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20032008工程与科学计算历届试题类型1. 直解法 例 1. 用列主元素消去解下列线性方程组(结果保留5位小数) 例2. 设线性方程组,其中 求,并分析线性方程组是否病态 ?2.迭代法例1. 设线性方程组为 , 写出求解线性方程组的Jacobi迭代格式,并确定当取何值时Jacobi迭代格式收敛.例2. 写出求解线性方程组的Seidel迭代格式,并判断所写格式的收敛性,其中为 3.插值例 1. 已知(1)试用二次插值多项式计算的近似值(数据保留至小数点后第5位)(2)估计所得结果的截断误差(数据保留至小数点后第5位)例 2. 由下列插值条件1246741011求4次Newton插值多项式, 并写出插值余项.4. RungeKutta格式例 写出标准方法解初值问题 的计算格式5. 代数精度例 1. 数值求积公式形如 试确定其中参数使其代数精度尽量高, 并确定代数精度.例 2. 验证数值求积公式 是Gauss型求积公式.6Romberg方法例 对积分,用Romberg方法计算积分的近似值,误差不超过并将结果填入下表(结果保留至小数点后第五位). 0 1 2 3 47证明 (1)设为上关于权函数的次正交多项式,以的零点为节点建立插值基函数,证明: 证明: 设n次正交多项式的零点为,则以这n个零点为节点建立的插值基函数是n-1次多项式,是2n-2次多项式. 故当取和时Gauss型求积公式 等号成立, 即 则有 (2)对线性方程组,若是阶非奇异阵,是的精确解,是的近似解。记证明: 证明:由于是的精确解,则 ,又是阶非奇异阵,则 ,且,则 故 (3)初值问题有解,若,是用Euler格式解得的在处的近似值,证明: .证明:记 ,且, Euler格式为 则有 . (4)设为非奇异阵,试证:线性方程组的数值解可用Seidel迭代方法求得.证明:因为为非奇异矩阵,故与是同解方程组,而正定,则Seidel格式收敛,即用Seidel方法一定能求得的解.(5)试导出求解初值问题 的梯形格式,并证明用梯形格式解初值问题 所得数值解为证明 将 在 上积分, 得 将右端的积分用梯形公式计算其近似值, 并用分别代替, 得 将代入梯形公式得 , 则有 得 因为 , 得 .(6)设,证明证明:的二次Lagrange插值多项式及余项形式为 其二阶导数为注意到,有 即 (7)证明求积公式 是稳定的.(8)设初值问题 中的区域D上关于满足Lipschitz条件,证明:格式 是收敛的.倒数第三题,求A0、A1、A2参数的
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