导数的基本概念及性质应用.doc

导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值 3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式、 导数的概念函数y =的导数，就是当0时，函数的增量y与自变量的增量的比的极限，即说明：分子和分母中间的变量必须保持一致、 导函数函数y = 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的导函数，记作或， 函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。、 导数的几何意义设函数y =在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的切线斜率。、 求导数的方法（）基本求导公式 （）导数的四则运算 （）复合函数的导数设在点x处可导，y =在点处可导，则复合函数在点x处可导， 导数性质：1、函数的单调性设函数y在某个区间内可导，若0，则为增函数；若0则为减函数。求可导函数单调区间的一般步聚和方法。确定函数的定义区间求，令0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间。确定在各小开区间内的符号，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性。说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2可导函数的极值极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有（或 ），则称为函数的一个极大（小）值点。称为极大（小）值点。求可导函数极值的步骤。求导数求方程0的根检验在方程0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个0的方程3函数的最大值与最小值设y是定义在区间a ,b 上的函数，y在(a ,b )内有导数，求函数y在a ,b 上的最大值与最小值，可分两步进行。求y在(a ,b )内的极值。将y在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。若函数y在a ,b 上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数y在a ,b 上单调减少，则为函数的最大值，为函数的最小值。说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、 例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(x)在点x0处可导，a为常数，则 等于( )A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0【变式】设在处可导题型二导数的几何意义、物理意义【例2】（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。 分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间（1） （2）（3） （4）题型四：利用导数求函数的最（极）值【例4】求函数在闭区间-3，0上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例5】 1、设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象 如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是(A) (B) (C) (D)2、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个D 4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】已知函数在处取得极值。(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。【例7】已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示.求： （1）的值；（2）a、b、c的值.【例8】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值求这个极小值及a、b、c的值【例9】已知的图象经过点，且在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例10】（1）如果函数f(x)=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a的取值范围是( )A.(0,+ ) B.0,+ ) C.(3,+ ) D.3,+ ) （2）如果函数f(x)=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是_【例11】已知函数在区间上都是增函数，在（0，4）上是减函数.（1）求b的值； （2）求a的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量，若存在不同时为的实数和，使且，试确定函数的单调区间例题答案：【例1】解： 故选(C)【变式】：-1【例2】（1）， ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1 （2） 。【例3】（1） 时 ， （2） ，（3） ， ，（4） 定义域为 【例4】略，注意强调学生的步骤完整性【例5】1、C 2、 A【例6】分析：（1）分析x=1处的极值情况，关键是分析x=1左右（x）的符号.（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.解：（1）（x）=3ax2+2bx3，依题意，（1）=（1）=0，即解得a=1，b=0.f（x）=x33x，（x）=3x23=3（x+1）（x1）.令（x）=0，得x=1，x=1.若x（，1）（1，+），则（x）0，故f（x）在（，1）上是增函数，f（x）在（1，+）上是增函数.若x（1，1），则（x）0，故f（x）在（1，1）上是减函数.所以f（1）=2是极大值，f（1）=2是极小值.（2）曲线y=x33x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x033x.（x0）=3x023，切线方程为yy0=3（x021）（xx0）.代入A（0，16）得16x03+3x0=3（x021）（0x0）.解得x0=2，M（2，2），切线方程为9xy+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例7】解：函数的增减变化如下表： x12 +0 -0 +极大极小（1）在x=1处由增变减，故为极大值，即=1.（2）由于，【例8】解：f（x）=3x2+2ax+b据题意，1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得a=3，b=9f（x）=x33x29x+cf（1）=7，c=2极小值f（3）=3333293+2=25极小值为25，a=3，b=9，c=2【例9】解：（1）的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得（2）单调递增区间为【例10】（1）A （2）(- ，0【例11】解：由条件知是函数的极值点.，令，得.已求，.令，得.由条件知为极大值点，则应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数. ，得【例12】解：由得所以增区间为；减区间为。三、 课堂演练：1. 若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为2xy1=0，则 Af（x0）0 Bf（x0）0Ba0 Ca=1Da=7. 与直线2x6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x21相切的直线方程是_8. 已知a为实数，。求导数；若，求在2，2 上的最大值和最小值；若在(，2)和2，+上都是递增的，求a的取值范围1-6AAADAA，7.3x+y+2=08. 解：由原式得由 得,此时有.由得或x=-1 , 又 所以f(x)在2,2上的最大值为最小值为解法一:的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线,由条件得 即 2a2. 所以a的取值范围为2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x-2或x2时, 0, 从而x1-2, x22, 即 解不等式组得2a2. a的取值范围是2,2.四、 课堂小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调