《解析几何专题》word版.doc

解析几何专题题型一：结合韦达定理解题（）定值问题：例1、椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点已知的最大值为，最小值为（）求椭圆的方程；（）若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解析：（1） 是椭圆上任一点,且，2分当时，有最小值；当或时, 有最大值， ， 椭圆方程为。4分（2）设，将代入椭圆方程得6分，为直径的圆过点，或都满足，9分若直线恒过定点不合题意舍去，若直线：恒过定点EX1.1 已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，；（1）求椭圆的方程；（2）如果直线与椭圆相交于，若，证明直线与直线的交点必在一条确定的双曲线上；（3）过点作直线（与轴不垂直）与椭圆交于两点，与轴交于点，若，证明：为定值解：（1）由已知3分所以椭圆方程为。5分（2）依题意可设，且有又，将代入即得所以直线与直线的交点必在双曲线上。10分（3）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，11分设、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得， 所以， ， 13分因为，所以，即所以，又与轴不垂直，所以，所以，同理。 14分所以。将代入上式可得。 16分例2、如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8.（1）求抛物线方程；xA(4,2)OyPF（2）若为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.解：设抛物线的准线为，过作于，过作于，B （1）由抛物线定义知xA(4,2)OyPFC(折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号.由题意知,即抛物线的方程为： 5分（2）假设存在点，设过点的直线方程为，显然，设，由以为直径的圆恰过坐标原点有 6分把代人得由韦达定理 7分又 代人得 代人得 动直线方程为必过定点 10分当不存在时，直线交抛物线于,仍然有， 综上：存在点满足条件 12分EX2.1 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程；(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长；是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 解:(1)由题意,可设抛物线方程为. 1分由,得. 2分抛物线的焦点为,. 3分抛物线D的方程为. 4分(2)设,. 5分直线的方程为：, 6分联立,整理得: 7分=.9分 EX2.2 已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线（）求椭圆的方程；（）过点的动直线交椭圆于，两点问：是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？ 若存在，求点坐标；若不存在，说明理由解析：（）由因直线相切，2分圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 故所求椭圆方程为 （）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：由即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1） （）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）（）若直线L斜率存在时，可设直线L：由记点 TATB, 综合（）（），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）（）取值范围问题：例3、如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E；（I）求曲线E的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围【解】（1）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|.2分又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 5分曲线E的方程为6分（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设8分，10分又当直线GH斜率不存在，方程为12分EX3.1 如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点（1）是否存在k，使对任意m0，总有成立？若存在，求出所有k的值；（2）若，求实数k的取值范围【解】（1）椭圆C：1分直线AB：yk（xm）, 2分，（10k26）x220k2mx10k2m215m203分设A（x1,y1）、B（x2,y2）,则x1x2，x1x24分则xm5分若存在k,使为ON的中点，即N点坐标为 6分由N点在椭圆上，则7分即5k42k230k21或k2（舍）故存在k1使8分（2）x1x2k2（x1m）（x2m）（1k2）x1x2k2m（x1x2）k2m2（1k2）10分由得12分即k21520k212,k2且k014分EX3.2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）； （I）求抛物线方程； （II）斜率为的直线与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上； （III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围【解】（I）由题意可设抛物线的方程为,过点的切线方程为,2分 抛物线的方程为3分 （II）直线PA的方程为, 同理,可得. 5分 6分 又 线段PM的中点在y轴上.7分 （III）由8分PAB为钝角，且P, A, B不共线, 即10分又点A的纵坐标 当时，；当PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为12分EX3.3 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点；（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点(1)解：由题意知，即又，故椭圆的方程为(2)解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为由得： 由得：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则，的取值范围是(3)证：B、E两点关于x轴对称，E(x2，y2)直线AE的方程为，令y = 0得：又，由将代入得：x = 1，直线AE与x轴交于定点(1，0)EX3.4 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点M（1，3）、N（5，1），若动点满足交于A、B两点； （I）求证：； （II）在x轴上是否存在一点，使得过点P的直线l交抛物线于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心M的轨迹方程；若不存在，请说明理由。【解】（I）解：由知点C的轨迹是过M，N两点的直线，故点C的轨迹方程是： （II）解：假设存在于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。设 由题意，直线l的斜率不为零， 所以，可设直线l的方程为 代入 7分 此时，以DE为直径的圆都过原点。 10分 设弦DE的中点为 题型二：不使用韦达定理例4、如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率.（1）求椭圆的标准方程； B（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点试判断直线与以为直径的圆的位置关系（1） 将整理得 解方程组得直线所经过的定点（0，1），所以 由离心率得所以椭圆的标准方程为-4分（2）设，则，点在以为圆心，2为半径的的圆上即点在以为直径的圆上6分又，直线的方程为令，得又，为的中点，8分，直线与圆相切EX4.1 如图，在中，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.yPABCOx解（1）依椭圆的定义有： ， 又， 椭圆的标准方程为7分（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分.）椭圆的右顶点，圆圆心为，半径.假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，则，圆心到直线的距离 当直线斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离（符合）当直线斜率存在时，设的方程为，即，圆心到直线的距离，无解综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为例5、 已知圆C1的方程为，定直线l的方程为动圆C与圆C1外切，且与直线相切（）求动圆圆心C的轨迹M的方程；A（II）斜率为的直线与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值解（）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则 ，且 2分 可得 由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程 5分（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为由于该直线经过点A（0,6），所以有，得因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为 9分把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为所以 EX5.1 设抛物线的焦点为，曲线与关于原点对称() 求曲线的方程；() 曲线上是否存在一点（异于原点），过点作的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是与的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由()解；因为曲线与关于原点对称，又的方程，所以方程为 5分()解：设，,的导数为，则切线的方程，又，得，因点在切线上,故同理, 所以直线经过两点，即直线方程为,即，代入得，则,，所以 ，由抛物线定义得，所以，由题设知，即，解得，从而综上，存在点满足题意，点的坐标为 或 15分EX5.2 已知动点A、B分别在轴、轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且 设点P的轨迹方程为； （1）求点P的轨迹方程； （2）若t=2，点M、N是上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q坐标为求QMN的面积S的最大值【解】（1）设 （2）t=2时， 5分EX5.3 在平面直角坐标系中，已知圆和圆；（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标(1)