初升高衔接课讲义学生版.docx

数 学学数学的几个建议： 1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。 记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。 5、多做数学课外题，在学校基础上适当加量，拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。目 录1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.分式 12 分解因式2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数 2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法3.1 相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形3.3圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 1.1 数与式的运算1.1.1绝对值一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离二、典型例题：例1 解不等式：练 习A1填空：（1）若，则x=_；若，则x=_.（2）如果，且，则b_；若，则c_.2选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则练习B3解不等式： 4、化简：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；建议记住（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明二、典型例题例1 计算：例2 已知，求的值练 习A1填空： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式一、概念：一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等 一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化：分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；分子有理化：分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程。在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2 二次根式的意义 二、典型例题例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）例2计算：例3 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.例4化简：例 5 化简：（1）； （2）练 习A1填空：（1）_ _；（2）若，则的取值范围是_ _ _；（3）_ _；（4）若，则_ _ （提示先简化后代入）2选择题：等式成立的条件是 （ ）（A） （B） （C） （D）练习B3若，求的值4 比较大小：2 （填“”，或“”）1.1.4分式一、概念：1分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 上述性质被称为分式的基本性质2繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式二、典型例题：例1若，求常数的值例2（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有例3设，且e1，2c25ac2a20，求e的值练习A1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3正数满足，求的值4计算习题11A 组1解不等式： 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_4填空：，则_ _；5已知：，求的值B 组1选择题：（1）若，则 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）计算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2计算：12 分解因式一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4）2提取公因式法与分组分解法例2 分解因式： （1）； （2）3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例3把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）二、练习A1选择题：多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）练习B组1分解因式：（1） ； （2）； （3）； 2在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； 3分解因式：x2x(a2a)2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根二、典型例题：例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa02.1.2 根与系数的关系（韦达定理）一、概念：1、若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ， 则有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理2、特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20的两根，因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20二、典型例题：例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值例4 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值； （3）x13x23说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围练习A1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 （3）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（4）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（5）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3和1为根的一元二次方程是 （4）方程kx24x10的两根之和为2，则k （5）方程2x2x40的两根为，则22 （6）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （7）方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 3已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值5试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？6求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数练习B组1选择题:若关于x的方程x2(k21) xk10的两实根互为相反数，则k的值为 （ ） （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 3已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围4一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质二、典型例题：例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例3 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值三、练习A1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n （2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点（3）函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象（1）yx22x3； （2）y16 xx22.2.2 二次函数的三种表示方式当抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存在下列关系：（1）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，则0也成立（2）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立（3）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点，则0也成立于是，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以 x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题二、典型例题： 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式例3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式三、练习A1选择题:（1）函数yx2x1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 （2）函数y(x1)22的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) （2）二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 3根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）当x3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与y轴交于(0，2)2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换例1 求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位2对称变换例2 求把二次函数y2x24x1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x1；（2）直线y1二、分段函数：一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0x100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象三、配方法及其应用用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要的方法之一。例1、将下列二次函数式配方：（1）（2）（3）（4）例2、求下列二次函数的最大（或最小）值：（1）（2）（3）（4）思考：1、二次函数式的配方和分解因式的区别是什么？ 2、你是否已概括出了配方的几个步骤？（注：最好不要用公式去套）四、练习A组将下列二次函数配方（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法一、概念：是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解二、典型例题：例1 解方程组 例2 解方程组 三、练习A1下列各组中的值是不是方程组 的解? （ ）（1） （2） （3） （4） 2解下列方程组:（1） （2）（3） （4）2.3.2 一元二次不等式解法一、引入：二次函数yx2x6的对应值表与图象如下：x32101234y60466406由对应值表及函数图象(如图2.31)可知当x2，或x3时，y0，即x2x-60；当x2，或x3时，y0，即x2x60；当2x3时，y0，即x2x60这就是说，如果抛物线y= x2x6与x轴的交点是(2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2x60的解就是x12，x23；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集 那么，怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数yax2bxc(a0)的图象来解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为 x1xx2 （2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 x； 不等式ax2bxc0无解（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式二、典型例题：例3 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20三、练习A1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx2 0 2解下列方程组：（1） （2）（3）3解下列不等式： （1）3x22x10； （2）3x240； （3）2xx21； 练习B组1取什么值时,方程组 有一个实数解?并求出这时方程组的解2已知关于x不等式2x2bxc0的解为x1，或x3试解关于x的不等式bx2cx4031 相似形3.1.1平行线分线段成比例定理一、引入在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.二、典例例1 如图3.1-2， ，且求.例2 在ABC中，为边上的点，求证：.从上例可以得出如下结论：1.平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.2.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 在ABC中，为BAC的平分线，求证：.例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习A1如图3.1-6，下列比例式正确的是（ ）A B C D.2如图3.1-7，求.3如图，在ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长. 4如图，在ABC中，BAC的外角平分线交的延长线于点，求证：.3.1.2 相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例4 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，BAC为直角，于D.求证：（1）AB2=BDBC， AC2=CDCB； （2）AD2=BDCD我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例5、在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，求证：AEAB=AFAC 图3.113练习 2(A组)1如图3.1-15，D是ABC的边AB上的一点，过D点作DE/BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ）A B C D2若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是_.3已知：ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，求的面积. 4已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？5如图3.1-17,点C、D在线段AB上，是等边三角形，（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，？（2） 当时，求的度数.习题3.1A组1 如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）ADE=1，BC=7 BDE=2，BC=6 CDE=3，BC=5 DDE=2，BC=8 2 如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（ ）A1：3 B1：4 C1：5 D1：63 如图3.1-20，ABCD 中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，求.3.1-204 如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG/AB交AE于G，求证：.3.2 三角形321 三角形的“四心”二、典例结论1：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知:D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.结论:2：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.例2 已知ABC的三边长分别为，I为ABC的内心，且I在ABC的边上的射影分别为，求证：.结论3：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.图3.2-8例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE交于H点.求证：CHAB证明 以CH为直径作圆，ADBC，BEAC，HDC=HEC=90D、E在以CH为直径的圆上，FCB=DEH图3.2-9同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得BED=BADBCH=BAD，又ABD与CBF有公共角B，CFB=ADB=90，即CHAB。结论4：过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习1（A组）1 （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_;（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由.3.2.2 几种特殊的三角形等腰三角形：底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。 内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上。例5 在ABC中，求（1）ABC的面积及边上的高；（2）ABC的内切圆的半径；（3）ABC的外接圆的半径.结论4：在直角