计算机中信息的表示方法.doc

计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示1第二章 计算机中的信息表示2.1 进位计数制2.1.1数制的概念什么是数制？数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的方法。按照进位方式计数的数制叫进位计数制。十进制即逢十进一，生活中也常常遇到其它进制，如六十进制（每分钟60秒、每小时60分钟，即逢60进1），十二进制，十六进制等。任何进制都有它生存的原因。人类的屈指计数沿袭至今，由于日常生活中大都采用十进制计数，因此对十进制最习惯。如十二进制，十二的可分解的因子多（12，6，4，3，2，1），商业中不少包装计量单位“一打”；如十六进制，十六可被平分的次数较多（16，8，4，2，1），即使现代在某些场合如中药、金器的计量单位还在沿用这种计数方法。进位计数涉及基数与各数位的位权。十进制计数的特点是“逢十进一”，在一个十进制数中，需要用到十个数字符号0-9，其基数为10，即十进制数中的每一位是这十个数字符号之一。在任何进制中，一个数的每个位置都有一个权值。2.1.2 基数基数是指该进制中允许选用的基本数码的个数。每一种进制都有固定数目的计数符号。十进制：基数为10，10个记数符号，0、1、2、9。 每一个数码符号根据它在这个数中所在的位置(数位)，按“逢十进一”来决定其实际数值。二进制：基数为2，2个记数符号，0和1。每个数码符号根据它在这个数中的数位，按“逢二进一”来决定其实际数值。八进制：基数为8，8个记数符号，0、1、2、7。每个数码符号根据它在这个数中的数位，按“逢八进一”来决定其实际的数值。十六进制：基数为16，16个记数符号，0-9，A，B，C，D，E，F。其中AF对应十进制的1015。每个数码符号根据它在这个数中的数位，按“逢十六进一”决定其实际的数值。计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示22.1.3 位权一个数码处在不同位置上所代表的值不同，如数字6在十位数位置上表示60，在百位数上表示600，而在小数点后1位表示0.6，可见每个数码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在位置相关的常数，这个常数叫做位权。位权的大小是以基数为底、数码所在位置的序号为指数的整数次幂。十进制的个位数位置的位权是100，十位数位置上的位权为101，小数点后1位的位权为10-1 。十进制数34958.34的值为：（34958.34）10=3104+4103+9102+5101+8100+310-1+410-2小数点左边：从右向左，每一位对应权值分别为100、101、102、103、104小数点右边：从左向右，每一位对应的权值分别为10-1、10-2二进制数 (100101.01)2=125+024+023+122+021+120+02-1+12-2小数点左边：从右向左，每一位对应的权值分别为20、21、22、23、24小数点右边：从左向右，每一位对应的权值分别为2-1、2-2不同的进制由于其进位的基数不同权值是不同的。小结：位置计数法一般而言，对于任意的R进制数an-1an-2a1a0a-1a-m (其中n为整数位数,m为小数位数)可以表示为以下和式:an-1Rn-1+an-2Rn-2+a1R1+a0R0+a-1R-1+a-mR-m (其中R为基数)2. 2二进制代码和二进制数码2.2.1 二进制的特点在计算机中为什么要采用二进制？原因如下：l 可行性采用二进制，只有和两个状态，需要表示、两种状态的电子器件很多，如开关的接通和断开，晶体管的导通和截止、磁元件的正负剩磁、电位电平的低与高等都可表示、两个数码。使用二进制，电子器件具有实现的可行性。l 简易性二进制数的运算法则少，运算简单，使计算机运算器的硬件结构大大简化（十进制的乘法九九口诀表条公式，而二进制乘法只有条规则）。l 逻辑性由于二进制和正好和逻辑代数的假（false）和真（true）相对应，有逻辑代数的理论基础，用二进制表示二值逻辑很自然。2.2.2 二进制代码和二进制数码我们从二进制代码和二进制数码开始讲述计算机基础知识，是因为二进制代码和二进制数码是计算机信息表示和信息处理的基础。代码是事先约定好的信息表示的形式。二进制代码是把0和l两个符号按不同顺序排列起来的一串符号。二进制数码有两个基本特征：用0、l两个不同的符号组成的符号串表示数量；相邻两个符号之间遵循“逢2进l”的原则，即左边的一位所代表的数目是右边紧邻同一符号所代表的数目的2倍。二进制代码和二进制数码是既有联系又有区别的两个概念：凡是用0和1两种符号表示信息的代码统称为二进制代码(或二值代码)；用0和1两种符号表示数量并且整个符号串各位均符合“逢2进1”原则的二进制代码，称为二进制数码。目前的计算机在内部几乎毫无例外地使用二进制代码或二进制数码来表示信息，是由于以二进制代码为基础设计、制造计算机，可以做到速度快、元件少，既经济又可靠。虽然计算机从使用者看来处理的是十进制数，但在计算机内部仍然是以二进制数码为操作的对象的处理, 理解它的内部形式是必要的。在计算机中数据的最小单位是1位二进制代码，简称为位(bit)。8个连续的bit称为一个字节(byte)。计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示3.2.3 数的二进制表示和二进制运算1. 数的二进制表示客观世界中，事物的数量是一个客观存在，但表示的方法可以多种多样。例2-1 345用十进制数码可以表示为(345)10=3102十4101十5100这里每个固定位置上的计数单位称为位权。十进制计数中个位上的计数单位为1001，从个位向左，依次为101，102，103，；向右依次为10-1，102，。用二进制数码可以表示为:(101011001)2 l28+027+126+025+l24+123+022+021+l20 256+0+64+0+16+8+0+0+ l=（345）10二进制计数中个位上的计数单位也是1，即20l，个位向左依次为21，22，23，；向右依次为2-1，2-2，。2计算机中的算术运算二进制数的算术运算与十进制的算术运算类似, 但其运算规则更为简单，其规则见表2-1。表2-l二进制数的运算规则加 法乘 法减 法除 法0+0=00+1=11+0=11+1=10(逢二进一)00=001=010=011=10-0=01-0=11-1=00-1=1(借一当二)00=001=010=(没有意义)11=1二进制数的加法运算例：二进制数1001与1011相加算式: 被加数 （1001）2 （9）10加数 （1011）2 （11）10进位 +） 1 11和数 （10100）2结果：（1001）2 +（1011）2=（10100）2由算式可以看出，两个二进制数相加时，每一位最多有3个数（本位被加数、加数和来自低位的进位）相加，按二进制数的加法运算法则得到本位相加的和及向高位的进位。二进制数的减法运算例：二进制数11000001与00101101相减算式： 被减数 （11000001）2 （193）10减数 （00101101）2 （45）10借位 ） 1111差数 （10010100）2 （148）10结果：（11000001）2 （11000001）2 =（10010100）2由算式可以看出，两个二进制数相减时，每一位最多有3个数（本位被减数、减数和向高位的借位）相减，按二进制数的减法运算法则得到本位相减的差数和向高位的借位。3. 计算机中的逻辑运算计算机中的逻辑关系是一种二值逻辑，逻辑运算的结果只有“真”或“假”两个值。二值逻辑很容易用二进制的“0”和“1”来表示，一般用“1”表示真，用“0”表示假。逻辑值的每一位表示一个逻辑值，逻辑运算是按对应位进行的，每位之间相互独立，不存在进位和借位关系，运算结果也是逻辑值。计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示4三种基本的逻辑运算逻辑运算有“或”、“与”和“非”三种。其它复杂的逻辑关系都可以由这三个基本逻辑关系组合而成。（1）逻辑“或”。用于表示逻辑“或”关系的运算，“或”运算符可用+，OR，或表示。逻辑“或”的运算规则如下：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1即两个逻辑位进行“或”运算，只要有一个为“真”，逻辑运算的结果为“真”。例：如果A=1001111，B=（1011101）；求 A+B步骤如下: 1001111+ 10111011011111结果：A+B=1001111+1011101=1011111（2）逻辑“与”。用于表示逻辑与关系的运算，称为“与”运算,与运算符可用AND，,或表示。逻辑“与”的运算规则如下：00=0 01=0 10=0 11=1即两个逻辑位进行“与”运算，只要有一个为“假”，逻辑运算的结果为“假”。例：如果A=1001111，B=（1011101），求AB步骤如下： 1001111 10111011001101结果： AB=1001111101101=1001101（3）逻辑“非”。用于表示逻辑非关系的运算，该运算常在逻辑变量上加一横线表示。逻辑“非”的运算规则： =0 =1 即对逻辑位求反。2.3不同数制间的转换不同数制间的转换采用基数乘除法基数乘除方法假设将十进制数转换为R进制数：整数部分和小数部分须分别遵守不同的转换规则：对整数部分：除以R取余法，即整数部分不断除以R取余数，直到商为0为止，最先得到的余数为最低位，最后得到的余数为最高位。对小数部分：乘R取整法，即小数部分不断乘以R取整数，直到小数为0或达到有效精度为止，最先得到的整数为最高位（最靠近小数点），最后得到的整数为最低位。2.3.1十进制数转换为二进制数十进制转换数成二进制数,基数为，故对整数部分，除取余，对小数部分乘取整。为了将一个既有整数部分又有小数部分的十进制数转换成二进制数，可以将其整数部分和小数部分分别转换，然后再组合。例2-2 将(35.25)10转换成二进制数整数部分：222222235 取余数 低17110001 高84210注意：第一次得到的余数是二进制数的最低位，最后一次得到的余数是二进制数的最高位。也可用如下方式计算:商 ： 0 1 2 4 8 17 352余数 1 1 0 0 0 1小数部分：0.25 2取整数 高00.50 21. 00 1 低注意：一个十进制小数不一定能完全准确地转换成二进制小数，这时可以根据精度要求只转换到小数点后某一位为止即可。将其整数部分和小数部分分别转换，然后组合起来得(35.25)10=(100011.01)2计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示52.3.2 十进制数转换为八进制数八进制数码八进制数码的基本特征是：用8个不同符号0，1，2，3，4，5，6，7组成的符号串表示数量，相邻两个符号之间遵循“逢8进1”原则，也就是说各位上的位权是基数8的若干次幂。例2-3 将十进制数（1725.32）10转换成八进制数(转换结果取3位小数)。十进制转换数成八进制数,基数为8，故对整数部分，除8取余，对小数部分乘8取整。为了将一个既有整数部分又有小数部分的十进制数转换成八进制数，可以将其整数部分和小数部分分别转换，然后再组合。整数部分：888881725 取余数 低2155723 高2630小数部分：0.32 8取整数 高22.56 84.48 4 83 低3.84得（1725.32）10=(3275.243)82.3.3. 十进制数转换为十六进制数十六进制数码十六进制数码的基本特征是：用16个不同符号09和A，B，C，D，E，F组成的符号串表示数量，相邻两个符号之间遵循“逢16进1”的原则，也就是各位上的位权是基数16的若干次幂。用基数乘除法,此处基为16。将十进制整数转换成十六进制整数可以采用“除16取余”法；将十进制小数转换成十六进制小数可以采用“乘16取整”法。如果十进制数既含有整数部分又含有小数部分则应分别转换后再组合起来。例2-4 将(237.45)10转换成十六进制数（取3位小数）整数部分：1616237取余数 低1314 高140小数部分：0.45 16取整数 高77. 20 163. 20 3 163 低3. 20得(237.45)10=（ED.733）162.3.4 二进制数转换为八、十六进制数二进制、八进制、十六进制数码间的关系8和16都是2的整数次幂，即823，1624，因此3位二进制数相当于l位八进制数，4位二进制数相当于l位十六进制数(见表2-2)，它们之间的转换关系也相当简单。由于二进制数表示数值的位数较长, 因此常需用八、十六进制数来表示二进制数。表2-2 二进制、八进制、十六进制数的对应关系表 二进制八进制二进制十六进制二进制十六进制0000010100111001011101110123456700000001001000110100010101100111012345671000100110101011110011011110111189ABCDEF将二进制数以小数点为中心分别向两边分组，转换成八（或十六）进制数每3（或4）位为一组，整数部分向左分组，不足位数左补0。小数部分向右分组，不足部分右边加0补足，然后将每组二进制数转化成八（或十六）进制数即可。例2-5 将二进制数（11101110.00101011）2转换成八、十六进制数( 011 101 110 . 001 010 110)2=（356.126）83 5 6 . 1 2 6( 1110 1110 . 0010 1011)2=（EE.3B）16E E . 3 B 计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示62.3.5 八、十六进制数转换为二进制数将每位八（或十六）进制数展开为3（或4）位二进制数。例 2-6 （714.431）8=（111 001 100. 100 011 001）27 1 4 . 4 3 1(43B.E5)16=(0100 0011 1011. 1110 0101)24 3 B . E 5整数前的高位零和小数后的低位零可取消。各种进制转换中,最为重要的是二进制与十进制之间的转换计算,以及八、十六进制与二进制的直接对应转换。思考题：下表共有4栏，请你确定1-15中的一个数，你只需给出此数在下列各栏中是否存在的信息，别人不用看表即可确定你所说的这个数是几，你能说出其中的规律吗？9 1013 81