抽象函数是指函数的三种表示法(经典).doc

抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。分析:当令y=1时,可得f(x1)=f(x)x1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。解： 令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1， f(1) = 1 f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3f(n) = f(n1) +n各式相加得：f(n) = 1+2+3+n = f(x) = 例2已知函数f(x)满足f(x+y)f(xy) = 2 f(x) f(y)，xR, yR,且f(0)0，求证：f(x)是偶函数。分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。证明：令x = y = 0 f(0) +f(0) = 2f 2 (0) f(0) 0, f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(y) = 2f(0) f(y) f(y) = f(y), yR, f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + )，对任意x 0, y 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)求证：当x 0时, f( ) = f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x)可求得。证明：令x = y = 1，则f(1) = f(1) + f(1)， f(1) = 0又令y = ，x 0，则 f(1) = f(x) + f( ) f(x) + f( ) = 0即f( ) = f(x)二 定义法在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。例4函数f(2x)的定义域是1,1,则f(x)定义域为 f(log2x)定义域为_ 分析:认真理解复合函数定义域的定义,区分好题中三个定义域所指的变量x。解： 1x1 2x2 f(x)定义域为, 2 log2x2 x4 f(log2x)定义域为,4例5 已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间0,1上是增函数，则f(6.5)、f(1)、f(0)的大小关系为_分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合其单调性,求出相应的函数值,比较大小。解： f(x)是周期为2的偶函数 f(6.5) = f(6.5+ 32)= f(0.5) = f(0.5)f(1) = f(1)又f(x)在0,1上是增函数，f(0) f(0.5) f(1)故f(0) f(6.5) 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当x 0 时，f(x)的解析式。分析: 利用变量间的代换,把x0,先求出相应f(x),再结合函数的奇偶性,求出f(x)。解： 令x 0 f(x) = (x)(1x) 又f(x)是奇函数 f(x) = x(1x) f(x) = x(1x)例8 已知f(x)是周期为2的函数，且在区间1,1 上表达式为f(x)=x1则在2k+1 ,2k+3 , kZ上的表达式为_分析:利用周期性把要求区间转化为已知的区间,结合条件求出表达式。解：设t1,1 ，则2k+2+t2k+1 ,2k+3 ,令T = 2k+2+t，则t = T2k2又f(x)是周期为2的函数 f(2k+x) = f(x) f(T) = f(2k+2+t) = f(t) = t+1= (T2k2)+1=T+2k+3f(x) = x+2k+3 ,x2k+1 ,2k+3 四、图象法 即借助图形或图像的直观性，数形结合来得到问题的答案此类方法很常见也很有效,它避开了一些烦杂的计算,必须认真地体会.例9 若奇函数f(x)在区间3,7 上是增函数，且最小值为5，最大值为7，试判断在7,3上的单调性及最值情况分析:利用题中条件,结合奇函数图象关于原点对称,可求出f(x)在相应区间的情况.解：根据奇函数的图象关于原点对称的性质不妨作图如下：由图可知f(x)在7,3上是增函数 最小值为7，最大值为5例10已知y = f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间0 ,1 上的图象,如图所示线段AB，则在区间1,2上，f(x)的解析式是_分析:利用函数为偶函数,可画出1,0的函数图象,再利用周期性可得到1,2的图象,最后根据图象的情况求出解析式。解：f(x)是偶函数，周期为2，故可知f(x)在1,2的图象为线段BC，其中B（1,1）,C(2,2)故在1,2上f(x)的解析式为y = x例11已知f(x)是R上的奇函数，当x0的解为_ 分析:利用函数的奇偶性及在x0的图象情况,故可解出在xR,f(x)0的解。解：f(x)在R上是奇函数 且 f(x)在x0为减函数又f(2) = 0，f(2) = 0,可知f(x)在R上的图象大致如右图：故f(x) 0的解为x2或0x2 五、其他 有少部分抽象函数的问题，它们必须灵活运用题中的条件，在特定的环境下，运用学过的知识和性质来寻找问题的解决。例12若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0,3)和B(3,1)，则不等式|f(x+1)1| 2的解为_ 分析:由A(0,3),B(3,1)可知f(0)=3,f(3)=1再结合f(x)在R上是减函数,可求得不等式的解。解：|f(x+1)1| 2 1 f(x+1)3 又 f(3) = 1 ,f(0 ) = 3 f(3) f(x+1) f(0 ) 又 f(x)是R上的减函数 0x+13 1x 0，求证Tn+1Tn (nN)分析:通过赋值可解1),再结合题中条件利用放缩法可求得2)解：1)f(ab) = af(b) + bf(a) 令a = b = 0, 则 f(0) = 0 f(0) + 0f(0) f(0) = 0 令 a = b = 1 , f(1) = 02)Tn = f(2n)