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上海交通大学 概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分: 一判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件 ( )2连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( )3若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则 ( ) 4设为离散型随机变量, 且存在正数k使得，则的数学期望未必存在( )5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得 次成功的概率为. (a) ； (b) ；(c) ； (d) .2. 离散型随机变量的分布函数为，则 . () ； () ； () ； () .3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数. () 是连续函数； () 恰好有一个间断点； () 是阶梯函数； () 至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差相关系数则方差. () 40； () 34； () 25.6； () 17.6 5. 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是. () ； () ；() ； () .二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为 3. 设为总体中抽取的样本()的均值, 则 . 4. 设二维随机变量的联合密度函数为 则条件密度函数为,当 时 , 5. 设,则随机变量服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为 7. 设的分布律为 1 2 3 已知一个样本值，则参数的极大似然估计值为 三. 计算题（40分，每题8分） 1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2设随机变量与相互独立，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数. 3某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体，为总体的一个样本. 求常数 k , 使为s 的无偏估计量. 5（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg）. 已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验. 四. 证明题（7分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量与相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t分布数值表 概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （）（）（）（）（）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ； 2. ； 3.0.9772 ； 4. 当时；5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .四. 计算题（40分，每题8分）1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件. (2分)， (4分) (2分)2. (1分)时，从而 ； (1分)时， (2分) (2分)所以 (2分)3. 设 为第i周的销售量, (1分)则一年的销售量为 ，, . (2分) 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 (4分). (1分)4. 注意到 5. (1) 要检验的假设为 (1分)检验用的统计量 ， 拒绝域为 . (2分) ，落在拒绝域内， 故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg . , 落在拒绝域外， 故接受原假设，即可以认为平均折断力为571 kg . (1分)(2) 要检验的假设为 (1分) 检验用的统计量 ， 拒绝域为 或 (2分) , 落在拒绝域内，,落在拒绝域内， 故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分)五、 证明题 (7分) 由题设知 0 1 0 1 2 (2分)； ； ； ； ； . 所以 与相互独立. (5分) 上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷） （ 2007 至 2008 学年 第1学期 ）班级号_学号_ _ _姓名 课程名称 概率论与数理统计（A类） 成绩 g一 是非题（请填写是或非。共6分，每题1分）1若随机事件与独立，与独立，则与必独立。 （ ）2若概率，则不可能是连续型随机变量。 （ ）3等边三角形域上的二维均匀分布的边缘分布不是均匀分布。 （ ）4若，则随机变量的数学期望一定不小于数。 （ ）5总体均值的置信区间上限比样本观测值中的任一都要大。 （ ）6假设检验中犯第二类错误的概率是指。 （ ）二 填空题（共15分，每题3分）7设随机变量服从（1，3）上的均匀分布，则随机因变量的概率密度函数为 。8设随机变量与相互独立，且都服从参数的分布，则函数的分布律为 。9对某一目标连续射击直至命中3次为止。设每次射击的命中率为，消耗的子弹数为，则，。10设 , 由切比雪夫不等式知, 的取值区间为 与 之间。11设（）是来自正态分布的简单随机样本，。当时， 服从分布，。题号一二三17-2021-2324总分得分批阅人 我承诺，我将严格遵守考试纪律。承诺人： 三 选择题（共15分，每题3分）12设随机事件满足，则下面结论正确的是 。（）； （）；（）； （）。13设，分布函数为，则对任意实数，有 。（）； （）； （）； （）。14设随机变量与的二阶矩都存在且独立同分布，记，则与。（）相互不独立； （）相互独立；（）相关系数不为零； （）相关系数为零。15设为独立随机变量序列，的密度函数是，为标准正态分布函数，则下列选项中正确的是。（）；（）；（）；（）。16设总体，即密度函数，参数且已知，为的样本，则统计量服从的分布是 。（）； （）； （）； （）。四 计算题 ( 共56分, 每题8分)17已知某油田钻井队打的井出油的概率为0.08，而出油的井恰位于有储油地质结构位置上的概率为0.85，而不出油的井位于有储油地质结构位置上的概率为0.45。求钻井队1）在有储油地质结构位置上打井的概率；2）在有储油地质结构位置上打的井出油的概率。XY1201/101/21/51/5118已知随机变量（）的联合分布律，1）求的分布律；2）在的条件下求的条件分布律。19设随机变量为区间上任意取的两个数，求的分布函数与密度函数。20国家宏观调控政策后，沧源路上某房地产中介公司每周卖出的住房套数服从参数为的Poisson分布，试用中心极限定理估计该房产中介一年（52周）能卖出20到30套住房的概率。21设总体的密度函数为 ，其中为未知参数，为取之总体的一个样本。求参数的矩估计量与极大似然估计量。22设总体，设为其容量为的样本，引入统计量，试确定常数使得为的无偏估计量。23据历史记载，上海1月份的平均最低气温为，最近几年的上海1月份的平均最低气温如下：200120022003200420052006200738400722103531(单位:；数据来源: 天气在线)，试据此数据检验上海气候有无变暖？()五证明题 (本题8分)24设，为 分布的上分位点，为 分布的上分位点。试证明： （1）； （2）附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t分布数值表 概率统计(A类)试卷A (评分标准) 2008.1.9一 是非题（6分，每题1分） 非 是 是 是 非 非二 填空题（15分，每题3分） 7. ； 8. ；9. ， ； 10. ； 11. 1/3，9，54.三 选择题（15分，每题3分） b c d a b 四. 计算题（56分，每题8分） 17设事件 则 ( 2分)1）由全概率公式 ( 3分)2) 由贝叶斯公式得所求概率为. ( 3分)181）； ( 3分)2) . ( 2分)条件分布律为 ( 3分)19的联合密度为， ( 1分)上的分界点为分布函数为时；时； ( 1分)时，； ( 2分)时，. ( 2分) ( 2分)20令，易知独立同分布。由中心极限定理，该房产中介一年卖出的房子总数 ( 4分)从而 ( 4分)21（1）矩法估计( 4分)：易知服从参数为的指数分布，从而（2）极大似然估计( 4分)：设样本观测值为，则似然函数为 易知关于的单增函数，要使极大，要尽可能地大，故，为所求极大似然估计量.22 ( 6分) ( 2分)23 ( 2分)假设： ( 或 ) ( 2分)则取统计量 ，在为真条件下，拒绝域 代入数据计算得 从而拒绝，即认为上海气候明显变暖。 ( 4分)五证明题 ( 8分)24设，则 ，其中 ， 令 ， 则 . ( 4分)由分布定义 ( 2分) ( 2分) 上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷） （ 2008 至 2009 学年 第2学期 ） 2009.7.1班级号_学号_ _ _姓名 课程名称 概率论与数理统计（A类） 成绩 一 是非题（共6分，每题1分） 1在事件发生条件下, 事件与同时发生的概率为1，则必有。 （ ）2二维随机变量在矩形域上服从均匀分布，则相互独立。 （ ）3若连续随机变量的密度函数关于直线对称，则数学期望必存在且为0. （ ） 4. 若随机变量与相互独立，则与必不相关。 （ ）5若, , 则. （ ）6是总体的样本，则是参数的无偏估计。 （ ）二 填空题（共24分，每题3分）7，则。8设随机变量，且。则数学期望 。9设随机变量服从区域上的均匀分布，则在的条件下的条件密度函数 。10二维随机变量, 令，则。_。_。11在独立试验中，每次试验成功的概率为，则在成功2次之前已经失败3 次的概率为 。题号一二三20-2223-26总分得分批阅人 我承诺，我将严格遵守考试纪律。承诺人： 12设()为取自总体的样本，则 。13设（）是来自正态总体的简单随机样本，则。14某清漆的干燥时间服从正态分布现测得9个样品的平均干燥时间为6小时，则的置信度为0.95的单侧置信区间上限为 。， 查表的*为了了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长为30mm的标准金属棒进行6次重复测量，测得结果如下： 30.1 29.9 29.8 30.3 30.2 29.6 假定测量值服从，其中未知。则的置信度为0.95的置信区间为 。， 查表的17（070802）为了了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长为30mm的标准金属棒进行6次重复测量，测得结果如下： 30.1 29.9 29.8 30.3 30.2 29.6 假定测量值服从，其中未知。则的置信度为0.95的置信区间为 。 三 单项选择题（共15分，每题3分）15设，则下面正确的等式是 （）； （）；（）； （）。16设为来自正态总体的样本，为样本均值，已知统计量是参数的无偏点估计量，则常数 （）； （）； （）； （）。17设随机变量的分布函数，为标准正态分布函数，则的数学期望 （）0.2 ； （）0.4 ； （）0.8 ； （）1 。18设为独立随机变量序列，服从指数分布，为标准正态分布函数，为任一实数。则下列选项中正确的是 （）；（）；（）； （）。19设为来自正态总体的样本，又且与 相互独立，与分别为样本均值和样本方差，则 （）； （）； （）； （）。四 解答题 ( 共48分, 每题8分)20某台机器正常工作时，所生产的一等品与二等品各为50%。该机器不能正常工作时，生产的一等品为25%，二等品为75%。已知这台机器有10%的时间不能正常工作。现从该机器在某特定的时间内生产的所有产品中随机地选取1件，查看后仍放回，共依次查看5件。（1）如果该机器在此特定的时间内正常工作，试求取到的为4件一等品、1件二等品的概率；（2）如果取到的为4件一等品、1件二等品，试求该机器在此特定时间内正常工作的概率。21设二维随机变量的联合密度函数为 。求随机变量的分布函数与密度函数。19（08-7题）学校某课程考试成绩分优秀、及格、不及格三种，优秀得3分、及格得2分、不及格得1分.根据以往统计参加考试的学生获优秀及格不及格的分别占20%、70%和10%. 现有100位学生参加考试,(1) 试用切贝雪夫不等式估计这100位学生考试总分在200分至220分的概率；(2) 用中心极限定理近似计算这100位学生考试总分在200分至220分的概率 是第i个人的得分 的分布为 Xi 3 2 1 p 0.20 0.70 0.10(1) (2) (近似)22如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的绝对误差小于，试用中心极限定理估计至少应该作多少次试验？23已知是取自于总体的样本，且的分布函数为 （0）， 试求：(1) 的矩估计量；(2) 的极大似然估计量。所以的矩估计量似然函数 不能做 24设随机变量（）的分布律如下所示，求：(1) ； (2) 。 Y X -1 0 1 0 5/20 2/20 6/20 1 3/20 3/20 1/2025化肥厂用自动包装机包装化肥，某日测得9包化肥的质量（单位：kg）如下：设每包化肥质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50 kg？是否可以认为每包化肥的平均质量显著偏小于50 kg？是否可以认为每包化肥的平均质量显著偏大于50 kg？取。H0 : , 因为 ，所以接受H0认为化肥的平均质量为50 kg。H0 : ， 不认为显著偏小于50 kg。H0 : ， 不认为显著偏大于50 kg。五证明题 (本题7分)26设连续型随机变量的数学期望存在，为的分布函数。已知对常数，恒有。证明：（1）时，；（2）。附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t分布数值表 概率统计试卷(A类) (评分标准) 方框内为B卷答案 2009.7.1一 是非题（共6分，每题1分） 非 是 非 是 非 是 是 非 非 是 非 是 二 填空题（共24分，每题3分）7； 8； 9； 10 ； 11； 12； 13. 14. .三 单项选择题（共15分，每题3分） d d c a b c c d b a 四 解答题 ( 共48分, 每题8分)20 设事件A表示“机器正常工作”，事件B表示“该机器生产的是一等品”，则 （2分）设事件C表示“在选取的5个产品中有4个一等品和1个二等品”，则由，得（1） （2分）（2） （2分）所以该机器在该特定时间内正常工作的概率为 （2分）21解：当时，； （1分） 当时， （3分）所以密度函数 （4分）22设次试验中尖头朝上有次，则，（2分） （2分） （4分） 23 （2分）(1) ； （3分）(2) 。 （3分）24(1) ； （4分）(2) 。 （4分）25设. （2分） 检验统计量 拒绝域：， ， ， （4分）拒绝域 因为当为真时， 所以接受. （2分）五证明题 (本题7分)26. （1） ，由的单调不减 （4分）（2）设为的密度函数；，从而 （3分） 上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷） （ 2009 至 2010 学年 第2学期 ） 2010.7.7班级号_学号_ _ _姓名 课程名称 概率论与数理统计（B类） 成绩 一 单项选择题（每题3分，共15分）1已知为标准正态分布的密度函数，为区间上均匀分布的密度函数，随机变量的密度函数为；（，），则 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。2设随机变量的分布函数，则概率 （A）0； （B）； （C）； （D）。3设随机变量独立同分布，方差为。令，则 (A) Cov(； (B) Cov(；(C) ； (D) 。4设为来自总体的简单随机样本，均未知，则的置信度为99%的置信区间是 （A）； （B）；（C）； （D）。题号一二三19-2122-2425总分得分批阅人 我承诺，我将严格遵守考试纪律。承诺人： 5设为样本空间上的两对立随机事件，则 （A）； （B）； （C）； （D）。二 填空题（共18分，每题3分）6设随机变量服从均匀分布，则的密度函数 。7若的联合分布列为 0.1 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1为的联合分布函数，则 。8设随机变量与相互独立，且都服从参数的分布，设，则的概率分布为 。9设随机变量X服从参数为的指数分布，则 。10设方差相关系数则 。 11设是取自正态总体的简单随机样本，其中，已知服从分布，则 。三 是非题（每题1分，共7分。请填写是或非）12设随机事件的概率分别为，则。 （ ）13不论连续型随机变量的密度函数是否连续，的分布函数总是连续的。 （ ）14若二维随机变量 ，则。 （ ） 15方差不存在的分布，其数学期望也不存在。 （ ）16在假设检验中，当假设为真假时，拒绝接受，称为犯第一类错误。 （ ）17对任一分布的未知参数均可以通过矩估计方法进行估计。 （ ）18设样本来自总体，则是参数的无偏估计量。（ ）四 解答题 (每题9分，共54分)19一盒手机中有10只手机，其中有7只是新的，3只是旧的，现从中不放回随机抽取，每次取一只。（1）若共取两次，已知取出的手机中有一只是新手机，试求另一只也是新手机的概率；（2）设X为取到新手机时的抽取次数，试求数学期望。20设随机变量服从正态分布，其密度函数， 。试求：（1）常数； （2）协方差；（3）条件密度函数。21设随机变量 。求的密度函数。22高校某课程考试，成绩分优秀、合格、不合格三种，优秀、合格、不合格的各得3分、2分、1分。根据以往统计，每批参加考试的学生中，优秀、合格、不合格的各占20%、70%、10%。现有100位学生参加考试。 （1）试用切比雪夫不等式估计100位学生考试总分在200分至220分之间的概率；（2）试用中心极限定理计算100位学生考试总分在200分至220分之间的概率。23设总体X的分布函数为 其中未知参数为取自总体X的简单随机样本。求：（1）的矩估计量；（2）的最大似然估计量。24某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）。今在生产的一批导线中抽取22根，测得样本标准差0.007. 设总体，能认为这批导线的标准差显著偏大吗？用假设检验的方法给出检验结论（显著性水平）。五证明题 (本题6分)25若随机变量两两不相关，且方差存在。证明：方差 附： 概率分布数值表 概率统计（B类）试卷A (评分标准) 2010.7.7一选择题（15分，每题3分） B C A D B 。二填空题（18分，每题3分） 6； 7 0.8 ； 8 ； 9； 1025.6； 11。三是非题（7分，每题1分） 非 是 是 非 是 非 非。四. 解答题（54分，每题9分） 19(1) 设事件 两个中至少有一只是新手机，两只都是新手机，则， ； （4分）（2）， . （9分）20. （1） ； （3分）（2） ； （5分）（2），。（其中） （9分）21由卷积公式 （或其他方法） （3分） （9分）22设为第i位学生的得分，则总得分，且 （3分）（1）； （6分）（2） （9分）23（1） 由于 ， 令，解得的矩估计量为 （4分）（2）似然函数为 （6分）令，得的最大似然估计量为 。 （9分）24（1）假设 （2分）为真，检验统计量，拒绝域 ，（4分） ， （8分）拒绝，所以有理由认为这批导线的标准差显著偏大。 （9分）五证明题 25 （3分）因为两两不相关，故， 所以 （6分） 上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷） （ 2010 至 2011 学年 第1学期 ） 2011.1.19班级号_学号_ _ _姓名 课程名称 概率论与数理统计（A类） 成绩 一 是非题（请填写是或非。共7分，每题1分）1 设, 若随机事件相互独立，则必相容。 （ ）2若随机变量的密度函数，（均为常数），则服从正态分布。 （ ）3设随机变量与相互独立，其中为连续函数，那么X, Y也相互独立。 （ ）4若随机变量的数学期望不存在，则其方差可以存在。 （ ）5设正态总体各阶矩存在，为的样本方差，则。（ ）6是均匀分布中参数的极大似然估计量。 （ ）7在假设检验问题中，当样本容量增大时，可以使得犯两类错误的概率同时减小。 （ ）二 填空题（共18分，每题3分）8两个相互独立的事件A和B都不发生的概率是，且A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_。9设随机变量的密度函数，则的密度函数是 。10设，则当 时，与不相关。11设随机变量与满足：，由切比雪夫不等式估计 。12设是来自正态总体的简单随机样本，当 时，统计量服从自由度为 的 分布。题号一二三19-2122-2425总分得分批阅人 我承诺，我将严格遵守考试纪律。承诺人： 13设总体X服从正态分布，从中随机抽取一个容量为15的样本，得到样本均值，样本方差，则的置信度为0.95的置信区间是_。三 选择题（共15分，每题3分）14当事件A与B同时发生时C也发生，则下列式子中成立的是. ； ； .15设随机变量X和Y相互独立，且具有相同的分布： X-11P0.50.5 则以下等式 I）X = Y， II）X + Y = 2 X， III）max（X , Y ）= X , IV) min( X ,Y ) = X 中成立的个数是（ ）。0； 1； 2； 3.16设为相互独立具有相同分布的随机变量序列，且服从参数为2的指数分布，则下面正确的是.； ； 。其中是标准正态分布的分布函数。17设总体，为样本的均值，则下列的无偏估计中最有效的是。； ； ； 。18在假设检验中,显著性水平是指 。接受假； 接受假； 拒绝真； 拒绝真。四 计算题 ( 共54分，每题9分)19某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品4件装一箱，每箱装正品的个数是等可能的，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某