工程数学期末复习辅导.pdf

工程数学期末复习辅导工程数学期末复习辅导 大家好！现在是工程数学（本）本学期期末网上辅导的时间，欢迎大家参与这次活动。 我们首先对本课程的考核进行一些说明。 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩 满分为 100 分，60 分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的 30%，期末考试成绩占考核成绩的 70%。形成性考核的内容及成绩 的评定按中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册的规定执行。 期末考试的考核内容为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征 值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。 期末考试采用半开卷半开卷笔试形式，题型不变。卷面满分为 100 分，考试时间为 90 分钟。 半开卷考试是介于闭卷考试和开卷考试两者之间考试方式。半开卷考试与开卷考试的差别就在于允许考生携带的资料的不同， 开卷考试允许考生携带任何资料，而半开卷考试只允许考生携带指定的资料，比如允许考生携带一张统一印制 A4 纸，考生可以将 自己对课程学习内容的总结包括重点、难点、不好记忆的公式、定理等写在这张 A4 纸上带入考场，作为答卷的参考。 下面先给出各章的复习要求，然后针对重点内容给出一些综合练习，与大家一起做好期末复习工作。 行列式复习要求行列式复习要求 1知道 n 阶行列式的递归定义； 2掌握利用性质计算行列式的方法； 3知道克莱姆法则。 矩阵复习要求矩阵复习要求 1理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定 义； 2熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算； 3掌握方阵乘积行列式定理； 4理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件； 5熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法； 6理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法； 7会分块矩阵的运算。 线性方程组线性方程组复习要求复习要求 1掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性； 2会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法； 3理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次 与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性； 4熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法； 5了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。 矩阵的特征值及二次型复习要求矩阵的特征值及二次型复习要求 1理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法； 2了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质； 3知道正交矩阵的定义和性质； 4理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法； 5了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。 随机事件与概率复习要求随机事件与概率复习要求 1了解随机事件、概率等概念； 2掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质； 3了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题； 4熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式； 5理解事件独立性概念； 6掌握贝努里概型。 随机变量的分布和数字特征复习要求随机变量的分布和数字特征复习要求 1理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念； 2理解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差的方法； 3熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差； 4知道二维随机变量的概念，了解随机变量独立性概念； 5知道大数定律和中心极限定理。 数理统计基础复习要求数理统计基础复习要求 1理解总体、样本、统计量的概念，知道t分布， 2分布，F 分布，会查t， 2，F 分布表； 2会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法； 3了解估计量的无偏性、有效性的概念； 4了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法； 5知道假设检验的基本思想，熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验； 6了解最小二乘法的基本思想，会求一元线性回归方程的方法和F检验。 刚才我们给出了本课程各章复习要求，希望大家按照这些要求，结合下面的综合练习题进行认真复习 综合练习综合练习 一、一、单项选择题单项选择题 1A，B 都是n阶矩阵（) 1n，则下列命题正确的是() AAB=BAB若 AB =O，则OA 或OB C 222 2)(BABABADBAAB 正确答案：D 2向量组 3 2 1 , 3 3 3 , 0 2 2 , 0 0 1 的秩是（） A1B2C3D4 正确答案：C 3设矩阵 A 的特征多项式 300 020 001 AI，则 A 的特征值为 () A1B2 C3D1 1 ，2 2 ，3 3 正确答案：D 4若随机变量 X 与 Y 相互独立，则方差)32(YXD=（） A)(9)(4YDXDB)(9)(4YDXD C)(3)(2YDXDD)(3)(2YDXD 正确答案：B 5已知总体),( 2 NX， 2 未知，检验总体期望采用（） At 检验法BU 检验法 C 2 检验法DF 检验法 正确答案：A 6方程组 331 232 121 axx axx axx 相容的充分必要条件是()，其中0 i a，1, 2,3i A0 321 aaaB0 321 aaa C0 321 aaaD0 321 aaa 正确答案： B 7设BA,都是 n 阶方阵，则下列等式中正确的是() ABABAB 11 11 ABAB CABA BDAA 正确答案：C 8下列命题中不正确的是（） AA 与 1 A有相同的特征值BA 与 A 有相同的特征多项式 C若 A 可逆，则零不是 A 的特征值DA 与 A 有相同的特征值 正确答案：A 9若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是（） A1)()(BPAPBP ABP A P B()( ) ( ) CP AP A B( )()DP ABP AP B()( )( ) 正确答案：D 10设随机变量X，则下列等式中不正确的是（） A(21)2 ()EXE XB(21)4 ()DXD X C 22 ()()( ()D XE XE XD()()DXD X 正确答案：A 二、二、填空题填空题 1设三阶矩阵A的行列式 2 1 A，则 1 A= 应该填写：2 2线性方程组BAX 中的一般解的自由元的个数是 2，其中 A 是54矩阵，则方程组增广矩阵)(BAr= 应该填写：3 3若事件 A，B 满足BA ，则 P（A - B）= 应该填写：)()(BPAP 4设随机变量 3 . 03 . 04 . 0 210 X，则E X() 应该填写：0.9 5设是未知参数的一个估计，且满足) (E，则称为的估计 应该填写：无偏 6若三阶方阵 632 210 001 A，则 2 AI= 应该填写：0 7设A为 n 阶方阵，若存在数和非零 n 维向量X，使得AXX，则称数为A的 应该填写：特征值 8已知( )0.2,( )0.4P AP B，则当事件A,B相互独立时，()P AB 应该填写：0.08 9设随机变量 1234 0.10.30.5 X a ，则a 应该填写：0.1 10不含未知参数的样本函数称为 应该填写：统计量 三、计算题三、计算题 1设矩阵 653 312 , 112 411 210 BA，解矩阵方程BAX 解：因为 120730 001210 010411 100112 010411 001210 123100 247010 235001 123100 001210 011201 ， 得 123 247 235 1 A 所以 BAX 1 123 247 235 137 2916 1813 63 51 32 2设齐次线性方程组 083 0352 023 321 321 321 xxx xxx xxx ，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解 解：因为 A = 83 352 231 610 110 231 500 110 101 505即当时，3)(Ar，所以方程组有非零解 方程组的一般解为： 32 31 xx xx ，其中 3 x为自由元 令 3 x=1 得 X1=) 1, 1, 1 (，则方程组的基础解系为X1 通解为 k1X1，其中 k1为任意常数 3 设 随 机 变 量) 1, 4( NX（ 1 ） 求)24(XP；（ 2 ） 若9332. 0)( kXP， 求 k 的 值 （ 已 知 9332. 0)5 . 1 (,8413. 0) 1 (,9775. 0)2(） 解： （1）)24(XP1)24(XP = 1)242(XP1（)2()2(） = 2（1)2(）0.0454 （2）)44()(kXPkXP 1)44(kXP 1)5 . 1 (9332. 0)4( k )5 . 1()5 . 1 (1)4( k 即k4 = -1.5， k2.5 4 从正态总体N （， 9） 中抽取容量为64的样本， 计算样本均值得x= 21， 求的置信度为95%的置信区间 (已知96. 1 975. 0 u) 解：已知3，n = 64，且 n x u ) 1,0(N 因为x= 21，96. 1 2 1 u，且 735. 0 64 3 96. 1 2 1 n u 所以，置信度为 95%的的置信区间为： 735.21,265.20, 2 1 2 1 n ux n ux 5设矩阵 122 110 135 A ， 12 11 04 B ，AXB，求X 解：利用初等行变换可得 101310 011210 001221 100531 010011 001221 112100 235010 225021 112100 011210 001221 112100 235010 245001 因此， 112 235 245 1 A 于是由矩阵乘法可得 11 52 61 40 11 21 112 235 245 1B AX 6求线性方程组 123 123 123 123 245 234 38213 496 xxx xxx xxx xxx 的通解 解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 14770 2814140 14770 5421 6914 13283 4132 5421 0000 0000 2110 1201 0000 0000 2110 5421 方程组的一般解为 2 12 32 31 xx xx ，(其中 x3是自由元) 令 x3= 0，得到方程组的一个特解 X0=)0, 2, 1(； 不计最后一列，x3= 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系 X1=) 1, 1, 2( 于是，方程组的通解为： 10 kXXX，(其中 k 是任意常数) 7设(2, 25)XN，试求:(1)(1217)PX；(2)(3)P X （已知,8413. 0) 1 (9987. 0)3(,9773. 0)2(） 解：(1)3 5 2 2() 5 217 5 2 5 212 ()1712( X P X PXP 0215. 09772. 09987. 0)2()3( (2) 1 5 2 () 5 23 5 2 ()3( X P X PXP 8413. 0) 1 ( 8某厂生产日光灯管根据历史资料,灯管的使用寿命 X 服从正态总体 2 (1600, 70 )N在最近生产的灯管中随机抽取 49 件进 行测试， 平均使用寿命为 1520 小时 假设标准差没有改变， 在 0.05 的显著性水平下， 判断最近生产的灯管质量是否有显著变化 (已 知96. 1 975. 0 u) 解：零假设1600: 0 H；1600: 1 H 由于标准差没有改变，故已知 22 70，选取样本函数 U x n N ( , )0 1 由已知1520x，1600 0 ，70 0 ，49n，于是得 8 4970 16001520 0 0 n x U 在 0.05 的显著性水平下，96. 18 0 0 n x ，因此拒绝零假设 0 H，即最近生产的灯管质量出现显著变化 四、证明题四、证明题 1设BA,是n阶对称矩阵，试证：BA也是对称矩阵 证明：BA,是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 BABA)( 已知BA,是对称矩阵，故有BBAA,，即 BABA)( 由此可知BA也是对称矩阵，证毕 2设BA,都是 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，试证B AB也是对称矩阵 证明：由矩阵转置的运算性质可得 BABBABABB)()( 又 A 为对称矩阵，故AA ，从而 ABBABB)( 因此，AB B 也是对称矩阵 3设向量组 321 ,线性无关，令 211 2， 322 23， 133 4，证明向量组 321 ,线性无关。 证明：设0 332211 kkk，即 0)4()23()2( 133322211 kkk 0)42()32(