余弦定理教案

1 / 15 余弦定理教案 教案设计： 余弦定理 【 教材 】 湘教版必修 4 第 9 页至 12页 . 【教学对象】 高二（上）学生 【学情分析】 学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题 . 【教学目标】 知识与技能 （ 1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式 . （ 2）掌握余弦 定理公式的变式，会灵活应用余弦定理 . 过程与方法 （ 1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维 . （ 2）培养学生数形结合的能力 . （ 3）培养学生的问题解决能力 . 情感态度价值观 经历余弦定理的推导过程，感受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾2 / 15 股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系 . 【教学重点】 余弦定理推导 【教学难点】 余弦定理推导及应用 【教法学法】 教法： 一、 情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易理解的情景为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习 . 二、启发性教学法：启发性原则是永恒的。让学生成为课堂上行为的主体 . 三、师生互动的探究教学法：充分给学生提供交流与归纳的空间，使整个数学活动生动活泼和富有个性的学习 . 学法： 根据新课程理念，结合学生自身年龄特点和思维特点，让学生通过分组讨论， 汇报交流，归纳总结等方式进行学习 【教学过程设计】 一、 教学流程设计 二 、教学过程设计 2 2 / 15 3 4 【板书设计】 余弦定理 一、引入 三、公式变形 六、小结与作业 二、余弦定理四、例题 本教学设计的创新之处 1. 目标创新 (1)理解余弦定理公式的适用条件，即已知两边及夹角求第三边的问题和已知三边求角的问题 . (2)培养学生数形结合的数学素养 ;培养学生的问题解决能力和数学探究能力 . (3)让学生感 受数学的严谨美以及公式的对称美 . 2. 教法创新 采用三种不同的教法，最大限度地调动学生的积极性，提高课堂效率 . 3. 数学创新 设计了运用余弦定理来解决实际问题解决的例子 , 为学生提供运用余弦定理来研究等三角形形状的探究问题，以培养学生的问题解决能力和数学探究能力 ,体现了现代数学教育的价值取向 . 4 / 15 5 南海艺术高级中学 胡辉 一教学目标 知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知 “ 边，角，边 ” 和 “ 边，边， 边 ” 两类三角形。 能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。 情感目标：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 二教学重点和难点 重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。 难点：利用向量的数量积证余弦定理的 思路。 三教学过程 （一）知识回顾 （ 1）已知三角形任意两角和一边解三角形 （ 2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形 （二）提出问题 5 / 15 1实际问题 武广高铁（武广客运专线）路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧洞。挖隧洞就涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度。而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚 的长度呢？（用 2技术人员的办法 工程技术人员先在地面上选一适当位置 A，量出 A 到山脚 B、 利用经纬仪测出 后通过计算求出山脚的长度 测得 00m、 00m，张角 A=60 则 配合 1 3提出问题 技术人员是怎么得到山脚 （三）分析问题 1问题化归 问题转化为在 已知 00m， 00m， A=60要求 的数学问题。 2问题探索 问：这是一个解三角形的问题，那么我们可以用已学的解三角形知识解决吗？ （学生很快便会发现找不到一组对边和对角无法运用6 / 15 正弦定理解决） 3问题一般化 更一般的，问题可转化为已知三角形两边长和夹角求第 三边的问题，即：在 C=b， AB=c 和 A，求 CB a。 （四）解决问题 1定理推导 在 那么 题转化为 知：和 夹 角 A 且 a. B 2bc) 即： 自主探究 （ 1）、在 a, 求 c。 （ 2）、在 a, 求 b。 3归纳总结 （ 1）余弦定理 在 2 222 / 15 （ 2）定理描 述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 （ 3）定理应用 已知三角形的两边及其夹角可以求解三角形 2 问题解决 在 知 60，求 解：根据余弦定理： 0024002230040030000 故 (m) 3 问题探究 在 知 b3,60，求 a 解：由余弦定理得： a （五）理论创新 1探索 在 a=5， b=7， c=8，求 B。 （若有同学答则顺势引出推论，若不能作答则由老师引导推出推论，然后返回解决该问题） 2定理推论： 8 / 15 论应用：已知三角形三边求解三角形 3 问题 探究 在 知 a4,b5, （ 1）、试求最大角的余弦值（ 2）试判断该三角形形状 解： (1)由大边对大角可得在 由余弦定理得： 2)锐角 锐角三角形 （六）理论实践 1在 知 b。 2在 知 判断三角形形状。 ,60求 a。 3在 ，已知 （七）小结 （八）作业 2.师说 四板书设计 9 / 15 数学： 弦定理与余弦定理教案（新人教版必修 5）（原创） 余弦定 理 一、教材依据：人民教育出版社（ A 版）数学必修 5第一章 第二节 二、设计思想： 1、教材分析：余弦定理是初中 “ 勾股定理 ” 内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好 “ 余弦定理 ” 的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2、 学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。 3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。 10 / 15 4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是 “ 问题教学法 ” ，精心设计教学内容，提出探究性问 1 题，经过启发、 引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。 三、教学目标： 1、知识与技能： 理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题 2过程与方法： 通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解 三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。 3情感、态度与价值观： 探索利用直观图形理解抽象概念，体会 “ 数形结合 ”的思想。通过余弦定理的应用，感受 余弦定理在解决现实生活问题中的意义。 四、教学重点： 通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。 11 / 15 五、教学难点：余弦定理的灵活应用 六、教学流程： (一 )创设情境，课题导入： 1、复习：已知 A=300,C=450,b=16 解三角形。（可以让学生板练） 2、若将条件 C=450 改成 c=8 如何解三角形？ 设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等 判定的方法建立联系，沟通 新旧知识的联系，引导学生体会量化 1 的思想和观点。 师生活动：用数学符号来表达 “ 已知三角形的两边及其夹角 解三角形 ” ：已知 BC=a,AC=b,和角 C，求解c,B,A 引出课题：余弦定理 （二）设置问题，知识探究 1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。 12 / 15 师生活动：从某一个角度探索并得 出余弦定理 2、 考虑用向量的数量积：如图 A C 设 么， 22ab) c a 引 导 学 生 证 明 22222 还 引导学生运用此法来进行证明 3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的 和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。 （可以让学生自己总结，教师补充完整） （三）典型例题剖析： 1、例 1：在 ，已知 b=2cm,c=2=1200,解三角形。 教师分析、点拨并板书证明过程 总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。 变式引申：在 ，已知 b=5,c=53,A=300,解三13 / 15 角形。 2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以 解决其他类型的解三角形问题？ 设计意图：（ 1）引入余弦定理的推论（ 2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。 师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。 引入余弦定理的推论： , 式作用：（ 1）、已 知三角形三边，求三角。 （ 2）、若 A 为直角，则 ，从而 b2+c2= , 从而 b2+c2 0, 从而 b2+2,求 A、 B、 C 例 2:已知在 c 先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。 总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三14 / 15 角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归 纳总结，老师补充） 变式引申：在 ， a:b:c=2: 让学生板练，师生共同评判 3、三角形形状的判定： 例 3：在 ， 确定此三角形的形状。 （教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解） 求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。 变式引申：在 ，若（ a+b+c） (b+3且 断 形状。 让学生板练，发现问题进行纠正。 （四）课堂检测反馈： 1、已知在 ， b=8,c=3,A=600,则 a=( ) A 2 B 4 C 7 D 9 6:(3+1),求 A、 B、 C。 2、在 ，若 a=3+1,b=3-1,c=,则 最大角的度数为（ ） A 1200 B 900 C 600 D 1500 3、在 ， a:b:c=1:3:2,则 A： B： C=（ ） A 1： 2： 3 B 2： 3： 1 C 1： 3： 2 D 3： 1： 2 15 / 15 4、在不等边 ， 2，） B（ 24,2） C（ 3,2） D（ 0，） 5、在 ， ， ， ，则 形状是（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 非钝角三角形 （五）课时小结：