高等数学习题库

高等数学习题库第一章 映射，极限，连续习题一 集合与实数集基本能力层次：【1.1-A1-3】1：已知：A，B=.求：AB,AB,AB,BA解：ABA； ABB; AB=0; BA= ；分析：因为 【1.1A2-1】2: 已知：Ax|1x2x|5x63,B=y|2y3 求：在直角坐标系内画出 AB解：如图所示AB（x,y）| .【1.1-A5】3：证明： P为正整数，p2n或p2n+1，当p2n+1时，p24n2+4n+1，不能被2整除，故p2n。即结论成立。基本理论层次：【1.1-A6】4：证明：设p，q为数集A的上确界，且pq。 设 pq，取，N时,就有有定义变知成立8：求下列数列的极限（1） （2）（3）（4） （5） （）解：（1） ,又,所以 , 故：0（2）由于又因为：,所以：（3）因为：所以：（4） 因为：，并且, 故由夹逼原理得 （5）当a1时,结论显然成立. 由二项式公式得： 同理：当时，由于可得 9: 证明：由二项式定理,又因为：）故：所以：10：证明:因为：N, 从而有故：N+,并且：+111：12：证明：因为对于，取m2n，由于13：解：14：解：15：证明：16： 17：证：设x0。按定义：1819：得：20：解：由于21：解：22：解：故：23：24：25：26：27：28：29：30：判断题：1：2：3： 4： 50 分析能力层次12：3：4：5：习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本能力层次1设问：当时是无穷小吗？是无穷大吗？为什么？2两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明.3将表示成一个常数与无穷小之和： (1) ， 当 (2) ， 当 . 4.证明：函数在区间上无界，但当时，这函数不是无穷大.5求下列极限：（1）; (2); (3) ； (4); (5) ； (6);（7）； (8),；(9)； （10）；(11)； (12)；（13）； (14)； (15)； (16).6若 ,试求与.7计算下列极限： （1）； (2)； (3)； (4) ； (5), (x为不等于零的常数)； （6） ； (7).8.计算下列极限：（1） ,(k为正整数)； （2）； (3)； (4)；(5).9若,试求a 的值（a为正整数）.10利用极限存在准则证明：（1），的极限存在（a0）；（2）.基本理论层次1：解： 同理：（3），（4）2：3：解：由：得：则：分析能力层次习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质基本能力层次1当时,与相比,哪一个是高阶无穷小？2.当时， 和 (1) ,(2) 是否同阶？是否等价？3证明：当时,有sec x-1x.4.求下列极限：（1）； (2),（n，m 为正整数）；(3).5证明：, (x0).6研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：（1） ; (2).7.求下列函数的间断点，并指出其类型:（1） ; (2) ;(3) ; (4) ;（5）.8. 设（a，b是常数）:问a，b为何值时，在连续？9证明：若函数在点连续且,则存在的某一邻域,当 时，.10求函数的连续区间，并求极限,及.11.求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.12.设函数 求a、b的值，使函数在（-，+）内连续.13证明方程在区间内至少有一个根.14.证明：设在(-,+)内连续，是方程的两个相邻的根,若存在使 (或),则对任一都有(或).15.若在上连续,则在上必有使.16.证明：若在(-,+)内连续，且存在，则必在(-内有界.基本理论层次1：2：证明：因为从而，3：（1）（2）（3）4：5：6：7： 8：（a）（d）分析能力层次（略）综合练习题基本能力层次1在“充分”、“必要”和“充要”三者中选择一个正确的填空：(1)在的某一去心邻域内有界是存在的 条件；(2)是在的某一去心邻域内无界的 条件；(3)函数在点左、右极限都存在且相等是它在该点有极限的条件 ；(4)若时，有，则是在过程中为无穷小的条件 ；(5)函数在点处有定义是它在该点连续的条件 ；(6)函数在区间上连续是在上有最大值和最小值的条件 .2填空：(1)已知,则 的定义域为 ;(2) ;(3) ;(4)若在(-上连续，则 ;(5)设，则 , ;(6)设有无穷间断点，有可去间断点,则 , .3.选择题：(1)设 ，则( )(A) 0 (B) 1 (C) (D) (2)下列函数中，为周期函数的是（ ）(A)x cosx (B)sinx (C)sin (D)sinx(3)设 则( ) (A)-f(x) (B) f(-x) (C) 0 (D)f(x)(4) ( )(A)振荡不存在 (B) 1 (C) -1 (D) (5)当 时，与等价的无穷小是（ ）(A) x (B) 2x (C) x (D) 2x(6)的连续范围是（ ） (A) (B) (C) (D) 4.求下列极限：（1） ; (2); (3).5.已知,求.6.求函数在区间(0,)内的间断点，并说明是第几类的.7已知,求a、b之值.8设在上连续，,.证明：至少存在一点使.9. 设对任意实数满足等式, 且在处连续，证明必是常数 .10. 设在上连续，,证明存在，且,使.提示:对辅助函数 F(x)=在区间上用闭区间上连续函数的性质基本理论层次 1：2：3：分析能力层次第二章 一元微分学及应用习题一 导数及求导法则、反函数及复合函数的导数基本能力层次1.设，试按导数的定义求，并由求.2.求下列极限：（1）已知，求；（2）已知，求；（3）若且存在，求。3.利用导数公式，求下列函数的导数：（1）； （2） ；（2）； （4）；（5）.4.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点为，求.5.物体的运动规律为，求物体在秒（s）时的速度.6.设为使在处连续且可导，a,b应取何值？7.讨论，求.8.讨论在处的连续性和可导性.9.求下列函数的导数：（1） ； （2）（3） ； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）.10.求下列函数在给定点处的导数：（1）求；（2），求.11.求下列函数的导数：（1） ； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）.12.已知可导，求：（1）； （2）；（3），f，g可导，且.基本理论层次分析能力层次（略）习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分基本能力层次1.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8）.2.求下列函数的二阶导数：（1）； （2）；（3） ； （4），这里存在.3.求下列函数的高阶导数： （1）， （2），4.求下列函数的高阶导数：（1），求； （2），求；（3），求； （4），求.5.设，其中二阶可导，试求及.6.设，试求使存在的最高阶数n.7.求下列方程所确定的隐函数的导数： （1），求； （2），求； （3），求； （4），求； （5）求； （6），求； （7），求； （8），求.8.求平面曲线在点（1，2）处的切线与法线方程.9.求由下列参数方程所确定的函数的导数： （1），求； (2)，其中可导且，求； （3），求； （4），其中存在且不为0，求.10.写出曲线，在处的切线方程与法线方程.11.设，当时，求.12.求下列函数的微分： （1）； （2）； （3）； （4）.13.利用微分形式的不变性求下列函数的微分： （1）； （2）.14.已知，其中可微，求.15.求的微分，其中和均可导.16.是由方程所确定的隐函数，试求.17.将适当的函数填入下列括号中，使等式成立： （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )； （5）( )； （6）( ).18.某圆柱形元器件截面半径r为0.15cm，长L为9cm，为提高其性能，需在其侧面镀上一层厚为0.001cm的纯铜，问每个元器件约需多少克纯铜？19.计算下列各数值的近似值 （1） ; （2）.基本理论层次分析能力层次习题三 中值定理 罗必达法则 泰勒公式1.选择题(1) 函数在上满足罗尔定理的点是（ ）A0 B1 C D1(2) 函数在上满足拉氏中值定理条件的点是（ ）A0 B1 C2 D(3) 曲线上点_处的切线平行于与 两点的连线。 A 1 B C e1 D 2.设f (x) 在 上连续,内可导, 证明至少存在,使得 .3.设f (x) 在 1,2 内二阶可导，且，又 F(x)=(x1)2f(x)证明至少存在，使.4.证明方程在 (a, b) 内至少有一实根 .5.若, 证明.6.设，证明.7.设f (x),g (x)在 a,b 上连续, 在 (a,b) 内可导，证明：存在， 使 （ba） .8.若f (x) 在 () 内满足, 且f (0) =1， 证明：.9.选择题. (1) 设为未定型，则存在是 也存在的（ .）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要(2) 若f (x)与g (x)都可导, ,且=A, 则（ ）.A必有 =B存在, 且A=BB必有B存在, 但ABC如果B，必有A=BD如果B，不一定有A=B10.求下列极限 ； ； ； ； ； ； ； ； ； (a,b,c均大于0). 11.求下列函数在点x0处指定阶的带拉氏余项与皮亚诺余项的泰勒展式： , x0 =0, 二阶； , x0 =-1,n阶； , x0 =0, n阶 ； ，x0 =0，n阶.12.如果f(x)在a, b上n阶可导，且证明至少存在使.基本理论层次12 345：6：7：解：9：分析能力层次习题四 导数的应用基本能力层次1.选择题.(1)设，则在x=a处（ ）.A f(x)的导数存在，但Bf(x)的导数不存在Cf(x)取极小值Df(x)取极大值(2) 函数（ ）.A（，+）B （，+）C（-1，1）D（-1，1）(3) 函数y=xlnx在(0,+)上的图形是（ ）.A凸弧 B凹弧 C在(0,e-1)为凸弧, 在(e1,+)为凹弧D 在(0,e1)为凹弧，在(e1,+)为凸弧(4) 曲线（ ）.A仅有水平渐近线 B无水平渐近线 C仅有垂直渐近线 D有水平也有垂直渐近线(5) 函数f(x)在x=x。处取到极值，则（ ）. A B C或不存在D不存在(6) 若点(x, f(x0)为y=f(x)拐点，则（ ）.A必有存在，且=0B 必有存在，但0C如果存在，必有 =0D如果存在，不一定有 =0(7) 下列命题正确的是（ ）.Ax0若f (x)g (x), 则B x0若，则f(x)g(x)C x.0若且f(0)=g(0)，则当x0时,有f(x)g(x)D如果则点x是f (x)的极值点2.断下列命题是否正确.(1) X0时，若f(x)g(x)，则；(2) X0时，若，则f(x)g(x)；(3) X0时，若且f(0)=g(0)，则当x0时，有f(x)g(x).3.讨论下列函数的单调性：(1) f(x)2x33x236x16 ； (2) .4.求下列函数的极值： (1) ； (2) ；(3) .5.求三次多项式使其在，在 处取极小值，并通过点(0,1).6.确定a值，使在处取极值，指出它是极大值还是极小值？并求此极值.7.证明下面不等式：(1) x0时， ；(2) x0时，；(3) x0时，；8.讨论（a0）的实根个数.9.设在内单调递增, 且f(0)=0证明在内也单调递增.10.证明：内接于半径为R的所有矩形中，以正方形的面积为最大.11.若火车每小时的耗燃料费用与火车速度的立方成正比，已知速度为20km/h,每小时的燃料费用为40元，其它费用为每小时200元，求最经济的行驶速度.12.曲线 (x0) 上哪一点处的法线在y轴上的截距最小.13.求下列函数的凹凸区间及拐点。(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) .14.证明：当0xx.15.证明：. (0xy)16.作下列函数的图形：(1) ； (2) ； (3) ； (4) .基本理论层次1：分析能力层次综合练习题（一）1.选择题(1)设可导且满足条件，则曲线在点处的切线斜率为（ ）A2 B-1 C D-2(2)设函数，其中是有界函数，则在点处（ ）A极限不存在 B极限存在但不连续C连续不可导D可导(3)设函数，则在处（ ）A左、右导数都存在 B左导数存在，但右导数不存在C左导数不存在，但右导数存在 D左、右导数都不存在(4)若函数，则当时，该函数在处的微分是（ ）A与等价的无穷小 B与同阶的无穷小 C比低阶的无穷小 D比高阶的无穷小(5)过抛物线上的点的切线平行于直线，这点是（ ）A（1，1） B（0，0） C（-2，4） D（2，4）(6)设，则A B C D。(7)设，则A B C D(8)设曲线与在原点处相切，则（ ）A B C2 D 2.已知在处可导，求.3.设，且，求.4.已知,求.5.设函数，其中在处可导，。试讨论在处的连续性，若是间断点，请指出其类型.6.设又函数在处可导，求的导数.7.试确定常数a和b，使函数处处可导.8.a，b分别取什么值时可微？并求出.9.设，求.10.方程确定了，其中可微，求.11.，求.12.设在上连续，且。证明：在内至少有一点c，使.综合练习题（二）1.选择题：(1) 设f（x）在-1,1上连续，在（-1,1）内可导，且 ，f（0）0，则对任意的x-1,1，必有（ ）.Af（x）M Bf（x）M Cf（x）M Df（x）M(2) 设函数f（x）对一切x满足xf(x)+3xf(x)2 =1e-x，若f(x。)0，且 x。0，则（ ）.A x。是f（x）的极小值点 B x。是f（x）的极大值点 C x。不是极值点 D (x。, f (x)是拐点(3) 设f（x）在x。的某邻域（n-1）阶可导， 在x。点n阶可导， 且，f(x。)0，则f (x)在点x。处（ ）.A有极小值 B有极大值 C没有极值 D是否取极值与n有关(4) 设对任意的x0,1，0，则下列各式正确的是（ ）.A f(1)f(0)f（1）f（0） B f(0)f(1) f（1）f（0）C f(1)f（1）f（0）f(0) D f(0)f（1）f（0）f(1) (5) 设f（x）在（，）内可导，且对任意的x1，x2，当x1 x2时，都有f (x1 ) 0)； （24）.练习二 分部积分法1.； 2.；3.2exdx； 4. ；5.x2 arctanx dx ； 6.x ln(1+x2) dx ； 7. ； 8.e-xarccotexdx；9. ； 10. dx；11. coslnxdx； 12.； 13. ln(x+2)2dx ； 14. sindx ； 15. ； 16.； 17. ； 18. x5(1+x2) dx； 19. ； 20. ； 21. ； 22.；23.； 24. ；25. ； 26. ；27. ； 28. ； 29.； 30. cosx lnsinx dx ； 综合练习题1.选择题：(1)xf(x)dx = ( ).A f (x)+c B f(x)f (x)+cC xf(x)+c D xf (x)+c(2) 若 =x4+c, 则f (x)= ( ). A x2+c B +c C x4+c D+c(3) dx = ( ). A c B +cC lnln+c D x+c(4) 若= x+1, 则f (x) =( ). A +c B+c C +c Dxlnx+c2.计算下列不定积分：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) ； (11) .3.设f (x)的一个原函数为，求.4.设， ,求f (x). 5.设 ，.证明：在内F (x)不是f (x)的原函数.第五章 定积分练习一 微积分基本公式 定积分换元法1.选择题.(1) 对任意的有xa, b有f (x) 0，0，令M=f (A)(b-a)，N=，P=，则（ ）.AMNP B MNPN D NM0. 证明：； (2) 方程F(x)=0在(a, b)内有唯一实根.7.设f(x)在a, b上连续, (a, b)内可微， 证明：在(a, b)内有.8.计算下列定积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ； (9) ； (10).9.证明.10.证明.11.设f(x)是以L为周期的连续函数,证明的值与a无关.12.设f(x)在内连续，证明：(1) 若f(x)为奇函数，则 是偶函数；(2) 若f(x)为偶函数，则 是奇函数.练习二 分部积分法与广义积分1.选择题：（1）设M=，N=, p=, 则 ( ).A NPM B MPN C NMP D PM0),则I=（ ）. A B C D（3）若 ，在x=0处连续，则必有a= ( ).A1 B2 C 0 D-1（4）若f (x)具有连续导数，且f (0)=0，设(x)=，则= ( ).A B C1 D (5)下面结论正确的是 ( )A若a,bc,d，则必有B若|f (x)|可积，则必f (x)可积C若f (x)是周期为T的函数，则对任意常数a，都有D若f (x)在a,b上可积，则f (x)在(a,b)内必有原函数(6) F (x)在a, 上连续，a0, ,，令;,则（ ）. A B C D(2). 设，则F(x) （ ）. A为正常数 B为负常数 C恒为零 D 不为常数 (3).设f(x)连续，则 （ ）. A B C D(4).设，则当x0时，是的（ ）. A 高阶无穷小 B 低阶无穷小C同阶但不等价 D 等价(5).下列说法正确的是（ ）. A计算时，可令xsintB计算时候，可令x21tCD 设f (x)连续,则，与变量t, u有关2.求下列积分上限函数的导数： ； ； ； . 3.计算下列积分：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) .4.设f (x)有一个原函数tgx，求.5.若f (x)=，求.6.设,求 f(x).7.设f(x)在0, 1上可导，且， 证明：，使 .8.设 。求：.第六章 定积分的应用练习题1.曲线在点处的切线与所围成的平面图形的面积（ ）.A B C D2.由曲线与围成平面图形绕轴旋转形成的旋转体的体积（ ）.A B C D3.计算由抛物线和直线所围成的图形的面积.4.求曲线的拐点.5.求由曲线，与所围成的平面图形的面积.6.求由曲线，所围成的平面图形的面积.7.求下列旋转体的体积：（1） 曲线与直线及轴所围的平面图形分别绕轴和轴旋转而得的旋转体；（2） 曲线和与轴在上所围的平面图形绕轴旋转而得的旋转体；（3） 曲线与直线之间位于第一象限内的平面图形绕轴旋转而得的旋转体.7.求，自至的一段曲线弧的长度.8.半径为R米的半球形水池充满了水，要把池内的水完全吸尽，问需作多少功？9.将一半径为a米的半园板竖直放入水中，使其直径与水面相齐，求该板一侧所受到的压力.10.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm.如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少？综合练习题1. 求由曲线与所围成的平面图形的面积.2. 求值，使曲线，与在点和处的法线所围成的平面图形的面积最小.3. 求由曲线所围的平面图形绕轴旋转而得的旋转体体积.4. 半径为a的均匀园薄板，其质量为M，其中垂线上到圆心的距离为b的A点处有一质量为m的质点，求园薄板对该质点的引力.第七章 向量代数与空间解析几何练习一 向量代数1. 指出下列各点的位置：；.2. 证明：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形.3. 已知两向量不共线，求其角平分线上的单位向量.4. 设向量，向量的单位向量及的方向余弦.5. 设一向量与轴及轴的夹角