)量化步长为6/216 = 91.55 mV2.17(a)28 = 256(b)210 = 1024(c)212 = 40962.18量化映射一个无限模拟信号等级到一个有限数字信号等级，量化程度由使用的数位来决定。对于任意有限数位，误差一定会出现，因为量化步长的大小是非零的。2.19量化误差由真实信号与量化值相减得到。n0123456789量化误差0.4 0.30.10.40.30.10.40.10.20.22.20量化步长为范围/2N = 4/24 = 0.25 V。下表标书了量化方法。底端范围是步长的一半，顶端范围是步长的1.5倍。所有其他的范围是一倍步长。量化图标也给出了。数字编码量化标准(V)映射到数字编码的模拟输入范围(V)00002.02.0 x 1.87500011.751.875 x 1.62500101.51.625 x 1.37500111.251.375 x 1.12501001.01.125 x 0.87501010.750.875 x 0.62501100.50.625 x 0.37501110.250.375 x 0.125100000.125 x 0.12510010.250.125 x 0.37510100.50.375 x 0.62510110.750.625 x 0.87511001.00.875 x 1.12511011.251.125 x 1.37511101.51.375 x 1.62511111.751.625 x 2.0模拟采样值量化值0111011001010100001100100001000011111110110111001011101010011000数字编码2.21n模拟采样 (V)数字编码量化标准 (V)量化误差 (V)00.57150010.6250.053514.95751114.3750.582520.6250010.6250.000033.61251103.7500.137544.05001103.7500.300050.95550101.2500.294562.78251002.5000.282571.56250111.8750.312582.75001002.5000.2592.87551013.1250.24952.22动态范围为20 log (2N)(a)24.1 dB(b)48.2 dB(c)96.3 dB2.23动态范围为20 log (2N) = 60.2 dB，由此可以得出2N = 1023.29。N的值最靠近10，所以N取10。2.24范围 = R, 量化步长 = QR = 1 V0.5Q = 0.1 V因此, Q = 0.2 VR/Q = 2N = 5两个量化位(N = 2)不满足需求。至少需要三个量化位(N=3)。2.25比特率=bits/sample *samples/sec=16*8000=128kbps2.26中间范围最大量化误差是量化步长Q的一半。对于范围R，位数N来说，步长为R/2N因此。将会保持量化误差在满意范围内。消去R然后解出N为，即。N满足关系的最小值为N=6。因此，最小比特率为NfS = 6(16) = 96 kbps。2.27这个表展示了与3位编码相称的电压。数位编码相应的模拟电压0000.00000010.71430101.42860112.14291002.85711013.57141104.28571115.0000对于编码111 101 011 101 000 001 011 010 100 110对应的零阶保持信号如下：.电压时间2.28抗镜像滤波器从零阶保持信号中移除了尖峰。这样做之后，所有的奈奎斯特范围外的频率都被移除了。但是滤波器引起了一个附加时延。Chapter 3 Solutions3.1(a)(i)x0 = 3(ii)x3 = 5(iii)x1 = 2(b)(i)xn-2n(ii)xn+1序列的略图没显示x5的值，那是因为这道题没提供这个信息。xn+1n3.2冲激函数除了n=0处之外都是0(a)d4 = 0(b)d0 = 1(c)d2 = 03.3(a)、这个函数是冲激函数关于纵轴的镜像，没有其他改变。xnn(b)这个函数是由冲激函数向右移两个单位得到，然后将它的振幅扩大一倍。xnn(c)这个函数是两个冲激函数之和xnn3.4阶跃函数对于n 2f，采样率足够避免混叠。3.19(a)下面的采样点在下面画出n012345xn0.001.181.901.901.180.00n6789101112xn1.181.901.901.180.001.181.90(b)2p/W的比值为2p/(4p/5)=10/4 = 5/2。分子5表示正弦序列每5个采样点重复一次。因为比率的分母为2。这5个采样点是在两个模拟周期中取得的。(c)在下表中，模拟信号用虚线附加在数字信号上。xnn3.20x(t)的模拟频率为f = w/(2p) = 2500p/(2p) = 1250 Hz。xn的数字频率为p/3 rads。这些频率必须满足如下等式：通过这个等式解得fS = 7500 Hz. 其他解也是可能的，由. 通过这个式子可以得出即 fS = 1500 Hz.。在这个频率下，混叠发生了。这个信号出现在250Hz。这解释了为什么第二个采样率起了作用3.21(a)由, n = 。位移将信号左移了9/5个采样点。(b)两个信号的采样点不匹配，因为位移不是一个整数。(c)(d)对于两个信号向右的相移，所以。因此，。这个信号的一个周期包含了和x2n一个周期相同的采样值。3.22(a)xnn(b)xnn(c)xnn(d)xnn3.23(a)、由于数字正弦曲线是周期的，。根据, 。因此，。模拟信号的可能频率f由M = 1, 3, 7, 9, 11, 决定，也就是不包括10的因数的所有整数。其他整数M得出的结果中数字周期小于10。对于4kHz的采样来说，f的可能频率为400, 1200, 2800, 3600, 4400, Hz。(b)、(a)中只有两个频率处在奈奎斯特范围内，它们是400Hz和1200Hz。所有其他的f频率在采样频率为4kHz的情况下，都在400或者1200Hz产生了混叠。3.24一个16比特图用16位灰度来表现图中的每个像素。16位总计能代表65536个灰度值。3.25棋盘上每个方块被16*16的像素块记录。所有白块里的像素点的灰度值为255，所有黑块里的像素的灰度值为0。Chapter 4 Solutions4.1(a)、这个滤波器的通带增益是1单位的。增益衰减到0.707是在频率为2400Hz和5200Hz时。能通过这个滤波器的频率范围为2400到5200Hz。(b)、这个滤波器是带通滤波器。(c)、频率的通带范围是增益超过最大值的0.707的范围，即5200 2400 = 2800 Hz。4.2一个低通滤波器能通过在直流和它的截止频率之间的频率。通带也就等同于截止频率。因此，截止频率是2kHz。4.3滤波器的最大通带增益是20dB。带宽定义为：增益比通带增益低不超过3dB的频率范围。对于这道题为17dB。这个增益出现在截止频率700Hz上。对于高通滤波器来说，带宽是在截止频率，700Hz，和奈奎斯特频率（等于采样频率的一半），2kHz，之间的范围。带宽为1300Hz。4.4低通滤波器截止频率为150Hz，带宽为150Hz。带通滤波器截止频率为250Hz和350Hz，带宽为100Hz。高通滤波器截止频率为400Hz，带宽为100Hz，也就是从它的截止频率增加到奈奎斯特限制（采样频率的一半）。4.5(a)、低通滤波器输出在上边，高通滤波器的在下边。(b)、原始元音信号的近似值能通过高通和低通波形的叠加得到。xnn4.6(a)、线性(b)、非线性(c)、非线性(d)、线性4.7由于新输入是原输入向右移两个单位得到的，新输出也是原输出向右移动两个单位得到的。ynn4.8(a)yn = 0.25yn1 + 0.75xn 0.25xn1(b)yn = yn1 xn 0.5xn14.9(a)、系统是非递归的。 b0 = b1 = b2 = 1/3(b)、系统是递归的。a0 = 1, a1 = 0.2, b0 = 1(c)、系统是递归的。a0 = 1, a1 = 0.5, b0 = 1, b1 = 0.44.10(a)n0123456789yn1.00.13.01.70.80.10.00.00.00.0ynn(b)n0123456789yn1.00.63.364.023.412.051.230.740.440.27ynn(c) n0123456789yn1.01.64.444.103.293.663.292.962.672.40ynn(d) n0123456789yn0.50.51.52.51.50.50.00.00.00.0ynn4.11n0123456789xn1.001.0001.0001.0001.0000.0000.0000.0000.0000.000n0123456789yn1.000.7500.8130.7970.8010.200.0500.0130.0030.0014.12 n0123456789xn2.000.001.000.000.000.000.000.000.000.00n0123456789yn0.60.50.10.250.10.00.00.00.00.0ynn4.13xn采样时刻的全部输入是输入x1n和x2n之和。全部输入被应用于差分方程在正常求输出时。n0123456789xn0.000.8071.2001.0070.4000.5000.6000.7000.8000.900n0123456789yn0.000.8070.8370.4670.0530.320.3750.4300.4850.544.14n0123456789xn0.000.3940.6320.7770.8650.9180.9500.9700.9820.989n0123456789yn0.000.3940.3170.5230.4460.5610.5020.5690.5270.5684.15xnyn+延迟0.51.00.8延迟延迟xn1xn34.16yn = 0.5yn2 + 1.2xn 0.6xn1 + 0.3xn24.17yn = 2.1xn1 1.5xn24.18wn = xn + 0.3wn1 0.1wn2yn = 0.8wn 0.4wn24.19第一个二阶部分的差分方程为 y1n = 0.1xn + 0.2xn1 + 0.1xn2第二个二阶部分差分方程为yn = y1n + 0.3y1n2将第一个等式代入第二个中得到yn = (0.1xn + 0.2xn1 + 0.1xn2) + 0.3(0.1xn2 + 0.2xn3 + 0.1xn4) = 0.1xn + 0.2xn1 + 0.07xn2 + 0.06xn3 + 0.03xn44.20+0.3延迟延迟xnyn0.50.24.21直接型方程为wn = xn + 1.2wn1 0.5wn2yn = wn 0.2 wn14.22(a)yn = 0.14 yn1 0.38 yn2 + xnynxnwn延迟延迟0.140.38+(b)wn = xn 0.14wn1 0.38wn2yn = wn请注意这部分的差分方程和(a)部分是一样的ynxnwn延迟延迟0.140.38+4.23前10个脉冲响应的采样为n0123456789hn1.01.20.80.40.0 0.00.00.00.00.04.24从表中可以看出，滤波器是有限脉冲响应。它能用一系列脉冲函数之和来表示：hn = 0.5dn + 0.4dn1 + 0.3dn2 + 0.2dn2差分方程有种平行形式yn = 0.5xn + 0.4xn1 + 0.3xn2 + 0.2xn34.25脉冲函数是有限的，采样点如下：n0123456hn1.0000.3000.0900.0270.0000.0000.000FIR滤波器的冲激响应采样点直接用系数bk表示，如下yn = xn + 0.3xn1 + 0.09xn2 + 0.027xn3这个结果也可以以冲函数的形式写成冲激响应hn = dn + 0.3dn1 + 0.09dn2 + 0.027dn34.26 n01234hn 1.00000.30000.24000.19200.1536n56789hn0.12290.09830.07860.06290.05034.27冲激响应可以从差分方程中得到hn = 0.5hn1 + dn 0.8dn1 阶跃响应能从下式中得到sn = 0.5sn1 + un 0.8un1 或者通过冲激响应采样点的累加和得到n0123456789hn1.001.3000.6500.3250.1630.0810.0410.0200.0100.005sn1.000.3000.3500.0250.1880.1060.1470.1270.1370.1324.285项平滑滤波器的差分方程为冲激响应为画图如下：hnn4.29这个冲激响应属于非递归滤波器，因为在有限采样点之后，输出永远归于0。4.30(a)、由定义可知，脉冲函数的响应被称为脉冲响应。因此，(a)问的答案已经在问题中提供了。(b)、信号xn由两个不同振幅和位置的脉冲信号组成。这个输入的响应将和脉冲响应的结合相同。也就是，yn = 0.8hn + 0.5hn10.8hnn0.5hn1nn0.8hn+0.5hn1输出样值点在下表中列出n0123456789yn3.24.43.11.80.50.00.00.00.00.04.31阶跃响应能通过下式得到sn = un 0.5un1 0.7un2前10个样值点为n0123456789sn1.000.500.200.200.200.200.200.200.200.204.32(a)、冲激响应能通过下式得到hn = 0.75hn1 + dn 0.5dn1(b)阶跃响应能通过下式得到 sn = 0.75sn1 + un 0.5un1或者通过冲激响应样值点的累加和得到。n01234hn1.0001.2500.9380.7030.527sn1.0000.2500.6880.0160.512n56789hn0.3960.2970.2230.1670.125sn0.1160.4130.1900.3570.232Chapter 5 Solutions5.1(a)xn = dn + 0.6065dn1 + 0.3679dn2(b)和中的非零部分为k = 0、1、2。5.2系统对dn的响应为hn，对dn1的响应为hn1。因此，当输入xn = dn + dn1作用于这个系统，输出为yn = hn + hn1。hn和hn1这两个信号能通过信号的形式相加。hnnhn1nhn + hn1n5.3(a)hn2hn2n(b)hn+1hn+1n(c)hnhnn(d)h3nh3nn5.4从n=0开始，输入xn有样值0，-1，-2。从n=0开始，冲激响应hn有样值1,2,3,4。这些样值点被插入卷积表。在n=5以上，所有的输出都为0.这是有限长度输入和冲激响应信号的直接结果。xk012hk4321y0 = 0h1k4321y1 = 1h2k4321y2 = 4h3k4321y3 = 7h4k4321y4 = 10h5k4321y5 = 8h6k4321y6 = 05.5(a)xk1234567hk1000y0 = 0h1k1000y1 = 0h2k1000y2 = 0h3k1000y3 = 1h4k1000y4 = 2h5k1000y5 = 3h6k1000y6 = 4(b)冲激响应hn = dnk是将信号延后了k个单位。5.6(a)所有在n=0之前和n=8之后的采样点都为0。xk1111111hk0.20.41?y0 = 1.0h1k0.20.41?y1 = 0.6h2k0.20.41y2 = 0.4h3k0.20.41y3 = 0.4h4k0.20.41y4 = 0.4h5k0.20.41y5 = 0.4h6k0.20.41y6 = 0.4h7k0.20.41?y7 = 0.6h8k0.20.41?y8 = 0.2(b)、输出受边界效应影响的点用问号标出。5.7冲激响应和阶跃函数卷积产生了阶跃响应。阶跃响应的样值点当然是冲激响应样值点的累加和。n0123456789hn1.0000.8500.7230.6140.5220.4440.3770.3210.2730.232sn1.0001.8502.5733.1873.7094.1524.5304.8505.1235.354n10111213141516171819hn0.1970.1670.1420.1210.1030.0870.0740.0630.0540.046sn5.5515.7185.8615.9816.0846.1726.2466.3096.3636.408在17个样值点之后，阶跃响应的样值点改变小于1%。这个点可以看成大致进入稳定状态的开始。5.8 (a)xk010101010hk1y0 = 0.0h1k0.61y1 = 1.0h2k0.360.61y2 = 0.6h3k0.2160.360.61y3 = 0.64h4k0.1300.2160.360.61y4 = 0.384h5k0.0780.1300.2160.360.61y5 = 0.770h6k0.0470.0780.1300.2160.360.61y6 = 0.462h7k0.0280.0470.0780.1300.2160.360.61y7 = 0.723h8k0.0170.0280.0470.0780.1300.2160.360.61y8 = 0.434从n=10到n=19的输出值写在下面，所有20个输出样值作图如下。n91011121314yn0.7400.44380.73370.44020.73590.4415n1516171819yn0.73510.44110.73540.44120.7353ynn(b)、输出在一个循环内的样值点变化保持在1%是从n=9开始的。因此，大约稳定状态是在9个样值点后达到的。5.9(a)、冲激响应和输入的卷积产生了如下表的输出样值。n01234yn5.00007.50008.75009.37509.6875n56789yn9.84389.92199.96099.98059.9902(b)从n=6的样值点可似乎，输出和前面的样值改变范围在1%。稳定状态从这点开始。基本稳定状态输出倍数大约为1。5.10(a)、输入的时间大约为2p/W = 2p/2p/5 = 5.(b)、输出通过卷积获得。xk0.000.9510.5880.5880.9510.000.951hk2y0 = 0.0h1k32y1 = 1.902h2k432y2 = 4.029h3k432y3 = 4.392h4k432y4 = 1.314xk0.5880.9510.000.9510.5880.5880.951h5k432y5 = 5.2043h6k432y6 = 1.902h7k432y7 = 4.028h8k432y8 = 4.392h9k432y9 = 1.314(c)稳态特性暂态特性ynn(d)、在稳定状态下，输出就像输入一样，每5个样值重复一次。5.11(a)xk111111hk000y0 = 0h1k1000y1 = 0h2k11000y2 = 0h3k111000y3 = 1h4k1111000y4 = 2h5k11111000y5 = 3h6k01111100y6 = 4h7k00111110y7 = 5h8k00011111y8 = 5h9k00001111y9 = 5ynn(b)、输出的稳定状态部分从n=7开始。暂态部分包括从n=0到n=6。5.12(a)、为了得到级联系统的冲激响应，一个冲激函数作用在第一个系统的输入。通过定义，得到输出为h1n。这个输入作为第二个系统的输入，和h2n卷积得到整体冲激响应hn。这是一般结论：两个级联滤波器的冲激响应时滤波器的冲激响应的卷积。h1k100.100.2h2k0.36790.60