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大学物理练习册解答 第八章第八章 真空中静电场真空中静电场 1、三个电量为q 的点电荷各放在边长为 r 的等边三角形的三个顶点上。电荷 Q (Q0 ) 放在三角形的重心上，为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？ 解：利用矢量合成可得 230cos r4 q ) r 3 3 (4 Qq 2 0 2 2 0 = Q 所以 q 3 3 Q = 2、线电荷密度为的无限长均匀带电线，分别弯成 如图 (a) 和 (b) 所示的两种形状，若圆半径为 R， 试求(a)、(b) 图中 O 点的场强。 A O R （a） A E1（B） E2 E3（A） B B E1（B） E2 E3（A） 解：图（a）由两根半无限长带电直线和一段圆弧组 成，方向如图所示。根据矢量合成 2321O EEEEE rrrrr =+= R4 2 EE 0 2O = 1 E E tg x y = = 45 即与水平成 45 图（b）由两根半无限长带电直线和一段半圆弧 组成，方向如图所示。根据矢量合成 （b） 0 R4 2 R2 45cosE2EE 00 0 12Ox = = 045sinE45sinEE 0 3 0 1Oy = 0EO= 1 大学物理练习册解答 3、有一细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，其上半部均 匀分布有电荷+Q，下半部均匀分布有电荷Q，如图所 示求半圆中心处的场强。 + + + + + R O 解：由于对称性，dE+、dE在x方向上的分量抵 消 0Ex= =Rddldq （ R Q2 = ） = = = dcos R4 cosdEdE R4 d R Rd 4 dE 0 y 0 2 0 = = 2 0 22 00 y R Q cos R d 4 2cosdE2E 方向沿y 方向 4、一无限大的均匀带电平板，电荷密度为，在平板上挖去一个半径为的圆孔，求通 过圆孔中心并垂直于板的轴上一点的场强。 解：取圆环元半径为， =d2dq 则圆环元在轴线上产生 dE 公式 2 3 22 0 p )x( xdq 4 1 dE + = 2 1 22 0 R 2 3 22 0 Rpp )xR(2 x )x(4 dx2 dEE + = + = = O P R x x 方向沿 x 轴方向 2 大学物理练习册解答 5、 如图所示， 在点电荷的电场中， 取半径为的平面， 在该平面的轴线上的点处求通过此圆平面的电通 量。 R O r A q 解法一：以 A 为中心，r 为半径作一球面，则通过圆平 面的电通量与通过以圆平面为底的球冠电通量相等。 设球面积 ， 通量 2 0 r4S= 0 0 q = 球冠面积 )cosrr ( r2S= 通量 2 cos1 r4 )cos1 (r2 S S 2 2 00 = = 2 )cos1 (q ) 2 cos1 ( 0 0 = = 解法二： h x + = = R 0 22 0 xdx2cos )hx(4 q dscosEsdE r v + = R 0 212222 0 xdx2 )hx( h )hx( 1 4 q =)cos1 ( 2 q )hR( h 1 2 q 0 2122 0 = + 6、一半径为 R 的无限长直圆柱体，均匀带电，电荷体密度 0，求电场场强分布；并 用 E r 图表示场强随距离的分布情况。 解：在圆柱体内外取图示高斯面，由高斯定理 0 q SdE = rv E R r Rr = SdE rv 0 2h R rh2E = r2 R E 0 2 = Rr or 2 d x 4 R 0 32 R 0 Rbdrr4bdrrbr4dVq= = = = = SdE rv 外 0 4 2 Rb r4E = 外 2 0 4 r4 bR E = 外 4 大学物理练习册解答 9、两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm，R2 =20.0cm，已知内球面的电势为 U1=60V，外球面的电势U2= 30V求： (1) 内、外球面上所带电量； (2) 在两个球面之间何处的电势为零。 解： （1）V90)30(60) R 1 R 1 ( 4 q dr r4 q U 210 12 R 1 R 2 0 1 2 R 1 R = = = C1067. 6q 10 1 = 又 V60 R4 q R4 q U 20 2 10 1 1 R = + = U2 q2 U1 q1 R1 R2 C1033. 1q 9 2 = （2）令 r 处 U（r）=0 即 0 44 20 2 0 1 =+ R q r q 所以 r=0.10m=10.0cm 10、电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内，试证明离球心 r (r 0 2 R r2E = l l r2 R E 0 2 = （1） Rr + =+= R r 0 R 0 2 ) 1 R r ln2( 4 R dEdEUll vvvv （2）Rr = R r 0 2 R r ln 2 R EdrU 6 大学物理练习册解答 13、如图所示， AB=2l，弧OCD是以B为 中心，l为半径的半圆。A点有点电荷+q， B点有点电荷q。 (1) 把单位正电荷从 O 点沿弧 OCD 移到 D 点，电场力作了多少功? (2) 若把单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长 线移到无穷远处，电场力作功又为多少? 解： （1）0 4 q 4 q U 00 0 = + = ll lll 000 D 6 q 4 q 34 q U = = D0D01 UU)UU(qA= l 0 6 q = (2) l 0 02 6 q )UU(A = 14、在静电透镜实验装置中，有一均匀带电的圆环，内半径为R1，外半径为R2，其电荷 面密度为 (负电)，现有一电子沿着轴线从无限远射向带负电的圆环，欲使电子能穿过 圆环，它的初始动能至少要多大? 解：设电子在无穷远处初动能为Ek ,0 点电子动能 0 KK0 EE)UU( eA= )RR( 2 r4 rdr2 r4 dq U 12 0 2 R 1 R 00 0 = = = )RR( 2 e eUE 12 0 0K = A O D +q q l 2l R2 R1 C 7 大学物理练习册解答 15、一电偶极子原来与均匀电场平行，将它转到与电场反平行时，外力作功为 A，则当 此电偶极子与场强成 45角时，此电偶极子所受的力矩为多少? 解： = 0 PE2dsinPEMdAQ 4 A2 2 2 2 A 45sinPEM= ( E2PE)P(EPA eee =) 1 2 3 16、如图所示，三块互相平行的均匀带电大平面，电荷密度 为 1=1.210 -4C/m2， 2=0.210 -4C/m2， 3=1.110 -4C/m2， A点与平面II相距为 5.0cm，B点与平面II相距 7.0cm，求: A B (1) A、B 两点的电势差； (2) 把电量q 0= 1.010 -8C的点电荷从A点移到B点， 外 力克服电场力作功多少? 解： （1） 0 3 0 3 0 2 0 1 321A 2 10 222 EEEE = = I II III V101 . 9 1085 . 8 2 1016 2 1016 107 2 103 105 2 10 dEdEUU 2 103 EEEE 4 12 7 0 7 2 0 3 2 0 3 2B1ABA 0 3 321B = = = + =+= =+= （2）0AA=+ 静外 J101 . 9101 . 9100 . 1 )UU(qWAA 442 AB0 = = 静外 8 大学物理练习册解答 17、有一半径为 R，电荷密度为