高等数学习题及解答(极限-连续与导数).doc

高等数学习题库淮南联合大学基础部 2008年10月第一章 映射，极限，连续习题一 集合与实数集基本能力层次：1: 已知：Ax|1x2x|5x63,B=y|2y3 求：在直角坐标系内画出 AB解：如图所示AB（x,y）| .2：证明： P为正整数，p2n或p2n+1，当p2n+1时，p24n2+4n+1，不能被2整除，故p2n。即结论成立。基本理论层次：习题二 函数、数列与函数极限基本能力层次1： 解：2：证明：由得即 ，所以 所以命题成立3：（1） （2） （3 （4）解：4：用极限定义证明： (不作要求)证明：因为 有成立,只要取N，则当nN时,就有有定义变知成立5：求下列数列的极限（1） （2）（3）（4） 解：（1） ,又,所以 , 故：0（2）由于又因为：,所以：（3）因为：所以：（4） 因为：，并且, 故由夹逼原理得 6：解：由于7：解：8：9：习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解： 同理：（3），（4）习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质基本理论层次1：（1）（2）2：第二章 一元微分学及应用习题一 导数及求导法则、反函数及复合函数的导数.基本理论层次习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分略习题三 中值定理 罗必达法则 泰勒公式基本理论层次1. 2 345.6.7.习题四 导数的应用基本理论层次1综合练习题一、 填空题1、设在可导，则。2、设，则。3、设，则。4、已知，则。5、已知，则当经1、1时，。6、，则。7、如果是的切线，则。8、若为奇函数，且，则。9、，则。10、，则。11、设，则。12、设，则。13、设，则。14、设函数由方程所确定，则曲线在点（1，1）处的切线方程是。15、 ，其导数在处连续，则的取值范围是。16、 知曲线与轴相切，则可以通过表示为。二、 选择题。17、设可导，则是在处可导的（）。充分了必要条件，B充分但非必要条件，C必要条件但非充分条件，D既非充分条件又非必要条件。18、函数在处（）A左右导数均存在，B左导数存在，右导数不存在，C左导数不存在，右导数存在，D左右导数均不存在。19、设周期函数在内可导，周期为4，又，则曲线在点处的切线斜率为（）A，B0，C10，D2。20、设函数 则实常数当在处可导时必满足（）A；B；C；D21、已知，且存在，则常数的值为（）ABCD22、函数在上处处可导，且有，此外，对任何的实数恒有，那么（）ABC；D。23、已知函数具有任何阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是（）A；B；C；D24、若函数有，则当时，该函数在处的微分是的（）A等价无穷小；B同阶但不等价的无穷小；C低阶无穷小；D高阶无穷小。25、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则（）A；BC2；D3。26、设由方程组确定了是的函数，则（）A；B；C；D。一、 填空题的答案1、2 2、-1 ； 3、； 4、 5、-16、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 10、-11、1 12、 13、 14、 15、 16、 二、选择题答案：17、A 18、B 19、D 20、A21、C 22、C 23、A 24、B25、D 26、B三、综合题：27、求曲线上与直线垂直的切线方程。剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。 解：设切点为则点处的切线斜度为依题意知所求切线（）坐垂直，从而 利切点为；切线（）为 故所求切线方程为 即： 设 则9、如果为偶函数，且存在 证明证明：因为为偶函数，所以从而: 故28、讨函数在处方程连续性与可得解：，所以函数在处连续又故函数在处可导、值29、已知求解: 故30、已知解： 所以：从而 31、证明：双曲线上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。证明：设为双曲线上的一点，则该点处切线的斜率为从而切线方程为令得轴上的截距为令得轴上的截距为从而 32、设求解：33、设在 求解：设 则： 从而34、设，讨论处连续性剖析：本题需先求的表达式，再讨论在点处的连续性解：当从而：由于35、（1） （2）解：（1） （2） = =37、设提示：。答案： 38、求导数 解: = =39、 解 40、设 剖析：此类函数直接求导，很难找出规律，先对41、求下列函数的n阶导数的一般表达式 44、求曲线上对应于点处的法线方程46、求剖析：由于函数是根式私连乘，所以用对数示导法47、（相关变化率问题是）设气球以100cm3的速度，浸入气球（假设气球是球体）求在半径为10cm的气球半径增加的速度（假空气体压力不变）剖析：解决相关变化率问题一般分三步：第一步：是建立气球体积v和半径r之间的关系。第二步：根据等式找出第三步：由己知的变化率求出未知的变化率解：= 由 =10cm 即当=10cm 时半径以 的速率增加。48、已知 求49、设是由方程确定的隐函数，求解：利用公式将方程两边分别对求导，有得 =从而 =50、设y= (1+3-x). 求解： =-51、求下列函数的微分解：(1)、 =( =(- -)（2）函数变形为两边取对数有两边对求微分得53、扩音器插头为圆柱形，截面半径为0.15cm，长度l为4m，为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm的钱铜，问每个插头约要多少克纯铜。解： =20.1540.0故镀的铜的重量为0.00376998.954、有一立方形的铁箱，它的边长为700.1cm，求出它的体积，并估计绝对误差和相对误差。解：体积：V=703=343000cm3 绝对误差 = 相对误差 55、求、的值，使在可导。 解：为使在得可导，必须在连续 故 即 又因 = = 因此有，从而当时 在处可导56、证明可导偶函数的导数为奇函数 证