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有趣的数学问题【例1】豹子和狮子进行100米往返比赛。豹子一步3米，狮一步2米，但豹子跑2步的时间狮子可以跑3步。谁获胜？分析与解答：豹子两步跑32=6米，相同时间里狮子跑23=6米，两者的速度一样。但由于100米正好是2米的50倍，也就是狮子100米正好跑50步，而豹子100米要跑1003=33步1米，也就余下的1米也得跑一步，这样就浪费了时间。因此，狮子获胜。【例2】有一口9米深的井，蜗牛和乌龟同时从进底向上爬。因为井壁滑，乌龟白天向上爬3米，晚上向下滑1米；而蜗牛白天向上爬2米，晚上向下滑1米。问：当乌龟爬到井口时，蜗牛距井口多少米？分析与解答：乌龟每天白天爬3米，晚上向下滑1米，也就是每天向上爬2米。但最后一天向上爬的高度是3米，因此，乌龟爬到井口需要（93）（31）1=4天。而蜗牛每天只上升21=1米，因为乌龟是第4天白天爬上井口的，所发，蜗牛第4天不应该考虑“晚上下滑1米”，那时，蜗牛距井口9（41）=4米。【例3】甲、乙两人进行3000米长跑，甲离终点还有500米时，乙距终点还有600米。照这样跑下去，当甲到达终点时，乙距终点还有多少米？ 分析与解答： 根据题意可知，甲跑3000500=2500米，乙只能跑3000600=2400米，即甲跑25米，乙跑24米。因为500米中含有20个25米，即甲再跑20个25米就可到达终点，同时乙只能跑20个24米，所以乙离终点还有6002420=120米。【试一试】1、一只蜗牛从9米深的井底向上爬，白天向上爬5米，晚上又退下4米。这只蜗牛几天几夜才能爬到井口？2、甲走2步的距离乙要走5步，甲走3步的时间乙可以走8步。他们谁走得快？3、B处的兔子和A处的狗相距56米，狗跑3次的时间与兔子跳4次的时间相同。兔子跳出112米的C处被狗追上。兔子一跳前进多少米？4、甲、乙、丙三人进行60米赛跑，当甲到达终点时，比乙领先10米，比丙领先20米。如果按原速前进，当乙到达终点时，将比丙领先多少米？你能判断正方体对面的数字吗 【例4】一个正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6。根据下图摆放的三种情况，判断每个数字对面上的数字是几。分析：如果直接思考哪个数字的对面是几，有一定的困难。我们可以这样想：这个数字的对面不会是几。（1）从（A）、（B）两种摆法中可以看出：4的对面不会是2、5，也不会是1、6，那么，4对面一定是3；（2）从（B）、（C）两种摆法中可以看出：1的对面不会是4、6，也不会是2、3，那么，1的对面一定是5；（3）剩下2的对面一定是6。答：1的对面是5，2的对面是6，3的对面是4。 【例5】一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小明能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小亮能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？分析与解答：大家先想想，我如果用18加上24的话，得到是哪几个面的和？是4个侧面和2个顶面的和！而四个侧面的和应该是：131326，这时就可以计算出顶面的数是：（182426）28，于是底面的数是：1385.【试一试】1，一个正方体的6个面分别涂着红、黄、白、黑、绿六种颜色，根据下面的三种摆法，判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。2，根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相对的两个面上的字母各是什么？ 3，下图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的六个面都按同样的顺序写有1、2、3、4、5、6六个数字，请写出每个数字的对面上的数字是几。最大最小问题 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法：（1）枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；（2）着眼于极端情形，即充分运用已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。【例6】有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？分析与解答：3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。根据42.53=14千克0.5千克可知：最重的一堆是140.5=14.5千克，即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。【例7】 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）分析与解答：除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91665=481分。根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。下面的题目你可以参照上面的例子亲自体验一下。【试一试】1、一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁？2、如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？3、五位同学捐款，他们捐的钱有3张1元的，4张2元的，3张5元的和3张10元的。这五位同学捐款数各不相同，问：捐款最多的同学至少捐了多少元？.4、一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。已知得分最少的人得了75分，那么，第一名同学至少得了多少分？5、有五人来理发，按发型所用时间是10、12、15、22和24分钟。由两位师傅同时为这五人理发，问怎样安排，使五人理发和等候的时间总和最少，最少是多少分钟？.图表中的最大最小问题 【例8】把1、2、3、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？分析与解答：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填1116。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。（23416111213141516）3=72 【例9】 一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？分析与解答：先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆7+5=12小时，谷子3+6=9小时，高梁5+1=6小时，小米5+9=14小时。平均每个小组用（12+9+6+14）2=20.5小时，但实际做不到。因此，根据各类庄稼所需时间相加，使其最接近20.5小时。12+9=21小时是最少经过的时间。【试一试】1，将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？ 2，把29分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。 3，如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？鸡兔同笼中“两数之差”问题的解法【例10】 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28，问鸡与兔各几只？分析与解答：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28214（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚422（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是：（100282）（21）38（只）.鸡是：1003862（只）.答：鸡62只，兔38只.当然也可以去掉兔2847（只）这时鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚422（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍，所以原来兔的只数是（100284）（21）738（只）【例11】买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？ 分析与解答： 如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多。（680840）（84）30（张），即余下的邮票中，8分和4分的各有30张。 因此8分邮票有403070（张）.答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张. 另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.【例12】古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首？ 分析与解答：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差 541320280（字）. 每首字数相差：74548（字）. 因此，七言绝句有：280835（首）. 五言绝句有：351348（首）.答：五言绝句48首，七言绝句35首.【例13】有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是20000.2400元。但破损一只要减少10.21.2（元）.因此破损只数是（400379.6）（10.2）17（只）.答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。对联中的数学趣题 对联是我国传统文化艺术中的一项瑰宝。不少对联与数学结缘，成为佳联妙对。我们在欣赏这些对联时，既提高了文学修养，又感受到数学的魅力，别有一番情趣。如古代穷苦人家的一幅对联：二三四五；六七八九。横批：南北。这幅对联全部由数字组成，初看平淡无奇，实则含蓄深刻，对联运用了谐音手法，意为缺衣（一）少食（十），没有东西。这也成了条内涵丰富的谜语。而将数学演算引入对联之中，则更能激发读者的兴趣和启迪人们的思维智慧。例如： “六尺红绫，三尺系腰三尺吊；一幅锦被，半幅遮身半幅闲。”这是古时一对新婚夫妇花烛之夜吟成的一幅对联，联语中运用了减法：上联六减三还剩三，下联一减半还剩半。 “绿鸭浮水，数数一双四只；赤蛇出洞，量量九寸十分。”这是一幅加法联，“绿”与“赤”属颜色相对，同时谐音“六”与“尺”。上联讲鸭的只数：一双加四只是六只；下联讲蛇的长度：九寸加十分为一尺。“北斗七星，水底连天十四点；南楼孤雁，月下带影一双飞”。采用倍数计算，由星空、水底、孤雁、月影，构成一幅月夜雁飞图，充满着诗情画意。“七里山塘，行到半塘三里半；九溪蛮洞，经过中间五溪中。”取其半数，对仗十分工巧。下面再看两幅蕴含数学趣题的对联：【例13】大家知道被列为“唐宋八大家”之一的苏东坡，诗词歌赋，书法绘画，出联对句，样样精通，被誉为“全能文学家”。传说有一天,他去金山寺为诗僧老友佛印禅师祝寿。席间，即兴为佛印禅师写了一幅寿联，上联是：“花甲一周，尚余半百岁月”；下联是：“古稀双度，犹欠三十春秋”。实际上这幅为禅师祝寿的对联，上下联都是说的佛印禅师的岁数。上联中的“花甲”是指60岁，“半百”是指50岁，“尚余”就是还多的意思。可列算式为：6050110（岁）下联中的“古稀”是指70岁，杜甫诗句中不是有：“人生七十古来稀。”吗！“双度”是指2个70岁，“犹欠”就是还差的意思。可列算式为：70230110 （岁） 所以佛印禅师当时的年龄是110岁。 【试一试】清朝乾隆皇帝下江南，遇到一位老寿星，当即乾隆皇帝赠送一幅对联的上联给老人：“花甲重开，又加三七岁月。”一同来的纪晓岚马上对出下联：“古稀双庆，更多一度春秋。” 两人说的都是这位老寿星的年龄，聪明的你能算出老寿星的年龄吗？学会用“假设法”解题【例14】：有两次智力测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错或不答1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题得8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 分析与解答 解法一：假设小明第一次测验24题全对，得524=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是：86-2（15-6）=30（分）. 两次相差：120-30=90（分）。比题目中条件相差10分，多了80分，说明假设的第一次答对题数多了，要减少第一次答对题，减少一题少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）。因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少（90-10）（6+10）=5（题）。也就是第一次答对：24-5=19（题），第二次答对：30-19=11（题）. 第一次得分：519-1（24- 9）=90（分）。 第二次得分：811-2（15-11）=80（分）。答：第一次得90分，第二次得80分.解法二：因为两次共答对30题，所以两次共答错：24+15-30=9（题）.假设答错9题都是第一次，要从满分中扣去69=54（分）。但两次满分都是120分，比题目中条件“第一次得分比第二次多10分”，要少了54+10=64（分）。根据解法一可知：第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.因此，第二次答错题数是：（69+10）（6+10）=4（题）。第一次答错 9-4=5（题）. 第一次得分 5（24-5）-15=90（分）. 第二次得分 8（15-4）-24=80（分）.答：第一次得90分，第二次得80分. 趣题巧解:阿米巴的繁殖【例15】有一种变形虫叫阿米巴，它的繁殖是成倍地分裂增长，即一变二、二变四、。每分裂一次需三分钟，在瓶子里放一个阿米巴，一小时后充满瓶子，请你想一想，如果开始时放2个阿米巴，多少分钟后充满瓶子？【分析与解答】阿米巴每三分钟分裂一次，因此从1个阿米巴变为2个，需要